решить квадратное уравнение через дискриминант - страница 6
T в 4 степени минус 2t во 2 степени минус 3 равно 0
Решение:t⁴ - 2 * t² - 3 = 0
Это биквадратное уравнение. Для его решения делаем замену t² = Х (Х ≥ 0).
Уравнение принимает видХ² - 2 * Х - 3 = 0
Его корни Х₁ = -1 (не подходит) Х₂ = 3
Тогда t₁₂ = ± √ 3
Уравнение в 4 степени: \(2х^4-x^3-6x^2+7x-2\)
Решение: 2x^4-x^3-6x^2+7x-2=0
2x^4-x^3-6x^2+4x+3x-2=0
x^3(2x-1)-3x(2x-1)+2(2x-1)=0
(x^3-3x+2)(2x-1)=0
x^3-3x+2=0 2x-1=0
x^3-2x-x+2=0 2x=1
x(x^2-1)-2(x-1)=0 x1=1/2
x(x-1)(x+1)-2(x-1)=0
(x(x+1)-2)(x+1)=0
x^2+x-2=0 x+1=0
D=1+8=9 x2=-1
x3=-1-3/2=-2
x4=-1+3/2=1
Ответ: х1=1/2, х2= -1, х3= -2, х4=1X в 4 степени = (x-6) в квадрате
Решение: Извлекаем квадратный корень
х² = х - 6
х² - х + 6 = 0
D < 0, поэтому действительных корней нету(только мнимые)X⁴=(x-6)²
x²=x-6 x²=-(x-6)
x²-x+6=0 x²+x-6=0
D=(-1)²-4*6=1-24=-23<0 D=1²-4*(-6)=1+24=25
Действительных корней x=(-1-5)/2=-3 x=(-1+5)/2=2
уравнение не имеет
Ответ: x=-3; x=2X в 4 степени=(3x-10)в квадрате
Решение:Х⁴=(3х-10)²
х⁴-(3х-10)²=0
(х²-3х+10)(х²+3х-10)=0
х²-3х+10=0 D=9-40<0, решений нет
х²+3х-10=0 D-9+40=49=7²
х₁=(-3+7)/2 х₁=2
х₂=(-3-7)/2 х₂=-5$$ x^{4} = (3x-10)^{2} $$
$$ x^{4} - (3x-10)^{2} =0 $$
$$ (x^{2} -(3x-10))( x^{2} +(3x-10))=0 $$
$$ (x^{2} -3x+10)( x^{2} +3x+10)=0 $$
$$ x^{2} -3x+10=0 $$ нет решения
$$ x^{2} +3x-10=0 $$
$$ (x-2)(x+5)=0 $$
x1 = 2, x2 = -5x^4 - 20x^2 + 64 = 0 решить биквадратное уравнение
Решение: Перед нами биквадратное уравнение, вида: ax^4+bx^2+c=0
А, именно: $$ x^4-20x^2+64=0 $$
Чтобы решать уравнения такого плана, рекомендуется сделать замену
$$ x^2=t $$
Теперь наше уравнение преобразовывается в вид:
t^2-20t+64=0 - это обычное квадратное уравнение, его можно решить через дискриминант.
$$ D=b^2-4ac \\ D=400-4*64= \sqrt{144} = 12 $$
Дальше по формуле, находим корни квадратного уравнения.
$$ \frac{-b+/- \sqrt{D} }{2a} \\ \ t_1 = \frac{20+12}{2} = \frac{32}{2} = 16 \\ t_2 = \frac{20-12}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$
Теперь нужно обратно вернуться к нашей переменной x.
Для этого приравняем x^2 к найденным корням.
$$ x^2=16 ; x^2=4^2 ; x =+-4 \\ x^2=4 ;x^2= 2^2 ; x=+-2 $$
Корни нашего уравнения:
$$ x_1 = 4 ; x_2 =-4 ; x_3 = 2 ; x_4=-2 $$
5у в 4 степени + 2у во 2 степени - 3 = 0, решение?
Решение: 5y⁴+2y²-3=0
y²=t>0
5t²+2t-3=0 D=64
t₁=-1 t₁∉ t₂=0,6
y²=0,6
y₁=√0,6 y₂=-√0,6.
Ответ: у₁=√0,6 у₂=-√0,6.
729*3 в 4 степени=?
Решение: 3 В ЧЕТВЁРТОЙ СТЕПЕНЬ-81(ТО ЕСТЬ 3*3*3*3=81) И ПОТОМ * НА 729=59049729 = 3⁶
729 * 3⁴ = 3⁶ * 3⁴ = 3 ⁶⁺⁴ = 3¹° (или 59049)
Запомни:
• при умножении: основание остаётся (если оно одинаково во всех числах, в данном случае цифра 3), а показатели степени складываются
• при делении: основание остаётся, а показатели степени вычитаютсяРешите уравнения: 2х в 4 степени-5х в квадрате+3=0
Решение: Это биквадратное уравнение!
2x^4-5x²+3=0
Пусть x²=t,
2t²-5t+3=0
D=(-5)²-4·2·3=254-24=1, D>0, 2 корня
t1=5+1/4=1.5 t2=5-1/4=1
x²=t
x²=1.5 или x²=1
x=√1.5 или x=-1.5 x=√1 или x=-√1
x≈1.22 x≈-1.22 x=1 x=-1
Ответ:+1, -1, +1.22, -1.22Решить возвратное уравнение: х в 4 степени+2х в кубе-22х в квадрате+2х+1=0
Решение: Вполне понятно, что х=0 не будет являться корнем данного уравнения, поэтому смело разделим его на $$ x^{2} $$
и получим
$$ x^{2} +2x-22+ \frac{2}{x}+ \frac{1}{x^2}=0 $$
проведем перегруппировку в уравнении для понятности
$$ x^{2}+ \frac{1}{x^2}+2x+ \frac{2}{x}-22=0 $$
и проведем замену переменной
$$ (x+ \frac{1}{x})=y $$
получим следующее уравнение
$$ (y^2-2)+2y-22=0 $$
$$ y^2+2y-24=0 $$
по формуле находим дискриминант D=100
и корни уравнения $$ y_1=4 $$
$$ y_2=-6 $$
проводим подстановку
$$ x+ \frac{1}{x}=4 $$
$$ x^{2}-4x+1=0 $$
находим дискриминант D=12 и корни уравнения
$$ x_1=3,73205 $$
$$ x_2=0,267949 $$
выполняем вторую обратную подстановку и проводим те же операции
$$ x+ \frac{1}{x}=-6 $$
$$ x^{2} +6x+1=0 $$
$$ D=32 $$
$$ x_3=-0,171572 $$
$$ x_4=-5,828427 $$Решить уравнения: 5.58 \(3\cdot 2^x-2^{\frac{x}{2}+1}=1\); 5.60 \(9^x+4^x = 2,5\cdot 6^x \); 5.62 \( 4^{x+1} -6^x-2\cdot 9^{x+1} =0 \); 5.64 \( 8^{4(x^2+8)} = 16^{7(x^2+2x)}\)
Решение: 5.60
3^2x-2<5*3^x*2^x+2^2x=0 /2^2x≠0
(3/2)^2x-2,5*(3/2)^x+1=0
(3/2)^x=a
a²-2,5a+1=0
D=6,25-4=2,25
a1=(2,5-1,5)/2=1/2⇒(3/2)^x=1/2⇒x=log(1,5)0,5
a2=(2,5+1,5)/2=2⇒(3/2)^x=2⇒x=log(1,5)2
5.62
4*2^2x-2^x*3^x-18*3^2x=0 /3^2x≠0
4*(2/3)^2x-(2/3)^x-18=0(2/3)^x=a
4a²-a-18=0
D=1+288=289
a1=(1-17)/8=-2⇒(2/3)^x=-2-нет решения
a2=(1+17)/8=9/4⇒(2/3)^x=9/4⇒x=-2
5,64
2^12(x²+18)=2^28(x²+2x)
12(x²+18)=28(x²+2x)
3(x²+18)=7(x²+2x)
3x²+54=7x²+14x
7x²+14x-3x²-54=0
4x²+14x-54=0
2x²+7x-27=0
D=49+216=265
x1=(-7-√265)/4
x2=(-7+√265)/4
$$ 3*2^x-2^{\frac{x}{2}+1}=1 $$
$$ 2^{\frac{x}{2}}=t>0; 2^x=t^2 $$
$$ 3t^2-2t-1=0 $$
$$ (t-1)(3t+1)=0 $$
$$ t-1=0;t_1=1 $$
$$ 3t+1=0;t_2=-\frac{1}{3}<0 $$
$$ t=1 $$
$$ 2^{\frac{x}{2}}=1 $$
$$ 2^{\frac{x}{2}}=2^0 $$
$$ \frac{x}{2}=0 \\ x=0*2 \\ x=0 $$
------------------
$$ 9^x+4^x=2.5*6^x |:4^x \\ ((\frac{3}{2})^x)^2-2.5*(\frac{3}{2})^x+1=0 \\ 1.5^x=t>0 \\ t^2-2.5t+1=0 \\ 2t^2-5t+2=0 \\ (2t-1)(t-2)=0 \\ 2t-1=0; t=0.5 \\ t-2=0; t_2=2 \\ 1.5^x=0.5; x_1=log_{1.5} 0.5 \\ 1.5^x=2; x_2=log_{1.5} 2 $$
-----------------------------
$$ 4^{x+1}-6^x-2*9^{x+1}=0; |:4^x $$
$$ -2*9*((\frac{3}{2})^x)^2-(\frac{3}{2})^x+4*1=0 \\ 1.5^x=t>0; \\ -18t^2-t+4=0 \\ 18t^2+t-4=0 \\ D=1^2-4*18*(-4)=289=17^2 \\ t_1=\frac{-1-17}{2*18}<0 \\ t_2=\frac{-1+17}{2*18}=\frac{4}{9}=(\frac{3}{2})^{-2} \\ (\frac{3}{2})^x=(\frac{3}{2})^{-2} \\ x=-2 $$
--------------------------------------------
$$ 8^{4(x^2+8)}=16^{7(x^2+2x)} \\ 2^{3*4(x^2+8)}=2^{4*7(x^2+2x)} \\ 3*4(x^2+8)=4*7(x^2+2x) \\ 3(x^2+8)=7(x^2+2x) \\ 3x^2+24=7x^2+14x \\ 4x^2+14x-24=0 \\ 2x^2+7x-12=0 \\ D=7^2-4*2*(-12)=145 \\ x_{1,2}=\frac{-7^+_-\sqrt{145}}{4} $$
