числа »

рациональное число - страница 2

(примеры)
1) натуральные числа
2) целое число
3) рациональное число

Решение: А) Рациональное число - такое, которое можно выразить отношением двух целых чисел. Например, дробь 1/2 - рациональное, но не целое число.
б) К целым числам, помимо натуральных, относятся им противоположные и нуль. Например, число -5 будет целым и не натуральным.
в) Не является рациональным - не выразимо в виде отношения целых чисел. Например, корень из 2 - действительное иррациональное.
г) А например число 0,(3), оно же 1/3, является действительным рациональным
Покажите, что между числами 111/112 и 112/113 можно найти рациональное число.

Решение: 113 простое число, поэтому НОД(112,113)=112*113=12656.

приведем дроби к общему знаменателю

(111*113)/(112*113) и (112*112)/(113*112), получим дроби

12543/ 12656 и 12544/ 12656, но между ними нельзя вставить дробь с таким же знаменателем, поэтому по основному свойству дроби умножим числители и знаменатели обеих дробей на 2:

25086/25312 и 25088/25312 между этими дробями находится дробь 25087/25312.

Получен другой ответ, но его получение более понятно.

Чтобы получить ваш ответ, переведем дроби в десятичные:

111/112=0,99107. 112/113=0,99115. Между ними находится к примеру бесконечная периодическая дробь 0,99(1)=(991-99)/900=892/900=223/225.
Докажите, что если r1 и r2 - рациональные числа(r не равно 0), то r1/r2 - рациональное число.

Решение: Из определения рационального числа:
r1=p1/q1
r2=p2/q2
p1 и p2- целые числа
q1 и q2 -натуральные числа.
r1/r2=p1*q2/p2*q1
В числителе целое число, а в знаменателе натуральное (в противном случае знак минус, если в знаменателе он есть, всегда можно переместить в числитель и ничего не изменится.)
То есть r1/r2-рациональное число
1) Представьте следующие числа в виде m/n, где m-целое число, n- натуральное
7 1/15=
1=
-3=
0=
5,018=
-0,(3)=
2) Изменится ли рациональное число от сложения с нулем? Запишите соответствующее равенство,
3) ОПРЕДЕЛИТЕ ЗНАК ПРОИЗВЕДЕНИЯ
2 1/4*;*(-8)*(-9,01)*(-100)*(-8)^2*((-3)^3)

Решение: {1} $7 + \frac{1}{15} = \frac{7 \cdot 15}{15} + \frac{1}{15} = \frac{105 + 1}{15} = \frac{106}{15} \\ 1 = \frac{N}{N}$ , где N — любое конечное рациональное число, не равное нулю.

$-3 = -3\frac{N}{N}$ , где N — любое конечное рациональное число, не равное нулю.

$0 = \frac{0}{N}$ , где N — любое конечное рациональное число, не равное нулю.

$5,018 = \frac{5018}{1000} = \frac{2509}{500} \\ 0,(3) = \frac{1}{3}$

{2}

Нет. Это нейтральный элемент по сложению. Это [b]признак[/b] рационального числа. В частности, рациональное число тогда называется рациональным, когда

$r + 0 = r$

{3}

Знак произведения определяется по количеству "минусов". Если оно чётное — то знак "плюс". Отрицательное число в квадрате (любой чётной степени) есть положительное. Отрицательное число в кубе (любой нечётной степени) есть отрицательное.

Считаем минусы: 0 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 = 4. Знак "плюс".
Доказать что число $\sqrt[3]{6+ \sqrt{ \frac{847}{27} } } + \sqrt[3]{6- \sqrt{ \frac{847}{27} } }$ рациональное

Решение: Обозначи это число через х
$x=\sqrt[3]{6+ \sqrt{ \frac{847}{27} } } + \sqrt[3]{6- \sqrt{ \frac{847}{27} } }$ , тогда
$x^3=12+3 \sqrt[3]{6+ \sqrt{ \frac{847}{27} } } \sqrt[3]{6- \sqrt{ \frac{847}{27} } } ( \sqrt[3]{6+\frac{847}{27} }+ \sqrt[3]{6-\frac{847}{27} })\\ x^3=12+3\cdot \sqrt[3]{36- \frac{847}{27} }( \sqrt[3]{6+ \sqrt{\frac{847}{27} } } + \sqrt[3]{6- \sqrt{\frac{847}{27} } })\\ x^3=12+5x\\ x^3-5x-12=0$
Добавим и вычтем одинаковые слагаемые
$x^3-3x^2+3x^2-9x+4x-12=0\\ x^2(x-3)+3x(x-3)+4(x-3)=0\\ (x-3)(x^2+3x+4)=0\\ x_1=3\\ x^2+3x+4=0\\ D=b^2-4ac=3^2-4\cdot1\cdot4=-7\ < \ 0$
Вот и доказали что x=3 - рациональное число
Известно, что числа х^2 + у^2, х^3 + у^3, х^4 + у^4 являются рациональными. Обязательно ли, что х+у тоже является рациональным числом?

Решение: Да, обязательно. Обозначим a=х²+у², b=х³+у³, c=х⁴+у⁴.
Тогда 2x²y²=(x²+y²)²-(x⁴+y⁴)=a²-c, т. е. x²y² - рационально.
ac-b²=(х²+у²)(x⁴+y⁴)-(х³+у³)²=x⁶+y²x⁴+x⁴y²+y⁶-x⁶-у⁶-2x³y³=y²x⁴+x⁴y²-2x³y³=
=x²y²(x²-2xy+y²)=x²y²(а-2xy), откуда ху - рационально.
Но x+y=(х³+у³)/(x²+y²-xy)=b/(a-xy), т. е. оно тоже рационально.
Определите, является ли число рациональным, и обоснуйте свой ответ: а)-5,8;
б)5,0150015; в)-4,171171117.
Сравните рациональные числа: а) 0,7 и 7/11 б) -0,(28) и -0,283; в) 2,45(3) г) 1,2(36)

Решение: 1. только а, б-в нет, так как число называется рациональным, если оно может быть представлено в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n, где m и n целые числа.
2. а) 0,7>7/11, так как 7/11- это приближенно 0,63, далее сравниваем - целые числа одинаковые, десятки- 7 больше 6 - значит 0,7 больше.
б) -0,(28) > -0,283, так как сравниваем - целые одинаковые, десятки тоже, сотки тоже, а тысячные разные - 2 меньше 3, но мы знаем правило, что если мы сравниваем два отрицательных числа, то больше то, которое ближе к нулю.
в)2,45(3)> 1,2(36) так как сравниваем целые - 2 больше 1 - значит то больше.
Что такое натуральные, рациональные, целые числа?

Решение: Натуральные числа
Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3. и т. д.
Ноль не является натуральным.
Натуральные числа принято обозначать символом N.
Целые числа. Положительные и отрицательные числа
Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными, например, +1 и -1, +5 и -5. Знак "+" обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит "+". Такие числа называются положительными. Числа, перед которыми стоит знак "-", называются отрицательными.
Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z.
Рациональные числа
Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби. Например,
Множество рациональных чисел обозначается Q. Все целые числа являются рациональными.
Существуют ли такие рациональные нецелые числа x, y, что а) оба числа 19x+8y и 8x+3y целые?; б) оба числа 19x^2+ 8y^2 +3y^2 целые?

Решение: Дано:
Рациональные нецелые x и y
Доказать:
а) оба числа 19х+8у и 8х+3у целые
б) оба числа 19x² + 8y² и 8х²+3y² целые
Док-во
а) 19х+8у
чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
В данном случае, x<19÷19 и y<8÷8
Т. к. x и y - рациональные нецелые числа ⇒ x∈[1÷19; 18÷19] и y∈[1÷8; 7÷8]
8х+3у
чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
В данном случае, x<8÷8 и y<3÷3
Т. к. x и y - рациональные нецелые числа ⇒ x∈[1÷8; 7÷8] и y∈[1÷3; 2÷3]
⇒ 19х+8у и 8х+3у целые
б) 19x² + 8y² и 8х²+3y²
чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
В данном случае, не ни одного числа, при возведении в квадрат получают числа 19,8 и 3 ⇒ 19x² + 8y² и 8х²+3y² не целые
Существуют ли такие рациональные нецелые числа х и у, что а) оба числа 19х+8у и 8х+3у целые?; б) оба числа 19x^2 + 8y^2 и 8х^2+3y^2 целые?

Решение: Дано:
Рациональные нецелые x и y
Доказать:
а) оба числа 19х+8у и 8х+3у целые
б) оба числа 19x² + 8y² и 8х²+3y² целые
Док-во
а) 19х+8у
чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
В данном случае, x<19÷19 и y<8÷8
Т. к. x и y - рациональные нецелые числа ⇒ x∈[1÷19; 18÷19] и y∈[1÷8; 7÷8]
8х+3у
чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
В данном случае, x<8÷8 и y<3÷3
Т. к. x и y - рациональные нецелые числа ⇒ x∈[1÷8; 7÷8] и y∈[1÷3; 2÷3]
⇒ 19х+8у и 8х+3у целые
б) 19x² + 8y² и 8х²+3y²
чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
В данном случае, не ни одного числа, при возведении в квадрат получают числа 19,8 и 3 ⇒ 19x² + 8y² и 8х²+3y² не целые

<< < 12 3 4 > >>

рациональное число - страница 2

(примеры) 1) натуральные числа 2) целое число 3) рациональное число

Покажите, что между числами 111/112 и 112/113 можно найти рациональное число.

Докажите, что если r1 и r2 - рациональные числа(r не равно 0), то r1/r2 - рациональное число.

Доказать что число 3√6+√84727+3√6−√84727 \sqrt[3]{6+ \sqrt{ \frac{847}{27} } } + \sqrt[3]{6- \sqrt{ \frac{847}{27} } } рациональное

Известно, что числа х^2 + у^2, х^3 + у^3, х^4 + у^4 являются рациональными. Обязательно ли, что х+у тоже является рациональным числом?

Определите, является ли число рациональным, и обоснуйте свой ответ: а)-5,8; б)5,0150015; в)-4,171171117.Сравните рациональные числа: а) 0,7 и 7/11 б) -0,(28) и -0,283; в) 2,45(3) г) 1,2(36)

Что такое натуральные, рациональные, целые числа?

Существуют ли такие рациональные нецелые числа x, y, что а) оба числа 19x+8y и 8x+3y целые?; б) оба числа 19x^2+ 8y^2 +3y^2 целые?

Существуют ли такие рациональные нецелые числа х и у, что а) оба числа 19х+8у и 8х+3у целые?; б) оба числа 19x^2 + 8y^2 и 8х^2+3y^2 целые?

(примеры)
1) натуральные числа
2) целое число
3) рациональное число

Доказать что число $\sqrt[3]{6+ \sqrt{ \frac{847}{27} } } + \sqrt[3]{6- \sqrt{ \frac{847}{27} } }$ рациональное

Определите, является ли число рациональным, и обоснуйте свой ответ: а)-5,8;
б)5,0150015; в)-4,171171117.
Сравните рациональные числа: а) 0,7 и 7/11 б) -0,(28) и -0,283; в) 2,45(3) г) 1,2(36)