числа »

рациональное число - страница 4

  • Сложение и вычитание рациональных выражений \(\frac{y-b}{a^2-ab}- \frac{y-a}{ab-b^2}\)


    Решение: $$ \frac{y-b}{a^2-ab}- \frac{y-a}{ab-b^2}= \frac{y-b}{a(a-b)} - \frac{y-a}{b(a-b)} =\\= \frac{yb-b^2-ay+a^2}{ab(a-b)} = \frac{(a-b)(a+b-y)}{ab(a-b)} = \frac{a+b-y}{ab} $$

  • Докажите, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 19


    Решение: Предположим, что существует  рациональное число q∈Q такое, что q²=19.
    Тогда, q=√19
    √19 ∉Q  (не является рациональным числом)
    Следовательно, наше предположение неверно и не существует такого рационального числа, квадрат которого равнялся бы 19.
    Что и требовалось доказать.

  • Докажите, что нет такого рационального числа, квадрат которого равнялся бы 2.


    Решение: Предположим, что существует какое-либо дробное число, при возведении которого в квадрат можно получить два: (p/q)^2 = 2. При этом эта дробь несократима.

    Запишем уравнение так: p^2 / q^2 = 2.

    Умножим обе части уравнений на q^2, получим: p^2= 2q^2.

    Выражение 2q^2 в любом случае должно быть четным, т. к. выполняется умножение на 2.

    Значит, p^2 тоже четно.

    Но известно, что квадрат нечетного числа дает нечетное число (например, 5^2 = 25), а квадрат четного – четное (4^2 = 16). Поэтому p должно иметь четное значение.

    Если p четно, то его можно представить как p = 2^k. Тогда получим: (2k)^2 = 2q^2. Или 4k^2 = 2q^2.

    Сократим полученное уравнение и получим: 2k^2 = q2.

    Поскольку в левой части уравнения результат будет четным (т. к. происходит умножение на 2), то и q должно быть четным, чтобы его квадрат был четным.


    Но вспомним,

    ранее было доказано, что и p четно, изначально предполагалось, что взятая дробь p/q несократима.

    Если же и p, и q четные числа, то образованную ими дробь можно сократить на 2. Т. е. приходят к противоречию с условием и на этом основании делают вывод, что нет рациональной дроби, квадрат которой может быть равен 2.

  • Докажите, что не существует такого рационального числа, квадрат которого равен 19


    Решение: Предположим существует такое p/q (несократимая дробь, а если сократима то предварительно сократим) квадрат которого равен 19
    если q = 1 число целое,
    проверим 4^2=16; (-4)^2 = 16; 5^2 = 25 (-5)^2 = 25
    значит нет целых чисел квадрат которых равен 19, значит q неравно единице
    $$ \frac{ p^{2}}{ q^{2}} = 19 $$
    слева у нас несократимая дробь, а справа целое число, что невозможно. значит нет такого рац. числа, квадрат которого равен 19

  • Докажите что не существует такого рационального числа квадрат которого равен 7


    Решение: Предположим, что оно существует! Пусть это будет а/с несократимая дробь.
    Значит (а/с)² = 7
    (а²) /(с²) =7
    а² = с² * 7. В правой части выражение кратно 7, значит и в левой кратно 7. А это означает, что а кратно 7, т. е. а = 7к.
    (7к)² с² * 7
    49 к² = 7 с². Сократи на 7.
    7 к² = с². Теперь в левой части число кратно 7, а значит и в правой тоже кратно 7. Значит с= 7п. Получается, что дробь а/с будет сократимой, что противоречит нашему предположению о том, что она несократимая. Значит такой дроби не существует.

  • Как записывать в виде рационального числа периодическую дробь?


    Решение: Периодическая дробь - это такая дробь, у которой, начиная с некоторого знака после запятой, повторяется определённая упорядоченная совокупность цифр бесконечное число раз. Такая совокупность называется периодом. 
    Например: 0,33333333. 
    Сразу же после запятой повторяются \одни тройки бесконечное число раз. (3) - это период дроби 
    Или ещё: 
    42,345276276276276. 
    Начиная с третьего знака мы видим повторяющуюся структуру (276). Это - период дроби. 
    Такую дробь можно записать сокращённо, записывая сначала неповторяющиеся знаки после запятой, а потом в скобках - период. 
    Так, 0,333333. можно записать как 0,(3) - читается ноль целых и три в периоде. 
    42,345276276276. = 42,345(276) - читается сорок два целых триста сорок пять тысячных и двести семьдесят шесть в периоде. 
    Можно записывать периодические дроби, просто записав несколько знаков после запятой включая несколько повторяющихся периодов, а затем добавить многоточие. В таких ситуациях ясно, что период повторяется. 
    Бывают и непериодические десятичные дроби. В них нельзя выделить ни одну повторяющуюся структуру. Это, например, т. н. число е = 2,718281828459045235. Несмотря на то, что некоторые цифры здесь повторяются, но для периодичности дроби необходимо, чтобы определённая совокупность цифр повторялась бесконечное число раз. 
    Дроби бывают конечными и бесконечными. Так, дробь 0,3333. бесконечная десятичная периодическая. Если дробь можно представить в виде дроби с конечным числом знаков после запятой, она яляется конечной. Такова, например, дробь 1,746. Её можно представить в виде 1,74600000.= 1,746(0), т. е. периодической дроби с периодом 0. 
    С другой стороны 1,7460000000 = 1,7459999999. = 1,745(9) (строгое равенство!). Таким образом, периодические дроби с нулём или девяткой в периоде являются конечными, а остальные - бесконечными. 
    Все десятичные периодические дроби являются рациональными числами, т. е. такими, которые можно представить в виде отношения целого и натурального числа q = m/n, где m - целое, n - натуральное. Это - запись обыкновенной дроби. Каждую обыкновенную несократимую дробь можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби и притом единственным образом (исключая рассмотрение случая периодической дроби с девяткой в периоде) и обратно, каждую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби - тоже единственным способом. 
    Пример 1/3 - обыкновенная дробь. Если воспользоваться методом деления столбиком, в остатке будет всё время получаться 1, а в записи числа - новые тройки, так что 1/3 = 0,333333. = 0,(3). 
    Пусть теперь дана дробь 42,345276276276. Нужно представить её в виде обыкновенной дроби. Пусть 42,345276276276. = х. Умножим число на 1000, чтобы период начинался сразу же после запятой: 1000х = 42345,276276276. 
    Умножим ещё раз на 1000, тогда запятая сместится ровно на один период: 1000000х = 42345276,276276276.
    Теперь 
    1000000х - 1000х = 42345276,276276276.42345,276276276. = 42302931 
    999000х = 42302931 
    х = 42302931 / 999000 

<< < 234