числа »

рациональное число - страница 4

  • Известно, что числа х^2 + у^2, х^3 + у^3, х^4 + у^4 являются рациональными. Обязательно ли, что х+у тоже является рациональным числом?


    Решение: Да, обязательно. Обозначим a=х²+у², b=х³+у³, c=х⁴+у⁴.
    Тогда 2x²y²=(x²+y²)²-(x⁴+y⁴)=a²-c, т. е. x²y² - рационально.
    ac-b²=(х²+у²)(x⁴+y⁴)-(х³+у³)²=x⁶+y²x⁴+x⁴y²+y⁶-x⁶-у⁶-2x³y³=y²x⁴+x⁴y²-2x³y³=
    =x²y²(x²-2xy+y²)=x²y²(а-2xy),  откуда ху - рационально.
    Но x+y=(х³+у³)/(x²+y²-xy)=b/(a-xy), т. е. оно тоже рационально.

  • Определите, является ли число рациональным, и обоснуйте свой ответ: а)-5,8;
    б)5,0150015; в)-4,171171117.
    Сравните рациональные числа: а) 0,7 и 7/11 б) -0,(28) и -0,283; в) 2,45(3) г) 1,2(36)


    Решение: 1. только а, б-в нет, так как число называется рациональным, если оно может быть представлено в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n, где m и n целые числа. 
    2. а) 0,7>7/11, так как 7/11- это приближенно 0,63, далее сравниваем - целые числа одинаковые, десятки- 7 больше 6 - значит 0,7 больше.
    б) -0,(28) > -0,283, так как сравниваем - целые одинаковые, десятки тоже, сотки тоже, а тысячные разные - 2 меньше 3, но мы знаем правило, что если мы сравниваем два отрицательных числа, то больше то, которое ближе к нулю.
    в)2,45(3)> 1,2(36)  так как сравниваем целые - 2 больше 1 - значит то больше. 

  • Что такое натуральные, рациональные, целые числа?


    Решение: Натуральные числа
    Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3. и т. д.
    Ноль не является натуральным.
    Натуральные числа принято обозначать символом N.
    Целые числа. Положительные и отрицательные числа
    Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными, например, +1 и -1, +5 и -5. Знак "+" обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит "+". Такие числа называются положительными. Числа, перед которыми стоит знак "-", называются отрицательными.
    Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z.
    Рациональные числа
    Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби. Например,
    Множество рациональных чисел обозначается Q. Все целые числа являются рациональными.

  • Существуют ли такие рациональные нецелые числа x, y, что а) оба числа 19x+8y и 8x+3y целые?; б) оба числа 19x^2+ 8y^2 +3y^2 целые?


    Решение: Дано:
    Рациональные нецелые x и y
    Доказать:
    а) оба числа 19х+8у и 8х+3у целые
    б) оба числа 19x² + 8y² и 8х²+3y² целые
    Док-во
    а) 19х+8у
    чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
    В данном случае, x<19÷19 и y<8÷8
    Т. к. x и y - рациональные нецелые числа ⇒ x∈[1÷19; 18÷19] и y∈[1÷8; 7÷8]
    8х+3у
    чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
    В данном случае, x<8÷8 и y<3÷3
    Т. к. x и y - рациональные нецелые числа ⇒ x∈[1÷8; 7÷8] и y∈[1÷3; 2÷3]
    ⇒ 19х+8у и 8х+3у целые
    б) 19x² + 8y² и 8х²+3y²
    чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
    В данном случае, не ни одного числа, при возведении в квадрат получают числа 19,8 и 3 ⇒ 19x² + 8y² и 8х²+3y² не целые

  • Существуют ли такие рациональные нецелые числа х и у, что а) оба числа 19х+8у и 8х+3у целые?; б) оба числа 19x^2 + 8y^2 и 8х^2+3y^2 целые?


    Решение: Дано:
    Рациональные нецелые x и y
    Доказать:
    а) оба числа 19х+8у и 8х+3у целые
    б) оба числа 19x² + 8y² и 8х²+3y² целые
    Док-во
    а) 19х+8у
    чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
    В данном случае, x<19÷19 и y<8÷8
    Т. к. x и y - рациональные нецелые числа ⇒ x∈[1÷19; 18÷19] и y∈[1÷8; 7÷8]
    8х+3у
    чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
    В данном случае, x<8÷8 и y<3÷3
    Т. к. x и y - рациональные нецелые числа ⇒ x∈[1÷8; 7÷8] и y∈[1÷3; 2÷3]
    ⇒ 19х+8у и 8х+3у целые
    б) 19x² + 8y² и 8х²+3y²
    чтобы получилось целое число, нужны дроби, которые сокращаются
    В данном случае, не ни одного числа, при возведении в квадрат получают числа 19,8 и 3 ⇒ 19x² + 8y² и 8х²+3y² не целые

<< < 234 5 6 > >>