числитель дроби - страница 4

Числитель дроби на 1 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной ей дробью, то получится 2 целое число 1 дробь 30. Найдите исходную дробь.

ОДЗ: х≠0 и х≠-1

30х²+30х²+60х+30-61х²-61х=0

60х²-х+30-61х²=0

-х²-х+30=0   умножим всё уравнение на (-1)

х²+х-30=0

D=1-4*1*(-30)=1+120=121=11²

х=(-1-11)/2=-12/2=-6 

х=(-1+11)/2=10/2=5

значит, числитель равен или -6, или  5

1 случай

х=-6 

х+1=-6+1=-5

дробь

=1 целая 1/5

2 случай

х=5

х+1=5+1=6

дробь  

ответ: дробь или 5/6 или 6/5

Числитель дроби на 2 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной ей дробью, то получится 130/63. Найдите исходную дробь. Решить с помошью квадратного уравнения

D= b 2 - 4ac = 4096
√D = 64

x 1 =   -b + √D =   -8 + 64 =  -7 2a 2 × (-4)
x 2 =   -b - √D =   -8 - 64 =  9 2a 2 × (-4) наша дробь 7/9 или 9/7

Числитель дроби на 1 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной стороны, то получится 2целых 1/12. Найдите исходную дробь.

$$ \frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x}=\frac{25}{12} $$.

При любых значениях х, кроме 0 и -1 получим уравнение

$$ 12x^2+12x^2+24x+12=25x^2+25x $$ 

$$ x^2+x-12=0 $$

x=-4 или х=3

1) при х=-4 получим дробь $$ \frac{-4}{-4+1}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3} $$ - не удовлетворяет требованию условия (числитель меньше знаменателя)

2)  при х=3 получим дробь $$ \frac{3}{3+1}=\frac{3}{4} $$.

Ответ: 3/4.

обратная x/(x+1)=1/t

t+1/t=25/12

12t^2-25t+12=0

t=3/4 или 4/3

Ответ. 4/3 или 3/4.

х числитель

$$ \frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x}=2\frac{1}{12}\\ x^2+(x+1)^2=2\frac{1}{12}x(x+1)\\ 2x^2+2x+1-2\frac{1}{12}x^2-2\frac{1}{12}x=0\\ \frac{1}{12}x^2+\frac{1}{12}x-1=0\\ x^2+x-12=0\\ $$

х=-4 или х=3

При этом х(х+1)<>0 выполняется

следовательно 

$$ \frac{-4}{-3}=\frac{4}{3} $$ не подходит

$$ \frac{3}{4} $$ исходная дробь 

Числитель дроби на 6 меньше знаменателя. Если от числителя отнять 4, а к знаменателю прибавить 8, то получится 2:3 (две третьих). Найти данную дробь

$$ \frac{x-6}{x} $$ данная дробь. 
$$ \frac{x-6-4}{x+8}=\frac{2}{3} $$ – из условия задачи. Решаем. Перед нами пропорциональное уравнение. Умножаем крест накрест, считываем икс и дело с концом. 
$$ \frac{x-10}{x+8}=\frac{2}{3}\to (x-10)3=(x+8)2\\3x-30=2x+16\\3x-2x=16+30\\x=46 $$
Возвращаемся к началу: $$ \frac{46-6}{46}=\frac{40}{46}=\frac{20}{23} $$ – данная дробь.  

Числитель дроби на 7 меньше знаменателя. При увеличении числителя и знаменателя на 2 дробь увеличивается на одну двенадцатую. Найдите эту дробь. (нужно решить через х, с помощью уравнения)

Х=5, значит дробь получается 5/12

Х=-21, дробь получается -21/-14

 корень -21 тоже подходит, можно проверить решением.

Пусть х - числитель, тогда х+7 - знаменатель

$$ \frac{x}{x+7}+\frac{1}{12}=\frac{x+2}{x+9} $$

С учетом того, что х не должен быть равен -7 и -9, сведем к общему знаменателю:

$$ \frac{12x(x+9)+(x+7)(x+9)}{12(x+7)(x+9)}=\frac{12(x+2)(x+7)}{12(x+7)(x+9)} $$

12x^2+108x+x^2+16x+63=12x^2+108x+168

x^2+16x-105=0

Решив это уравнение, получим 2 корня. х=-21 - не подходит.

х=5

Искомая дробь 5/12