числа »

рациональное число - страница 2

  • (примеры)
    1) натуральные числа
    2) целое число
    3) рациональное число


    Решение: А) Рациональное число - такое, которое можно выразить отношением двух целых чисел. Например, дробь 1/2 - рациональное, но не целое число.
    б) К целым числам, помимо натуральных, относятся им противоположные и нуль. Например, число -5 будет целым и не натуральным.
    в) Не является рациональным - не выразимо в виде отношения целых чисел. Например, корень из 2 - действительное иррациональное.
    г) А например число 0,(3), оно же 1/3, является действительным рациональным

  • Покажите, что между числами 111/112 и 112/113 можно найти рациональное число.


    Решение: 113 простое число, поэтому НОД(112,113)=112*113=12656. 

    приведем дроби к общему знаменателю

    (111*113)/(112*113) и (112*112)/(113*112), получим дроби

    12543/ 12656 и 12544/ 12656, но между ними нельзя вставить дробь с таким же знаменателем, поэтому по основному свойству дроби умножим числители и знаменатели обеих дробей на 2:

    25086/25312 и 25088/25312 между этими дробями находится дробь 25087/25312.

    Получен другой ответ, но его получение более понятно.

    Чтобы получить ваш ответ, переведем дроби в десятичные:

     111/112=0,99107. 112/113=0,99115. Между ними находится к примеру бесконечная периодическая дробь 0,99(1)=(991-99)/900=892/900=223/225.

  • Докажите, что если r1 и r2 - рациональные числа(r не равно 0), то r1/r2 - рациональное число.


    Решение: Из определения рационального числа:
    r1=p1/q1
    r2=p2/q2
    p1 и p2- целые числа
    q1 и q2 -натуральные числа.
    r1/r2=p1*q2/p2*q1
    В числителе целое число, а в знаменателе  натуральное (в противном случае знак минус, если в знаменателе он есть, всегда можно переместить в числитель и ничего не изменится.)
    То есть r1/r2-рациональное число

  • 1) Представьте следующие числа в виде m/n, где m-целое число, n- натуральное
    7 1/15=
    1=
    -3=
    0=
    5,018=
    -0,(3)=
    2) Изменится ли рациональное число от сложения с нулем? Запишите соответствующее равенство,
    3) ОПРЕДЕЛИТЕ ЗНАК ПРОИЗВЕДЕНИЯ
    2 1/4*;*(-8)*(-9,01)*(-100)*(-8)^2*((-3)^3)


    Решение: {1}$$ 7 + \frac{1}{15} = \frac{7 \cdot 15}{15} + \frac{1}{15} = \frac{105 + 1}{15} = \frac{106}{15} \\ 1 = \frac{N}{N} $$, где N — любое конечное рациональное число, не равное нулю.

    $$ -3 = -3\frac{N}{N} $$, где N — любое конечное рациональное число, не равное нулю.

    $$ 0 = \frac{0}{N} $$, где N — любое конечное рациональное число, не равное нулю.

    $$ 5,018 = \frac{5018}{1000} = \frac{2509}{500} \\ 0,(3) = \frac{1}{3} $$

    {2}

    Нет. Это нейтральный элемент по сложению. Это [b]признак[/b] рационального числа. В частности, рациональное число тогда называется рациональным, когда

    $$ r + 0 = r $$

    {3}

    Знак произведения определяется по количеству "минусов". Если оно чётное — то знак "плюс". Отрицательное число в квадрате (любой чётной степени) есть положительное. Отрицательное число в кубе (любой нечётной степени) есть отрицательное.

    Считаем минусы: 0 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 = 4. Знак "плюс".

  • Доказать что число \( \sqrt[3]{6+ \sqrt{ \frac{847}{27} } } + \sqrt[3]{6- \sqrt{ \frac{847}{27} } } \) рациональное


    Решение: Обозначи это число через х
     $$ x=\sqrt[3]{6+ \sqrt{ \frac{847}{27} } } + \sqrt[3]{6- \sqrt{ \frac{847}{27} } } $$, тогда
    $$ x^3=12+3 \sqrt[3]{6+ \sqrt{ \frac{847}{27} } } \sqrt[3]{6- \sqrt{ \frac{847}{27} } } ( \sqrt[3]{6+\frac{847}{27} }+ \sqrt[3]{6-\frac{847}{27} })\\ x^3=12+3\cdot \sqrt[3]{36- \frac{847}{27} }( \sqrt[3]{6+ \sqrt{\frac{847}{27} } } + \sqrt[3]{6- \sqrt{\frac{847}{27} } })\\ x^3=12+5x\\ x^3-5x-12=0 $$
    Добавим и вычтем одинаковые слагаемые
    $$ x^3-3x^2+3x^2-9x+4x-12=0\\ x^2(x-3)+3x(x-3)+4(x-3)=0\\ (x-3)(x^2+3x+4)=0\\ x_1=3\\ x^2+3x+4=0\\ D=b^2-4ac=3^2-4\cdot1\cdot4=-7\ < \ 0 $$
    Вот и доказали что x=3 - рациональное число

  • Известно, что числа х^2 + у^2, х^3 + у^3, х^4 + у^4 являются рациональными. Обязательно ли, что х+у тоже является рациональным числом?


    Решение: Да, обязательно. Обозначим a=х²+у², b=х³+у³, c=х⁴+у⁴.
    Тогда 2x²y²=(x²+y²)²-(x⁴+y⁴)=a²-c, т. е. x²y² - рационально.
    ac-b²=(х²+у²)(x⁴+y⁴)-(х³+у³)²=x⁶+y²x⁴+x⁴y²+y⁶-x⁶-у⁶-2x³y³=y²x⁴+x⁴y²-2x³y³=
    =x²y²(x²-2xy+y²)=x²y²(а-2xy),  откуда ху - рационально.
    Но x+y=(х³+у³)/(x²+y²-xy)=b/(a-xy), т. е. оно тоже рационально.

  • Определите, является ли число рациональным, и обоснуйте свой ответ: а)-5,8;
    б)5,0150015; в)-4,171171117.
    Сравните рациональные числа: а) 0,7 и 7/11 б) -0,(28) и -0,283; в) 2,45(3) г) 1,2(36)


    Решение: 1. только а, б-в нет, так как число называется рациональным, если оно может быть представлено в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n, где m и n целые числа. 
    2. а) 0,7>7/11, так как 7/11- это приближенно 0,63, далее сравниваем - целые числа одинаковые, десятки- 7 больше 6 - значит 0,7 больше.
    б) -0,(28) > -0,283, так как сравниваем - целые одинаковые, десятки тоже, сотки тоже, а тысячные разные - 2 меньше 3, но мы знаем правило, что если мы сравниваем два отрицательных числа, то больше то, которое ближе к нулю.
    в)2,45(3)> 1,2(36)  так как сравниваем целые - 2 больше 1 - значит то больше. 

  • Что такое натуральные, рациональные, целые числа?


    Решение: Натуральные числа
    Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3. и т. д.
    Ноль не является натуральным.
    Натуральные числа принято обозначать символом N.
    Целые числа. Положительные и отрицательные числа
    Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными, например, +1 и -1, +5 и -5. Знак "+" обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит "+". Такие числа называются положительными. Числа, перед которыми стоит знак "-", называются отрицательными.
    Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z.
    Рациональные числа
    Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби. Например,
    Множество рациональных чисел обозначается Q. Все целые числа являются рациональными.

  • Существуют ли такие рациональные нецелые числа x, y, что а) оба числа 19x+8y и 8x+3y целые?; б) оба числа 19x^2+ 8y^2 +3y^2 целые?


    Решение: Дано:
    Рациональные нецелые x и y
    Доказать:
    а) оба числа 19х+8у и 8х+3у целые
    б) оба числа 19x² + 8y² и 8х²+3y² целые
    Док-во
    а) 19х+8у
    чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
    В данном случае, x<19÷19 и y<8÷8
    Т. к. x и y - рациональные нецелые числа ⇒ x∈[1÷19; 18÷19] и y∈[1÷8; 7÷8]
    8х+3у
    чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
    В данном случае, x<8÷8 и y<3÷3
    Т. к. x и y - рациональные нецелые числа ⇒ x∈[1÷8; 7÷8] и y∈[1÷3; 2÷3]
    ⇒ 19х+8у и 8х+3у целые
    б) 19x² + 8y² и 8х²+3y²
    чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
    В данном случае, не ни одного числа, при возведении в квадрат получают числа 19,8 и 3 ⇒ 19x² + 8y² и 8х²+3y² не целые

  • Существуют ли такие рациональные нецелые числа х и у, что а) оба числа 19х+8у и 8х+3у целые?; б) оба числа 19x^2 + 8y^2 и 8х^2+3y^2 целые?


    Решение: Дано:
    Рациональные нецелые x и y
    Доказать:
    а) оба числа 19х+8у и 8х+3у целые
    б) оба числа 19x² + 8y² и 8х²+3y² целые
    Док-во
    а) 19х+8у
    чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
    В данном случае, x<19÷19 и y<8÷8
    Т. к. x и y - рациональные нецелые числа ⇒ x∈[1÷19; 18÷19] и y∈[1÷8; 7÷8]
    8х+3у
    чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
    В данном случае, x<8÷8 и y<3÷3
    Т. к. x и y - рациональные нецелые числа ⇒ x∈[1÷8; 7÷8] и y∈[1÷3; 2÷3]
    ⇒ 19х+8у и 8х+3у целые
    б) 19x² + 8y² и 8х²+3y²
    чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
    В данном случае, не ни одного числа, при возведении в квадрат получают числа 19,8 и 3 ⇒ 19x² + 8y² и 8х²+3y² не целые

<< < 12 3 4 > >>