дроби »

несократимая дробь - страница 3

  • Знаменатель несократимой дроби на 2 больше, чем числитель. Если у дроби, обратной данной, уменьшить числитель на 3 и вычесть из полученной дроби данную дробь, то получится 1/15. Найдите эту дробь


    Решение: Пусть х- числитель
    тогда дробь $$ \frac{x}{x+2} $$
    обратная дробь $$ \frac{x+2}{x} \\ \frac{(x+2)-3}{x}- \frac{x}{x+2} = \frac{1}{15} \\\\\frac{x-1}{x}- \frac{x}{x+2} = \frac{1}{15} \\\\\frac{15(x-1)(x+2)-15x^2-x(x+2)}{15x(x+2)}=0\\\\x^2-13x+30=0\\x_1=10;\quad x_2=3 $$
    оба корня удовлетворяют ОДЗ (x≠0, x≠-2)
    проверим чтобы исходная дробь была несократима
    х=10
    10/12 - дробь сократимая
    х=3
    3/5 - дробь не сократима

  • Знаменатель несократимой дроби на 1 меньше, чем удвоенный числитель. Если к дроби прибавить 6/5, а затем у новой дроби числитель увеличить на 2, то получим дробь, обратную исходной. Найти произведение числителя и знаменателя исходной дроби


    Решение: Пусть x/y - исходная дробь (x и y - целые числа). Её знаменатель на 1 меньше, чем удвоенный числитель, т. е. 2x-y = 1.

    Прибавим к дроби 6/5: x/y + 6/5 = (5x+6y)/5y. Увеличим числитель на 2: (5x+6y+2)/5y. По условию задачи (5x+6y+2)/5y = y/x.

    Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

    $$ \\\begin{cases}2x-y=1\\\frac{5x+6y+2}{5y}=\frac{y}x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=2x-1\\\frac{5x+12x-6+2}{10x-5}=\frac{2x-1}x\end{cases}\\\frac{5x+12x-6+2}{10x-5}=\frac{2x-1}x\\\frac{17x-4}{10x-5}=\frac{2x-1}{x}\\17x^2-4x=20x^2-20x+5\\3x^2-16x+5=0\\D=256-4\cdot3\cdot5=196=(14)^2\\x_1=5\\x_2=\frac13\quad - HE\quad nogx.\\\begin{cases}y=9\\x=5\end{cases}\\ x\cdot y=9\cdot5=45 $$

  • Знаменатель несократимой дроби на 2 больше, чем числитель. Если у дроби, обратной данной, уменьшить числитель на 3 и вычесть из полученной дроби данную дробь, то получится 1/15. Найти данную дробь


    Решение: пусть данная дробь a/(a+2), тогда обратная дробь (a+2)/a, и новая дробь

    (а+2-3)/а=(а-1)/а

    получаем уравнение:

    (а-1)/а  - а/(а+2) = 1/15

    переносим 1/15 влево и приводим к общему знаменателю

    Для удобства я знаменатель писать не буду, он будет 15а(а+2). Пишу только числитель:

    15(а+2)(а-1)-15а^2-a(a+2)

    15a^2-15a+30a-30-15a^2-a^2-2a=0 (потому что дробь равно 0 тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен 0, значит имеем ввиду, что а не может быть равно 0,1 и -2) и ищем, когда числитель равен 0:

    -a^2+13a-30=0

    D=169-120

    D=49

    а=(-13+-7)/-2

    а=10 ;  3

    10 нам не подходит, поскольку по условию исходная дробь - несократимая, значит она не может быть 10/12, значит ответ: 3/5

  • Знаменатель несократимой дроби на 4 больше ее числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель - на 21, то дробь уменьшиться на 1/4. Найдите эту дробь


    Решение: Х числитель
    х+4 знаменатель
    х+2 новый числитель
    х+4+21=х+25 новый знаменатель
    х/(х+4)-1/4=(х+2)/(х+25)
    4х²+100х-х²-4х-25х-100=4х²+8х+16х+32
    -х²-47х-132=0
    х²+47+132=0
    х₁,₂=-47⁺₋√(2209-528) = -47⁺₋41
       2  2
    х₁=-44  х₂=-3
    -44/(-44+4)=-44/(-40)=44/40 сократимая
    -3/(-3+4)=-3

  • Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель – на 21, то дробь уменьшится на 1/4. Найдите эту дробь.


    Решение: Пусть х-числитель, а ( х+4)-знаменатель дроби Если числитель дроби увеличить на 2, то (х+2) числитель новой дроби, А её знаменатель (х+25), то дробь уменьшится на 1/4. Получим уравнениех/(х+4)-(х+2)/(х+25)=1/4

    4х^2+100x-4x^2-24x-32-x^2-29x-100=0

    -x^2+47x-132=0

    D=47^2+132*4=2209-528=1681=41^2 x=(-47+-41)/(-2) x=3 или x=44

    Получаем две дроби 3/7 и 44/48=11/12 (т. к. знаменатель больше на 4

<< < 123 4 5 > >>