график функции »

найти координаты точки пересечения графиков - страница 13

  • 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2;3):
    a) параллельно оси Ox;
    b) параллельно оси Oy.
    2. Составить уравнения прямых, проходящих через точку пересечения 3y+1=0 и 3x-y-2=0 параллельно и перпендикулярно прямой y=x+1.
    3. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями y=x-2 и x-5y+6=0. Диагонали его пересекаются в начале координат. Найти уравнение двух других сторон параллелограмма и его диагоналей.
    4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых x+y=4 и x-y=0 параллельно прямой x-4y+4=0


    Решение: Если прямая параллельна оси ОХ
    У=3
    -
    те для любых Х в том числе и при Х=2 значение функции равно 3
    х=2 уравнение прямой || оси ОХ
    2. У=3х-2
    -
    3у=-1
    У= -1/3
    -
    Найдём координату Х точки пересечения
    3х-2= -1/3
    3х=2-1/3= 1 2/3=5/3
    Х=5/3:3= 5/3*1/3=5/6
    Х=5/6
    -
    Найдём координату у
    У=3*5/6-2=5/2 - 2=
    2 1/2-2=1/2
    Точка пересечения
    А(5/6;1/2)
    Прямая у=Х+1. К1=1
    -
    Прямая у =КХ+в
    нужно составить)
    Прямые будут перпендикулярны, если произведение угловых коэффициентов = -1
    К*к1= -1
    К*1= -1. К= -1
    И так угловой коэффициент нашей прямой будет -1, и она проходит через точку А( 5/6;1/2)
    Подставим все в уравнение у =КХ+в
    и узнаем чему равно
    в.
    1/2= (-1)*5/6+в
    1/2+5/6=в
    3/6+5/6=в
    8/6=в
    4/3=в. в=1 1/3
    И так : к = -1; в=1 1/3
    У= -Х+1 1/3
    Прямые параллельны если к=к1
    К=1
    1/2=1*5/6+в
    1/2 -5/6=в
    3/6-5/6=в
    -2/6=в
    В= -1/3
    К=1. в= -1/3
    -
    У=Х - 1/3

  • Найти координаты точки пересечения плоскости 4x + y + 2z - 6 = 0 и прямой
    x = 3 + 2t;
    y = t;
    z = 4 – t


    Решение: При пересечении координаты плоскости и прямой совпадают. Поэтому надо в уравнение плоскости подставить значения переменных прямой.
    4( 3 + 2t) + t + 2(4 - t) - 6 = 0
    12 + 8t + t + 8 - 2t - 6 = 0
    7t = -14
    t = -14 / 7 = -2.
    Теперь подставляем значение t в уравнение прямой:
    x = 3 + 2t = 3 + 2*(-2) = 3 - 4 = -1;
    y = t = -2;
    z = 4 – t = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6.
    Ответ: координаты точки пересечения (-1; -2; 6).

  • Уравнение y=3x^2-5x+4
    параболы
    Координаты вершины(нужно найти)
    Координаты точки пересечения с осью Oy(найти)
    Координаты точки пересечения с осью Ох(найти)


    Решение: Для вершины параболы верно: x = -b/2a = 5/6

    Подставим в функцию, получим y = 3*(5/6)^2-5*(5/6)+4 = 75/36 - 25/6 +4 = (75-150+144)/36 = 69/36 = 23/12

    Пересечения с осью 0y - значит х=0. Подставим:

    y = 4

    Пересечения с осью 0х - решения квадратного уравнения:

    D = 25 - 4*3*4

    Получается, что дискриминант отрицательный, вещественных решений нет. 

    Проверяется рисованием графика по клеточкам. Заодно видно будет, пересекается или нет. Но общие алгоритмы такие

  • Записать координаты вершин А, В, С параллелограмма ABCD, найти координаты вершины D и точки О (пересечения диагоналей параллелограмма). Записать уравнение стороны АВ и высоты СН.


    Решение: Точки  A(4,0), B(0,0), C(2,2).
    Диагонали параллелограмма в точке пересечения (точка О) делятся пополам. Найдём координаты т. О как кординаты середины отрезка АС.
    $$ x_{o}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{4+2}{2}=3\\\\y_{o}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{0+2}{2}=1\\\\O(3,1) $$
    Точку Д тоже найдём из соображений, что точка О - середина отрезка ВД.
    $$ x_{O}=\frac{x_{B}+x_{D}}{2},\; \; x_{D}=2x_{O}-x_{B},\; \; x_{D}=6-0=6\\\\y_{D}=2y_{O}-y_{B}=2-0=2\\\\D(6,2) $$
    Уравнение АВ найдём как уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Но в данной задаче можно обойтись без этого способа, а заметить, что ординаты точек А и В равны 0, значит уравнение прямой АВ:  у=0.
    Вектор АВ перпендикулярен высоте СН, значит он явл. нормальным вектором для СН.
    $$ \overline {AB}=(-4,0)\\\\CH:\; A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0\\\\-4(x-2)+0(y-2)=0\\\\x-2=0\\\\CH:\; x=2 $$

  • Даны координаты четырех точек А(0,80)B(2,1,0) C(3,0,1) M(2,1,1)
    Требуется:1) составить уравнение плоскости, проходящей через точки A,B,C
    2) составить каноноческие уравнения прямой, проходящей через точку M, перпендикулярно плоскости Q
    3) найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Qи с координатными плоскостями xOy,xOz,yOz
    4) Найти расстояние от точки M до плоскости Q


    Решение: 1) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A,B,C.
    Для составления уравнения плоскости используем формулу:
    | x - xA y - yA z - zA |
    |xB - xA yB - yA zB - zA |
    |xC - xA yC - yA zC - zA |= 0
    Подставим данные и упростим выражение:
    |x - 0 y - 8 z - 0|
    |2 - 0 (-1) - 8 0 - 0|
    |3 - 0 0 - 8 1 - 0 |= 0
    |x - 0 y - 8 z - 0|
    | 2 -9 0 |
    | 3 -8 1 | = 0
    (x - 0)(-9·1-0·(-8)) - (y - 8)(2·1-0·3) + (z - 0)(2·(-8)-(-9)·3) = 0
    (-9)(x - 0) + (-2)(y - 8) + 11(z - 0) = 0 
    - 9x - 2y + 11z + 16 = 0
    Без определителей надо решить систему из трёх уравнений:
    Уравнение плоскости:
    A · x + B · y + C · z + D = 0.
    Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:
    A · x1 + B · y1 + C · z1 + D = 0,
    A · x2 + B · y2 + C · z2 + D = 0,
    A · x3 + B · y3 + C · z3 + D = 0.
    Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом:
    A · (0) + B · (8) + C · (0) + D = 0,
    A · (2) + B · (-1) + C · (0) + D = 0,
    A · (3) + B · (0) + C · (1) + D = 0.
    Получим уравнение плоскости:
    - 9 · x - 2 · y + 11 · z + 16 = 0.
    2) Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M, перпендикулярно плоскости Q.
    В общем уравнении плоскости Ax+By+Cz+D=0, вектор N→=(A;B;C) - вектор нормали к плоскости. В найденном уравнении плоскости вектор нормали имеет следующие координаты N→=(−9;-2;11)
    Вспомним каноническое уравнение прямой (x−x0)/m=(y−y0)n=
    (z−z0)p(1), где координаты (x0;y0;z0) - координаты точки, принадлежащей прямой, согласно условия задачи это точка М( 2; 1; -1).
    Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M перпендикулярно плоскости Q: (x−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11.
    3) Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями xOy,xOz,yOz
    Уравнение прямой через точку M перпендикулярно плоскости Q: (x−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11 в параметрическом виде (x−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11=t.
    Выразим переменные через t:
    x = -9t + 2
    y = -2t + 1
    z = 11t - 1 и подставим в уравнение плоскости:
    - 9(-9t + 2) - 2(-2t + 1) + 11(11t - 1) + 16 = 0
    81t - 18 + 4t - 2 + 121t - 11 + 16 = 0
    206t - 15 = 0
    t = 15 / 206 =  0.072816.
    Координаты точки пересечения :
    x = -9t + 2 = 1.3446602,
    y = -2t + 1 = 0.8543689,
    z = 11t - 1 = -0.199029.
    Найдем точки пересечения прямой с координатными плоскостями: 
    точка пересечения прямой с плоскостью xOy; z=0,
     (x−2)/−9=(y-1)/-2=(0+1)/11=> (x−2)/−9=(y-1)/-2=1/11  запишем систему уравнений:
    (x−2)/−9 = 1/11
    11х - 22 = -9
    х = (22 - 9) / 11 = 13 / 11 =  1.181818.
    (y-1)/-2 = 1/11
    11у - 11 = -2
    у = (-2 + 11) / 11 = 9 / 11 =  0.818182.
    z = 0.
    Точка пересечения прямой с плоскостью xOz; y=0,
     (x−2)/−9=(0-1)/-2=(z+1)/11 =>  запишем систему уравнений:
    (x−2)/−9=(0-1)/-2 = 1/2
    2х - 4 = -9
    х = (-9 + 4) / 2 =-5 / 2 = -2,5.
    (z+1) / 11 = 1/2
    2z + 2 = 11
    z = (11 - 2) / 2 = 9 / 2 = 4,5/
    y = 0.
    Точка пересечения прямой с плоскостью yOz; x=0, 
    (0−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11=> (y-1)/-2=(z+1)/11 = 2/9  запишем систему уравнений:
    (y-1) / -2 = 2 / 9
    9у - 9 = -4
    у = (9 - 4) / 9 = 5 / 9 =  0.555556.
    (z +1) / 11 = 2 / 9
    9z+ 9 = 22
    z = (22 - 9) / 9 = 13 / 9 =  1.444444.
    x = 0.
    4) Найти расстояние от точки M до плоскости Q.
    Расстояние от точки M(x0;y0;z0) до плоcкости рассчитывается по формуле d=(|Ax0+By0+Cz0+D|) / √(A²+B²+C²),
    где Ax0+By0+Cz0+D - общее уравнение плоскости,
    x0;y0;z0 - координаты точки M(x0;y0;z0)
    Рассмотрим уравнение плоскости Q: - 9x - 2y + 11z + 16 = 0 - общее уравнение плоскости.
    A=−9;B=-2;C=11D=16
    Координаты точки M(2;1;−1).
    Подставим в формулу данныеd = |-9·2 + (-2)·1 + 11·(-1) + 16| = |-18 - 2 - 11 + 16| =√(-9)2 + (-2)2 + 112√81 + 4 + 121= 15 = 15√206 ≈ 1.0450995214374266.

<< < 111213 14 15 > >>