дроби »

несократимая дробь - страница 2

  • Знаменатель несократимой дроби на 2 больше, чем числитель. Если у дроби, обратной данной, уменьшить числитель на 3 и вычесть из полученной дроби данную дробь, то получится 1/15. Найдите эту дробь


    Решение: Пусть х- числитель
    тогда дробь $$ \frac{x}{x+2} $$
    обратная дробь $$ \frac{x+2}{x} \\ \frac{(x+2)-3}{x}- \frac{x}{x+2} = \frac{1}{15} \\\\\frac{x-1}{x}- \frac{x}{x+2} = \frac{1}{15} \\\\\frac{15(x-1)(x+2)-15x^2-x(x+2)}{15x(x+2)}=0\\\\x^2-13x+30=0\\x_1=10;\quad x_2=3 $$
    оба корня удовлетворяют ОДЗ (x≠0, x≠-2)
    проверим чтобы исходная дробь была несократима
    х=10
    10/12 - дробь сократимая
    х=3
    3/5 - дробь не сократима

  • Знаменатель несократимой дроби на 1 меньше, чем удвоенный числитель. Если к дроби прибавить 6/5, а затем у новой дроби числитель увеличить на 2, то получим дробь, обратную исходной. Найти произведение числителя и знаменателя исходной дроби


    Решение: Пусть x/y - исходная дробь (x и y - целые числа). Её знаменатель на 1 меньше, чем удвоенный числитель, т. е. 2x-y = 1.

    Прибавим к дроби 6/5: x/y + 6/5 = (5x+6y)/5y. Увеличим числитель на 2: (5x+6y+2)/5y. По условию задачи (5x+6y+2)/5y = y/x.

    Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

    $$ \\\begin{cases}2x-y=1\\\frac{5x+6y+2}{5y}=\frac{y}x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=2x-1\\\frac{5x+12x-6+2}{10x-5}=\frac{2x-1}x\end{cases}\\\frac{5x+12x-6+2}{10x-5}=\frac{2x-1}x\\\frac{17x-4}{10x-5}=\frac{2x-1}{x}\\17x^2-4x=20x^2-20x+5\\3x^2-16x+5=0\\D=256-4\cdot3\cdot5=196=(14)^2\\x_1=5\\x_2=\frac13\quad - HE\quad nogx.\\\begin{cases}y=9\\x=5\end{cases}\\ x\cdot y=9\cdot5=45 $$

  • Знаменатель несократимой дроби на 2 больше, чем числитель. Если у дроби, обратной данной, уменьшить числитель на 3 и вычесть из полученной дроби данную дробь, то получится 1/15. Найти данную дробь


    Решение: пусть данная дробь a/(a+2), тогда обратная дробь (a+2)/a, и новая дробь

    (а+2-3)/а=(а-1)/а

    получаем уравнение:

    (а-1)/а  - а/(а+2) = 1/15

    переносим 1/15 влево и приводим к общему знаменателю

    Для удобства я знаменатель писать не буду, он будет 15а(а+2). Пишу только числитель:

    15(а+2)(а-1)-15а^2-a(a+2)

    15a^2-15a+30a-30-15a^2-a^2-2a=0 (потому что дробь равно 0 тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен 0, значит имеем ввиду, что а не может быть равно 0,1 и -2) и ищем, когда числитель равен 0:

    -a^2+13a-30=0

    D=169-120

    D=49

    а=(-13+-7)/-2

    а=10 ;  3

    10 нам не подходит, поскольку по условию исходная дробь - несократимая, значит она не может быть 10/12, значит ответ: 3/5

  • Знаменатель несократимой дроби на 4 больше ее числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель - на 21, то дробь уменьшиться на 1/4. Найдите эту дробь


    Решение: Х числитель
    х+4 знаменатель
    х+2 новый числитель
    х+4+21=х+25 новый знаменатель
    х/(х+4)-1/4=(х+2)/(х+25)
    4х²+100х-х²-4х-25х-100=4х²+8х+16х+32
    -х²-47х-132=0
    х²+47+132=0
    х₁,₂=-47⁺₋√(2209-528) = -47⁺₋41
       2  2
    х₁=-44  х₂=-3
    -44/(-44+4)=-44/(-40)=44/40 сократимая
    -3/(-3+4)=-3

  • Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель – на 21, то дробь уменьшится на 1/4. Найдите эту дробь.


    Решение: Пусть х-числитель, а ( х+4)-знаменатель дроби Если числитель дроби увеличить на 2, то (х+2) числитель новой дроби, А её знаменатель (х+25), то дробь уменьшится на 1/4. Получим уравнениех/(х+4)-(х+2)/(х+25)=1/4

    4х^2+100x-4x^2-24x-32-x^2-29x-100=0

    -x^2+47x-132=0

    D=47^2+132*4=2209-528=1681=41^2 x=(-47+-41)/(-2) x=3 или x=44

    Получаем две дроби 3/7 и 44/48=11/12 (т. к. знаменатель больше на 4

  • Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель на 21, то дробь уменьшится на одну четвёртую. Найдите дробь, :)


    Решение: $$ x $$ - числитель исходной дроби, $$ x + 4 $$ - знаменатель исходной дроби.
    $$ \frac{x}{x + 4}, \ \frac{x + 2}{(x + 4) + 21}\\\\ \frac{x}{x + 4} - 1/4 = \frac{x + 2}{x + 25} \ | \ * \ 4(x + 4)(x + 25), \ x e -4, \ x e -25\\\\ 4x(x + 25) - (x + 4)(x + 25) = 4(x + 2)(x + 4)\\\\ 4x^2 + 100x - x^2 - 29x - 100 = 4x^2 + 24x + 32\\\\ x^2 - 47x + 132 = 0\\\\ x_1 \cdot x_2 = 44 \cdot 3, \ x_1 + x_2 = 47 = 44 + 3\\\\ x_1 = 3, \ x_2 = 44 $$
    Проверим $$ x = 44 $$: $$ \frac{44}{44 + 4} = \frac{44}{48} = \frac{4\cdot 11}{4 \cdot 12} $$ – дробь получилась сократимой, потому корень не подходит.
    Проверим $$ x = 3 $$: $$ \frac{3}{3 + 4} = \frac{3}{7} $$ - несократимая обыкновенная дробь.
    Ответ: $$ \boxed{\frac{3}{7}} $$
    Проверка: $$ \frac{3}{7} - \frac{1}{4} = \frac{3\cdot4 - 7}{7 \cdot 4} = \frac{5}{28} = \frac{3 + 2}{7 + 21} $$

  • знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 5 больше её числителя. если числитель увеличить на 2, а знаменатель уменьшить на 2, то полученная дробь будет на 18/35 большеданной дроби. Найдите данную дробь


    Решение: числитель - х

    знаменатель - х+5

    х+2/(х+5-2)-х/(х+5)=18/35

    х+2/х+3 - х/(х+5)=18/35

    ((х^2+2х+5х+10)-(х^2+3х))/(х^2+5х+3х+15)=18/35

    (х^2+2х+5х+10-х^2-3х)/(х^2+8х+15)=18/35

    (4х+10)/(х^2+8х+15)=18/35

    35*(4х+10)=18*(х^2+8х+15)

    140х+350=18х^2+144х+270

    -18х^2-144х-270+140х+350=0

    -18х^2-4х+80=0

    х^2+2/9х-4 4/9=0

    D=b^2-4ac=4/81+4*40/9=4/81+160/9=4/81+1440/81=1444/81

    х1=(-b+$$ \sqrt{D} $$):2a=(-2/9+38/9):2=36/9:24:2=2

    х2=(-b-$$ \sqrt{D} $$):2a=(-2/9-38/9):2=-40/9:2=-40/9*1/2=-40/18=-20/9

    корни уравнения (2,20/9) - второй корень не подходит, так как числитель не может быть дробью

    х=2

    у=2+5=7

    Ответ: данная дробь 2/7

    проверка

    4/5-2/7=28/35-10/35=18/35

  • Знаменатель обыкновенной несократимой дроби на 4 больше её числителя. Если числитель увеличить на 2, а значение на 21, то дробь уменьшится на 1/4. Найдите эту дробь


    Решение: х- числитель

    х+4- знаменатель

    2+х-новый числитель

    х+4+21-новый знаменатель

    х/(х+4)-(2+х)/(х+25)=1/4 Приведем к общему знаменателю и его отбросим

    4х^2+100x-8x-32-4x^2-16x=x^2+4x+25x+100

    x^2-47x+132=0

    D=2209-528=1681

    x1=(47-41)/2=3

    x2=(47+41)/2=44 - не удовл. т. к. дробь не сократимая

    Ответ: дробь 3/7

  • Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше ее числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель на 21, то дробь уменьшиться на одну четвертую. (1/4) Найдите эту дробь.


    Решение: Пусть х - числитель дроби, тогда (х+4) - знаменатель дроби, а х/(х+4) - сама обыкновенная дробь, (х+2) - новый числитель, (х+4+21)=(х+25) - новый знаменатель, тогда (х+2)/(х+25) - новая дробь. Известно, что после преобразования дроби, дробь уменьшилась на 1/4. Составим и решим уравнение.
    (Получается, исходная дробь больше новой)
    х/(х+4) - (х+2)/(х+25)=1/4
    х/(х+4) - (х+2)/(х+25)-1/4=0 (Приведем к общему знаменателю 4*(х+4)*(х+25))
    {4*(х+25)*х - 4*(х+2)*(х+4) - (х+4)*(х+25)}/(4*(х+25)*(х+4))=0
    теперь буду писать чисто числитель при условии неравенства 0 знаменателя, чтобы не тянуть дроби (знаменатель равен 0, при х=-4 и х=-25)
    4х^2 +100x -(4x+8)*(x+4)-x^2-25x-4x-100=0
    4х^2 +100x -4х^2-16x-8x-32-x^2-25x-4x-100=0
    -x^2+47x-132=0
    x^2-47x+132=0 - получили квадратное уравнение,
    a=1, b=-47,c=132, находим дискриминант 
    D=b^2-4*a*c=(-47)^2-4*1*132=2209-528=1681=41^2
    по формулам x=(-b плюс/минус√D)/2a
    определяем корни х1=(47+41)/2=44
    х2=(47-41)/2=3.
    Определим для обоих случаев значение знаменателя, 
    если х1=44, то 44+4=48 - знаменатель. тогда дробь получится 44/48, но это не подходит по условию задачи, так как указано, что дробь несократимая, а эту можно на 4 сократить.
    если х2=3, то 3+4=7 - знаменатель, а 3/7 - исходная искомая дробь.
    Ответ 3/7

  • 1) катер проплыл 20км. по течению реки и 32км. против течения затратив на весь путь 3ч. найти собственную скорость катера если скорость течения реки2км/ч
    2) Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 5 больше ее числителя. Если числитель дроби увеличить на 2, а ее знаменатель уменьшить на 2, то полученная дробь будет на 18/35 больше данной дроби. Найди данную дробь.


    Решение: Пусть собственная скорость катера - х км/ч,  тогда скорость катера по течению - (х+2) км/ч,  скорость катера против течения - (х-2) км/ч
    20/(х+2)+32/(х-2)=3,  умножим обе части уравнения на (х²-4)
    20х-40+32х+64-3х²+12=0
    3х²-52х-36=0,  D₁=676+108=784=28²,  х₁=(26+28)/3=18,  х₂=(26-28)/3=-2/3 - не удовл условию задачи,
    Ответ:  18км/ч
    Пусть числитель дроби - х,  знаменатель - (х+5)
    х/(х+5)=(х+2)/(х+3)-18/35
    Умножим обе части уравнения на (х+5)(х+3)35
    35х²+105х-35х²-245х-350+18х²+144х+270=0
    18х²+4х-80=0
    9х²+2х-40=0  D₁=1+360=361=19²
    x₁=(-1+19)/9=2  x₂=(-1-19)/9=-20/9 не удовл условию задачи
    ответ:  2/5

<< < 12 3 4 > >>