решение уравнений »
дробное рациональное уравнение - страница 5
Дробно-рациональное уравнение √3x−1+√x+3=√18−2x
Решение: ОДЗ
3x+1≥0⇒x≥-1/3
x+3≥0⇒x≥-3
18-2x≥0⇒x≤9
x∈[-1/3;9]
Возведем в квадрат
3x+1+2√(3x²+10x+3)+x+3=18-2x
2√(3x²+10x+3)=18-2x-4x-4=14-6x
√(3x²+10x+3)=7-3x
Возведем в квадрат
3x²+10x+3-49+42x-9x²=0
6x²-52x+46=0
3x²-26x+23=0
D=676-276=400
x1=(26-20)/6=1
x2=(26+20)/6=23/3 =7 2/3
1) ОДЗ:
3x+1≥0⇒x≥-1/3
x+3≥0⇒x≥-3
18-2x≥0⇒x≤9
x∈[-1/3;9]
2) Возводим во вторую степень, т. е. в квадрат:
3x+1+2√(3x²+10x+3)+x+3=18-2x
2√(3x²+10x+3)=18-2x-4x-4=14-6x
√(3x²+10x+3)=7-3x
Возводим во вторую степень, т. е. в квадрат:
3x²+10x+3-49+42x-9x²=0
6x²-52x+46=0
3x²-26x+23=0
D=676-276=400
x1=(26-20)/6=1 (подходит по ОДЗ)
x2=(26+20)/6=23/3 =7 2/3 (подходит по ОДЗ)
Ответ: 1; 7 2/3Решите дробно-рациональное уравнение: x+3x−3+x−3x+3=103
Решение: (x+3)2+(x−3)2(x+3)(x−3)=103x2+9+6x+x2+9−6x(x−3)(x+3)=1032x2+18(x−3)(x+3)=103(2x2+18)∗3=(x−3)(x+3)∗106x2+54=10x2−904x2=144x2=36
x=6 или x= - 6
ОДЗ x-3=0
x+3=0
Ответ: 6; - 6Решите дробное рациональное уравнение x2−6x−3=xx−3
Решение: x2−6x−3=xx−3x2−6x−3−xx−3=0x2−6−xx−3=0{x2−6−x=0x−3=0{x2−x−6=0x=3x2−x−6=0D=(−1)2−4∗(−6)∗1=1+24=25=52x1=−(−1)−√252∗1=1−52=−42=−2x2=−(−1)+√252∗1=1+52=62=3{x=−2x=3
Ответ: х= -2
Решите дробно-рациональное уравнение 7x+26x2−5+2x(3x+4)x+3+17x+62x(3x−2)+6x2+191−x=12
Решение: Сумма 1-ой и 2-ой дроби после приведения к общему знаменателю равна 36x4+48x3−23x2−17x+6(x+3)(6x2−5).
Сумма 3-ей и 4-ой минус 12 равна
36x4+48x3−23x2−17x+62x(3x−2)(1−x).
Видим, что числители равны, т. е. надо решить уравнение
36x4+48x3−23x2−17x+6=0.
Младший коэффициент после деления на 36 равен 1/6, поэтому возникает подозрение, что корни 1/2 или 1/3. Действительно, оба подходят. Делением на 2х-1 и на 3х-1 находятся еще два корня -3/2 и -2/3.
Теперь остается решить 1(x+3)(6x2−5)+12x(3x−2)(1−x)=0. После приведения к общему знаменателю, числитель равен 28x²-9x-15, а его корни равны (9+√1761)/56 и (9-√1761)/56.
Решить через дробное рациональное уравнение. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге длиной 48 км, обратно он возвращался по другой дороге, которая короче первой на 8 км. Увеличив на обратном пути скорость на 4 км/ч, велосипедист затратил на 1 ч меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта А в пункт В?
Решение: Пусть х км/ч скорость из А в В, тогда скорость из В в А (х+4) км/ч. Время затраченное из А в В 48/х часов, а на обратный путь (48-8):(х+4). по условию задачи на обратный путь затрачено на 1 час меньше. Составляем уравнение.
48x−40x+4=1
общий знаменатель (х+4)*х
48х+192-40х=х²+4х
х²-4х-192=0
D=16+4*192=784
√D=√784=28
x₁=(4+28):2=14
x₂=(4-28):2=-12
-12 не является решением к задаче
14 км/ч скорость из А в В
Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше ее знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на 1/5 . Найдите эту дробь.
Решение: Пусть а- знаменатель
тогда (а-4) -числитель
a−4a -исходная дробь
если (а-4+19) числитель, а (а+28) знаменатель, то
a−4+19a+28=a−4a+15a+15a+28=5a−20+a5a(a+15)5a=(a+28)(6a−20)5a2+75a=6a2+168a−560a2+93a−560=0 ну дальше находите а
и подставляете в исходную дробьx^4-x^3+x^2-x+1=0 решите дробно-рациональное уравнение
Решение: X^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0
При x > 0 слева будет строго положительное число, поэтому корней нет.
При x = 0 слева будет 1 > 0.
При x = -1 будет 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1 > 0
При x < -1 слева будет еще больше 0
Искать корни имеет смысл только на отрезке (-1, 0)
Точка минимума
6x^5 + 5x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = 0
x ~ -2/3, тогда слева будет
64/729 - 32/243 + 16/81 - 8/27 + 4/9 - 2/3 + 1 ~ 0,635 > 0
Это уравнение действительных корней не имеет.Упростите выражение :
1-2sinX•cosX
- + cos X
SinX-cosX
2) Решите дробно рациональное уравнение
Х+3. Х-3. 10
- + - = -
Х-3. Х+3. 3
Решение: = ( 1 - 2 SinX CosX + CosX * ( SinX - CosX )) / ( SinX - CosX ) =
= ( 1 - 2SinX CosX + SinXCosX - Cos^2X ) / ( SinX - CosX ) =
= ( Sin^2X - SinX CosX ) / ( SinX - CosX )
= ( SinX * ( SinX - CosX )) / ( SinX - CosX ) =
= SinX ( Ответ )
-
Общий знаменатель 3 *( X - 3 )*( X + 3 ) = 3 * ( X^2 - 9 ) = 3X^2 - 27 ;
X ≠ 3 ; X ≠ - 3
3 * ( X + 3 )^2 + 3 * ( X - 3 )^2 = 10 * ( 3X^2 - 27 )
3 * ( X^2 + 6X + 9 ) + 3 * ( X^2 - 6X + 9 ) = 30X^2 - 270
3X^2 + 18X + 27 + 3X^2 - 18X + 27 = 30X^2 - 270
6X^2 + 54 = 30X^2 - 270
24X^2 = 324
X^2 = 13,5
X = ( + / - ) √ 13,5
Моторная лодка прошла 58 км по течению реки и 42 км против течения за то же время, что она проходит 100 км в стоячей воде. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна 4 км/ч
Решите дробно-рациональным уравнением
Решение: Пусть х - скорость лодки в стоячей воде, тогда х+4 скорость по течению рек х-4 скорость против течения реки 58/х+4 - время по течению реки 42/х-4 - время против течения реки, а по условию задачи сумма этих двух времен равна 100/х (время в стоячей воде) составим уравнение.58/(х+4)+42/(х-4)=100/х
58х(х-4)+42х(х+4)=100(х+4)(х-4)
58х^2-232x+42х^2+168x=100x^2-1600
100x^2-64x-100x^2=-1600
64x=1600
x=25
25км/ч - скорость лодки в стоячей воде
На реке между пунктами A и В расположен пункт С в 12 км от А и 64 км от В. Катер отправляется в 8:00 вниз по реке из А в В и после часовой стоянки в В доходит вверх по реке к 13:00 до пункта С. Найдите скорость катера в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч. (Решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений)
Решение: А-С-В
12км 64км
х км/ч - собственная скорость катера
(х+3) км/ч - скорость по течению
(х-3) км/ч - скорость против течения
13-8-1=4(часа) - в пути
t=S:t
12+64=76(км) - расстояние АВ
76/(х+3) + 64/(х-3)=4
76х-228+64х+192=4х² -36
4х²-36-140х+26=0
4х²-140х-10=0
х²-35х-2,5=0
D=1225+10=1235
х=(35+35,14)/2=70,14/2=35,07≈35(км/ч)