несократимая дробь - страница 4
Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель на 21, то дробь уменьшится на одну четвёртую. Найдите дробь, :)
Решение: $$ x $$ - числитель исходной дроби, $$ x + 4 $$ - знаменатель исходной дроби.
$$ \frac{x}{x + 4}, \ \frac{x + 2}{(x + 4) + 21}\\\\ \frac{x}{x + 4} - 1/4 = \frac{x + 2}{x + 25} \ | \ * \ 4(x + 4)(x + 25), \ x e -4, \ x e -25\\\\ 4x(x + 25) - (x + 4)(x + 25) = 4(x + 2)(x + 4)\\\\ 4x^2 + 100x - x^2 - 29x - 100 = 4x^2 + 24x + 32\\\\ x^2 - 47x + 132 = 0\\\\ x_1 \cdot x_2 = 44 \cdot 3, \ x_1 + x_2 = 47 = 44 + 3\\\\ x_1 = 3, \ x_2 = 44 $$
Проверим $$ x = 44 $$: $$ \frac{44}{44 + 4} = \frac{44}{48} = \frac{4\cdot 11}{4 \cdot 12} $$ – дробь получилась сократимой, потому корень не подходит.
Проверим $$ x = 3 $$: $$ \frac{3}{3 + 4} = \frac{3}{7} $$ - несократимая обыкновенная дробь.
Ответ: $$ \boxed{\frac{3}{7}} $$
Проверка: $$ \frac{3}{7} - \frac{1}{4} = \frac{3\cdot4 - 7}{7 \cdot 4} = \frac{5}{28} = \frac{3 + 2}{7 + 21} $$знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 5 больше её числителя. если числитель увеличить на 2, а знаменатель уменьшить на 2, то полученная дробь будет на 18/35 большеданной дроби. Найдите данную дробь
Решение: числитель - хзнаменатель - х+5
х+2/(х+5-2)-х/(х+5)=18/35
х+2/х+3 - х/(х+5)=18/35
((х^2+2х+5х+10)-(х^2+3х))/(х^2+5х+3х+15)=18/35
(х^2+2х+5х+10-х^2-3х)/(х^2+8х+15)=18/35
(4х+10)/(х^2+8х+15)=18/35
35*(4х+10)=18*(х^2+8х+15)
140х+350=18х^2+144х+270
-18х^2-144х-270+140х+350=0
-18х^2-4х+80=0
х^2+2/9х-4 4/9=0
D=b^2-4ac=4/81+4*40/9=4/81+160/9=4/81+1440/81=1444/81
х1=(-b+$$ \sqrt{D} $$):2a=(-2/9+38/9):2=36/9:24:2=2
х2=(-b-$$ \sqrt{D} $$):2a=(-2/9-38/9):2=-40/9:2=-40/9*1/2=-40/18=-20/9
корни уравнения (2,20/9) - второй корень не подходит, так как числитель не может быть дробью
х=2
у=2+5=7
Ответ: данная дробь 2/7
проверка
4/5-2/7=28/35-10/35=18/35
Знаменатель обыкновенной несократимой дроби на 4 больше её числителя. Если числитель увеличить на 2, а значение на 21, то дробь уменьшится на 1/4. Найдите эту дробь
Решение: х- числительх+4- знаменатель
2+х-новый числитель
х+4+21-новый знаменатель
х/(х+4)-(2+х)/(х+25)=1/4 Приведем к общему знаменателю и его отбросим
4х^2+100x-8x-32-4x^2-16x=x^2+4x+25x+100
x^2-47x+132=0
D=2209-528=1681
x1=(47-41)/2=3
x2=(47+41)/2=44 - не удовл. т. к. дробь не сократимая
Ответ: дробь 3/7
Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше ее числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель на 21, то дробь уменьшиться на одну четвертую. (1/4) Найдите эту дробь.
Решение: Пусть х - числитель дроби, тогда (х+4) - знаменатель дроби, а х/(х+4) - сама обыкновенная дробь, (х+2) - новый числитель, (х+4+21)=(х+25) - новый знаменатель, тогда (х+2)/(х+25) - новая дробь. Известно, что после преобразования дроби, дробь уменьшилась на 1/4. Составим и решим уравнение.
(Получается, исходная дробь больше новой)
х/(х+4) - (х+2)/(х+25)=1/4
х/(х+4) - (х+2)/(х+25)-1/4=0 (Приведем к общему знаменателю 4*(х+4)*(х+25))
{4*(х+25)*х - 4*(х+2)*(х+4) - (х+4)*(х+25)}/(4*(х+25)*(х+4))=0
теперь буду писать чисто числитель при условии неравенства 0 знаменателя, чтобы не тянуть дроби (знаменатель равен 0, при х=-4 и х=-25)
4х^2 +100x -(4x+8)*(x+4)-x^2-25x-4x-100=0
4х^2 +100x -4х^2-16x-8x-32-x^2-25x-4x-100=0
-x^2+47x-132=0
x^2-47x+132=0 - получили квадратное уравнение,
a=1, b=-47,c=132, находим дискриминант
D=b^2-4*a*c=(-47)^2-4*1*132=2209-528=1681=41^2
по формулам x=(-b плюс/минус√D)/2a
определяем корни х1=(47+41)/2=44
х2=(47-41)/2=3.
Определим для обоих случаев значение знаменателя,
если х1=44, то 44+4=48 - знаменатель. тогда дробь получится 44/48, но это не подходит по условию задачи, так как указано, что дробь несократимая, а эту можно на 4 сократить.
если х2=3, то 3+4=7 - знаменатель, а 3/7 - исходная искомая дробь.
Ответ 3/71) катер проплыл 20км. по течению реки и 32км. против течения затратив на весь путь 3ч. найти собственную скорость катера если скорость течения реки2км/ч
2) Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 5 больше ее числителя. Если числитель дроби увеличить на 2, а ее знаменатель уменьшить на 2, то полученная дробь будет на 18/35 больше данной дроби. Найди данную дробь.
Решение: Пусть собственная скорость катера - х км/ч, тогда скорость катера по течению - (х+2) км/ч, скорость катера против течения - (х-2) км/ч
20/(х+2)+32/(х-2)=3, умножим обе части уравнения на (х²-4)
20х-40+32х+64-3х²+12=0
3х²-52х-36=0, D₁=676+108=784=28², х₁=(26+28)/3=18, х₂=(26-28)/3=-2/3 - не удовл условию задачи,
Ответ: 18км/ч
Пусть числитель дроби - х, знаменатель - (х+5)
х/(х+5)=(х+2)/(х+3)-18/35
Умножим обе части уравнения на (х+5)(х+3)35
35х²+105х-35х²-245х-350+18х²+144х+270=0
18х²+4х-80=0
9х²+2х-40=0 D₁=1+360=361=19²
x₁=(-1+19)/9=2 x₂=(-1-19)/9=-20/9 не удовл условию задачи
ответ: 2/5