дроби »

разложите на множители числитель и знаменатель дроби - страница 2

  • Решить уравнения с помощью разложения на множители 1 1-(x-3)^2=0
    25-(10-x)^2=0
    x^2-2x-3
    x^2-10x+16


    Решение: 1-(х-3)^2=0
    (1-(х-3))(1+(х-3))=0
    (1-х+3)(1+х-3)=0
    (4-х)(х-2)=0
    4-х=0
    х1=4
    х-2=0
    х2=2


    25-(10-х)^2=0
    (5-(10-х))(5+10-х)=0
    (-5+х)(15-х)=0
    -5+х=0
    х1=5
    15-х=0
    х2=15


    х^2-2х-3=х^2-3х+х-3=х(х-3)+(х-3)=(х+1)(х-3).
    и если это равно нулю тогда
    х+1=0
    х1=-1
    х-3=0
    х2=3


    х^2-10х+16=х^2-8х-2х+16=х(х-8)-2(х-8)=
    =(х-8)(х-2)
    х-8=0
    х1=8
    х-2=0
    х2=2

  • разложите на множители у (в 4 степени) - 4у (в 3 степени) + 16у - 16


    Решение:

    $$ y^{4}-4y^{3}+16y-16=(y^{4}-16)-4y(y^{2}-4) =\\= (y^{2}-4)(y^{2}+4) \ -4y(y^{2}-4)=(y^{2}-4)((y^{2}+4)-4y)=\\=(y^{2}-4)(y^{2}+4-4y) $$

    у ⁴ - 4у³ + 16у - 16 =

    = у ⁴ - 16 - 4у³ + 16у  =

    = (у ⁴ - 16) - (4у³ - 16у)  =

    = (у ⁴ - 16) - 4у·(у² - 4)  =

    = (у² - 4)·(у² + 4) - 4у·(у² - 4)  =

    = (у² - 4)·[(у² + 4) - 4у]  =

    = (у² - 4)·(у² - 4у + 4)  =

    = (у² - 4)·(у - 2)²  =

    = (у - 2)·(y + 2)·(у - 2)²

    = (у - 2)³·(y + 2)  - ответ

    Если нужно разложить на простые множители без квадратов и кубов, то можно и так записать

    = (y - 2)·(у - 2)·(у - 2)·(у +2)

  • 1. Какой цифрой оканчивается произведение 3^8 и 7^5?

    2. Выберите выражение, значение которого наменьшее

    1) 22*76 2)23*76

    3)23*744)22*74

    3.Представьте число 27^2*9*625 в виде степени с основанием 45. Какой ответ?

    4.Вычислите 9^4*256/12^5

    5.Сколько натуральных чисел больших 11, но меньшх 171, не делится ни на 3, ни на 5?

    6.Разложите число 120 на простые множители.




    Решение: 1) Ну давай разберемся на что кончается 3^8. произведение 2 чисел кончается на ту цифру которую кончается произведение ее 2 последних цифр :) Это понятно если начать переумножать их в столбик.И так 3^1 кончается на 3. 3^2 на 9 3^3 на 7 3^4 на 1 и наконец 3^5 3 на .То есть последние цифры будут чередоваться:3,9,7,1,3,9,7,1...... То 3^8 кончается на 1 .По тому же принципу степени 7: кончаются на цифры с чередованием 7,9,3,1,7,9,3,1 7^5 кончается на цифру 7. Произведение 2 чисел 3^8 *7^5 кончается на 7*1=7 Ответ: кончается на цифру 7 2) ну понятно что 22*76<23*76 . Теперь сравним : 22*74 < 23*74, то есть нужно сравнить числа: 22*74 <22*76 . Вывод: 22*74 наименьшее. 3) Используя свойства степени получим:
    27^2 *9*625= 3^6*3^2*5^4=3^8 * 5^4=9^4*5^4=45^4 Ответ:45^4 4) 9^4 *256/12^5 = 3^8*2^8/12^5=6^8/6^5 *2^5= 6^3/2^5= 2^3*3^3/2^5=3^3/2^2=27/4= 6 3/4 Ответ:6 3/4=6,75
    5) Найдем общее число чисел делящихся на 3
    1 число кратное 3: 12=3*4 ,а последнее 168=3*56
    То всего чисел делящихся на 3: 56-4+1=53 тк числа 3 6 9 не входят поэтому -3 ,а не -4 :) (Это тонкий момент надеюсь понятно)
    Найдем общее количество делящихся на 5: наименьшее 15=5*3 ,наибольшее 170=5*34. То есть всего делящихся на 5: 34-3+1=32. Теперь момент который нужно понять: cреди чисел ,делящихся на 3 и 5, в обоих группах есть одинаковые числа,которые одновременно деляться и на 3 и на 5. В силу взаимномной простоты чисел 3 и 5,такие числа деляться на 15. Поэтому если сложить вместе все числа делящееся на 3 и на 5. Среди них будет пару лишних чисел ,которые деляться на 15,тк эти числа будут повторяться там уже 2 раза :) (Надеюсь понятно) Итак ,считаем число чисел кратных 15: наименьшее 15=15*1,наибольшее 165=15*11 всего чисел 11.
    То всего чисел делящихся на 2 или 3 : 53+32-11=74
    А всего чисел: 171-11-1=159 ( -1 тк оба числа 171 и 11 не входят).
    То всего чисел не делящихся ни на 3 ни на 5 159-74=85
    Ответ:85
    6) Для справки: Простым называют число делящееся только на 1 и на само себя. 
    120=40*3=5*8*3=5*2*2*2*3 То есть все множители простые числа.
    Ответ:120=5*2*2*2*3


     

  • Разложите целое алгебраическое выражение на множители:
    а) b³-27;
    б) 64х⁶-1/27у³z³;
    в) 7а³-0,007;
    г) (b+2)³-(b-2)³.
    Найдите ошибки в записи тождества и исправьте их:
    а) 4a+b)(16a²-8ab-b²)=64a³+b³;
    б) 2a+3b)(4a²-6ab+9b²)=8a³-27b³.


    Решение: А) b^3 - 27 = b^3 - 3^3 = (b - 3)(b^2 + 3b +9)
    б) 64x^6 - 1/27y^3z^3 = (4x^2)^3 - (1/3yz)^3 = (4x^2 - 1/3yz)(16x^4+4/3x^2yz + 1/9y^2z^2)
    в) 7a^3 - 0,007 = 7(a^3 - 0,001) = 7(a^3 - 0,1^3) = 7(a - 0,1)(a^2+0,1a+0,01)
    г) (b + 2)^3 - (b - 2)^3 = (b + 2 - b + 2)(b^2+4b+4 + b^2-4+b^2-4b+4)=
    = 4(3b^2+ 4)
    a) (4a + b)(16a^2 - 8ab - b^2) = 64a^3 + b^3 - неверно.
    ( 4a + b)( 16a^2 - 4ab + b^2) = 64a^3 + b^3 - верно.
    б) (2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2) = 8a^3 - 27b^3 - неверно.
    (2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2)= 8a^3 - 27b^3 - верно.

  • Можете объяснить, как вообще находить Н. О. К и решить эти номера:
    1. Известно разложение трёх чисел на простые множители: а=2х5х7; b=2х2х3; с=3х5х5х11. Найдите:
    1) Н. О. К (а; с);
    2) Н. О. К (а;b; с).
    "х" - это умножение.
    2. Найдите Н. О. К чисел:
    1) 68 и 85;
    2) 144 и 108;
    3) 156 и 117.


    Решение: Нок-наименьшее общее кратное
    как вы знаете для каждого числа существует бесконечно много чисел кратных ему.
    выпишем несколько первых натуральных чисел, кратных числу 8. это числа 8;16;24:32;40;48; и т. д.
    выпишем несколько первых натуральных чисел, кратных числу 12. это 12;24;36;48; и т. д.
    так как числа 24;48;. являются кратными и 8 и 12.
    то эти числа являются общими кратным 8 и 12
     можно заметить, что нет наибольшего общего кратного, но есть наименьшее-это 24
    его называют наименьшим общим кратным чисел 8 и 12
    записывается так
    нок (8;12)=24

  • Даны разложения чисел на простые множители найдите их наименьшее общее кратное
    е=2*3*11 и f=2 в куб *3*11
    h=2*5*7и k=5 в кв *7
    m=2*3*5 в кв и n=2*2*2*2*3
    х=2*5*11и у =5*5*11


    Решение: Чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно разложить эти числа на простые множители и найти произведение всех простых множителей, взятых с наибольшим показателем степени.
    е = 2 * 3 * 11 = 66 
    f = 2 * 2 * 2 * 3 * 11 = 264
    НОК (e; f) = 2 * 2 * 2 * 3 * 11 = 264 - наименьшее общее кратное
    264 : 66 = 4 264 : 264 = 1
    h = 2 * 5 * 7 = 70
    k = 5 * 5 * 7 = 175
    НОК (h; k) = 2 * 5 * 5 * 7 = 350 - наименьшее общее кратное
    350 : 70 = 5 350 : 175 = 2
    m = 2 * 3 * 5 * 5 = 150
    n = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 = 48
    НОК (m; n) = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 5 = 1200 - наименьшее общее кратное
    1200 : 150 = 8 1200 : 48 = 25
    х = 2 * 5 * 11 = 110
    у = 5 * 5 * 11 = 275
    НОК (х; у) = 2 * 5 * 5 * 11 = 550 - наименьшее общее кратное
    550 : 110 = 5 550 : 275 = 2

  • Как можно найти НОД двух натуральных чисел, используя их разложение на простые множители


    Решение: Достаточно просто. Надо лите перемножить множители, которые встречаются в обоих разложениях.
    Пример:
    а = 2³ × 3 × 5³ × 7²
    b = 2² × 5³ × 7
    В обоих разложениях присутствуют 2², 5³ и 7. Перемножим:
    НОД(а, b) = 2² × 5³ × 7

  • Найди с помощью разложения на простые множители НОД и НОК чисел : Найди с помощью разложения на простые множители НОД и НОК чисел :
    а) 125 и 150, б) 210 и 2730, в) 35 и 72, г) 60,75 и 111.


    Решение: а) 125 и 150  НОД (125,150) =5*5=25 
                            НОК (125,150) =3*2*5*5*5=750
    б) 210 и 2730  НОД (210,2730) = 2*3*5*7=210
      НОК (210,2730) = 2*3*5*7*13=2730
    в) 35 и 72  НОД (35,72) = 1
                          НОК (35,72) =2*2*2*3*3*5*7=2520
    г) 60,75 и 111  НОД (60,75,111) =?

  • Найди НОД и НОК чисел по их разложению на простые множители:
    а=2*3³*7²*11,b=2³*3*11²


    Решение: НОД)
    Из множителей, входящих в разложение одного из чисел вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел и оставить те, которые входят в минимальной степени:
    2*3*11 = 66;
    НОК)
    Выписать множители входящие в разложение одного из чисел и добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел:
    2³ * 3³ * 7² * 11² = 1280664

  • Найди НОД и НОК чисел с помощью разложения на простые множители: а)105 и 225; б) 84 и 420; в) 273 и 110; г) 45,120 и 525.


    Решение: а) 105 = 3 * 5 * 7

    225 = 3 * 3 * 5 * 5

    НОД (105; 225) = 3 * 5 = 15 - наибольший общий делитель

    НОК (105; 225) = 3 * 3 * 5 * 5 * 7 = 1575 - наименьшее общее кратное

    б) 84 = 2 * 2 * 3 * 7

    420 = 2 * 2 * 3 * 5 * 7

    НОД (84; 420) = 2 * 2 * 3 * 7 = 84 - наибольший общий делитель

    НОК (84; 420) = 2 * 2 * 3 * 5 * 7 = 420 - наименьшее общее кратное

    в) 273 = 3 * 7 * 13 

    110 = 2 * 5 * 11

    НОД (273; 110) - нет общих делителей, кроме единицы, значит числа 273 и 110 взаимно простые

    НОК (273; 110) = 273 * 110 = 30.030 - наименьшее общее кратное

    г) 45 = 3 * 3 * 5

    120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5

    525 = 3 * 5 * 5 * 7

    НОД (45; 120; 525) = 3 * 5 = 15 - наибольший общий делитель

    НОК (45; 120; 525) = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 5 * 7 = 12.600 - наименьшее общее кратное 

<< < 12 3 4 > >>