решение уравнений »
дробное рациональное уравнение - страница 5
Дробно-рациональное уравнение \(\sqrt{3x-1}+\sqrt{x+3} = \sqrt{18-2x}\)
Решение: ОДЗ
3x+1≥0⇒x≥-1/3
x+3≥0⇒x≥-3
18-2x≥0⇒x≤9
x∈[-1/3;9]
Возведем в квадрат
3x+1+2√(3x²+10x+3)+x+3=18-2x
2√(3x²+10x+3)=18-2x-4x-4=14-6x
√(3x²+10x+3)=7-3x
Возведем в квадрат
3x²+10x+3-49+42x-9x²=0
6x²-52x+46=0
3x²-26x+23=0
D=676-276=400
x1=(26-20)/6=1
x2=(26+20)/6=23/3 =7 2/3
1) ОДЗ:
3x+1≥0⇒x≥-1/3
x+3≥0⇒x≥-3
18-2x≥0⇒x≤9
x∈[-1/3;9]
2) Возводим во вторую степень, т. е. в квадрат:
3x+1+2√(3x²+10x+3)+x+3=18-2x
2√(3x²+10x+3)=18-2x-4x-4=14-6x
√(3x²+10x+3)=7-3x
Возводим во вторую степень, т. е. в квадрат:
3x²+10x+3-49+42x-9x²=0
6x²-52x+46=0
3x²-26x+23=0
D=676-276=400
x1=(26-20)/6=1 (подходит по ОДЗ)
x2=(26+20)/6=23/3 =7 2/3 (подходит по ОДЗ)
Ответ: 1; 7 2/3Решите дробно-рациональное уравнение: \( \frac{x+3}{x-3}+ \frac{x-3}{x+3} = \frac{10}{3} \)
Решение: $$ \frac{(x+3)^2+(x-3)^2}{(x+3)(x-3)} = \frac{10}{3} \\ \frac{ x^{2} +9+6x+ x^{2} +9-6x}{ (x-3)(x+3)}= \frac{10}{3} \\ \frac{2x^{2} +18}{ (x-3)(x+3)}= \frac{10}{3} \\ ({2x^{2} +18})*3={ (x-3)(x+3)}*10 \\ 6 x^{2} +54=10 x^{2} -90 \\ 4 x^{2} =144 \\ x^{2} =36 $$
x=6 или x= - 6
ОДЗ x-3$$ = $$0
x+3$$ = $$0
Ответ: 6; - 6
Решите дробное рациональное уравнение \(\frac{ x^{2} -6}{x-3} = \frac{ x}{x-3}\)
Решение: $$ \frac{ x^{2} -6}{x-3} = \frac{ x}{x-3} \\ \frac{ x^{2} -6}{x-3} - \frac{ x}{x-3}=0 \\ \frac{ x^{2} -6-x}{x-3}=0 \\ \\ \left \{ {x^{2} -6-x=0}\atop {x -3 = 0} \right. \\ \left \{ {x^{2} -x-6=0}\atop {x = 3} \right. \\ \\ x^{2} -x-6=0 \\ D=(-1)^{2}-4*(-6)*1=1+24=25=5^{2} \\ x_{1}= \frac{-(-1)- \sqrt{25} }{2*1} = \frac{1-5}{2} = \frac{-4}{2} =-2 \\ x_{2}= \frac{-(-1)+ \sqrt{25} }{2*1} = \frac{1+5}{2} = \frac{6}{2} =3 \\ \left \{ {x=-2} \atop {x = 3} \right. $$
Ответ: х= -2
Решите дробно-рациональное уравнение \( \frac{7x+2}{6x^2-5}+\frac{2x(3x+4)}{x+3}+\frac{17x+6}{2x(3x-2)} +\frac{6x^2+19}{1-x}=12\)
Решение: Сумма 1-ой и 2-ой дроби после приведения к общему знаменателю равна $$ \frac{36x^4+48x^3-23x^2-17x+6}{(x+3)(6x^2-5)} $$.
Сумма 3-ей и 4-ой минус 12 равна
$$ \frac {36x^4+48x^3-23x^2-17x+6}{2x(3x-2)(1-x)} $$.
Видим, что числители равны, т. е. надо решить уравнение
$$ 36x^4+48x^3-23x^2-17x+6=0 $$.
Младший коэффициент после деления на 36 равен 1/6, поэтому возникает подозрение, что корни 1/2 или 1/3. Действительно, оба подходят. Делением на 2х-1 и на 3х-1 находятся еще два корня -3/2 и -2/3.
Теперь остается решить $$ \frac{1}{(x+3)(6x^2-5)}+\frac{1}{2x(3x-2)(1-x)}=0 $$. После приведения к общему знаменателю, числитель равен 28x²-9x-15, а его корни равны (9+√1761)/56 и (9-√1761)/56.
Решить через дробное рациональное уравнение. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге длиной 48 км, обратно он возвращался по другой дороге, которая короче первой на 8 км. Увеличив на обратном пути скорость на 4 км/ч, велосипедист затратил на 1 ч меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта А в пункт В?
Решение: Пусть х км/ч скорость из А в В, тогда скорость из В в А (х+4) км/ч. Время затраченное из А в В 48/х часов, а на обратный путь (48-8):(х+4). по условию задачи на обратный путь затрачено на 1 час меньше. Составляем уравнение.
$$ \frac{48}{x} - \frac{40}{x+4} =1 $$
общий знаменатель (х+4)*х
48х+192-40х=х²+4х
х²-4х-192=0
D=16+4*192=784
√D=√784=28
x₁=(4+28):2=14
x₂=(4-28):2=-12
-12 не является решением к задаче
14 км/ч скорость из А в В
Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше ее знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на 1/5 . Найдите эту дробь.
Решение: Пусть а- знаменатель
тогда (а-4) -числитель
$$ \frac{a-4}{a} $$ -исходная дробь
если (а-4+19) числитель, а (а+28) знаменатель, то
$$ \frac{a-4+19}{a+28} =\frac{a-4}{a} + \frac{1}{5} \\ \frac{a+15}{a+28} = \frac{5a-20+a}{5a} \\ (a+15)5a=(a+28)(6a-20) \\ 5 a^{2} +75a=6 a^{2}+168a-560 \\ a^2 +93a-560=0 $$ ну дальше находите а
и подставляете в исходную дробьx^4-x^3+x^2-x+1=0 решите дробно-рациональное уравнение
Решение: X^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0
При x > 0 слева будет строго положительное число, поэтому корней нет.
При x = 0 слева будет 1 > 0.
При x = -1 будет 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1 > 0
При x < -1 слева будет еще больше 0
Искать корни имеет смысл только на отрезке (-1, 0)
Точка минимума
6x^5 + 5x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = 0
x ~ -2/3, тогда слева будет
64/729 - 32/243 + 16/81 - 8/27 + 4/9 - 2/3 + 1 ~ 0,635 > 0
Это уравнение действительных корней не имеет.Упростите выражение :
1-2sinX•cosX
- + cos X
SinX-cosX
2) Решите дробно рациональное уравнение
Х+3. Х-3. 10
- + - = -
Х-3. Х+3. 3
Решение: = ( 1 - 2 SinX CosX + CosX * ( SinX - CosX )) / ( SinX - CosX ) =
= ( 1 - 2SinX CosX + SinXCosX - Cos^2X ) / ( SinX - CosX ) =
= ( Sin^2X - SinX CosX ) / ( SinX - CosX )
= ( SinX * ( SinX - CosX )) / ( SinX - CosX ) =
= SinX ( Ответ )
-
Общий знаменатель 3 *( X - 3 )*( X + 3 ) = 3 * ( X^2 - 9 ) = 3X^2 - 27 ;
X ≠ 3 ; X ≠ - 3
3 * ( X + 3 )^2 + 3 * ( X - 3 )^2 = 10 * ( 3X^2 - 27 )
3 * ( X^2 + 6X + 9 ) + 3 * ( X^2 - 6X + 9 ) = 30X^2 - 270
3X^2 + 18X + 27 + 3X^2 - 18X + 27 = 30X^2 - 270
6X^2 + 54 = 30X^2 - 270
24X^2 = 324
X^2 = 13,5
X = ( + / - ) √ 13,5
Моторная лодка прошла 58 км по течению реки и 42 км против течения за то же время, что она проходит 100 км в стоячей воде. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна 4 км/ч
Решите дробно-рациональным уравнением
Решение: Пусть х - скорость лодки в стоячей воде, тогда х+4 скорость по течению рек х-4 скорость против течения реки 58/х+4 - время по течению реки 42/х-4 - время против течения реки, а по условию задачи сумма этих двух времен равна 100/х (время в стоячей воде) составим уравнение.58/(х+4)+42/(х-4)=100/х
58х(х-4)+42х(х+4)=100(х+4)(х-4)
58х^2-232x+42х^2+168x=100x^2-1600
100x^2-64x-100x^2=-1600
64x=1600
x=25
25км/ч - скорость лодки в стоячей воде
На реке между пунктами A и В расположен пункт С в 12 км от А и 64 км от В. Катер отправляется в 8:00 вниз по реке из А в В и после часовой стоянки в В доходит вверх по реке к 13:00 до пункта С. Найдите скорость катера в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч. (Решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений)
Решение: А-С-В
12км 64км
х км/ч - собственная скорость катера
(х+3) км/ч - скорость по течению
(х-3) км/ч - скорость против течения
13-8-1=4(часа) - в пути
t=S:t
12+64=76(км) - расстояние АВ
76/(х+3) + 64/(х-3)=4
76х-228+64х+192=4х² -36
4х²-36-140х+26=0
4х²-140х-10=0
х²-35х-2,5=0
D=1225+10=1235
х=(35+35,14)/2=70,14/2=35,07≈35(км/ч)
