график функции »

найти координаты точки пересечения графиков - страница 8

  • Даны точки: А(а;b),B(-a;b),C(-a;-b), где а и b не равно 0. Надо найти координаты точек пересечения сторон треугольника АВС с осями координа


    Решение: У точек А и В координата y одна и та же. Следовательно, сторона АВ параллельна оси Х и пересекает ось Y в точке d(0;b).
    У точек B и C координата x одна и та же. Следовательно, сторона ВC параллельна оси Y и пересекает ось X в точке e(-a;0).
    Или так:
    Уравнение прямой, проходящей через две точки:
    (х-х1)/(х2-х1)=(y-y1)/(y2-y1).
    Прямая АВ: (х-a )/((-a)-a)=(y-b)/(b-b) или (x-a)/-2a=(y-b)/0.
    Или 0*(X-a)=-2a*(y-b) или -2a*(y-b)=0.
    Отсюда уравнение прямой АВ: y=b.
    Следовательно, сторона АВ параллельна оси Х и пересекает
    ось Y в точке d(0;b).
    Прямая ВC: (х+a )/((-a)-(-a))=(y-b)/(-b-b) или (x-a)/0=(y-b)/2b.
    Или 2b*(X-a)=0*(y-b) или 2b*(X-a)=0.
    Отсюда уравнение прямой ВC: x=-a.
    Следовательно, сторона ВC параллельна оси Y и пересекает
    ось X в точке e(-a;0).
    Прямая AC: (х-a )/((-a)-a))=(y-b)/(-b-(-b)) или (x-a)/-2a=(y-b)/-2b.
    Или 2b*(x-a)=2a*(y-b) или b*(x-a)=a*(y-b).
    Уравнение оси абсцисс y=0, оси ординат х=0.
    Тогда пересечение стороны АС с осью Х (y=0):
    bx-ba=-ba или х-а=-а или х=0.
    Пересечение стороны АС с осью Y (х=0):
    -ba=-ay-ba или y-b=-b или y=0.
    То есть координаты пересечения прямой АС с осями ординат:  Х=0 и Y=0 (начало координат).
    Ответ: пересечение сторон треугольника с осями ординат
    в точках с координатами d(0;b), e(-a;0) и o(0;0).

  • Точки а(-5,1) b(-1,4) c(3,2) являются вершинами треугольника через точку а проведена прямая параллельная bc, а через точку b, прямая, перпендикулярная bc. Найти координаты точки пересечения данных прямых.


    Решение: Уравнение прямой ВС
    k1=(2-(-4)/(3-(-1) = 3/2 Cy=2= 3/2*Cx+b b = 2-9/2 = -2 1/2
    Y(bc) = 3/2X- 2 1/2
    Перпендикулярно через точку В.
    к2 = -1/к1 = - 2/3 By = -4= -2/3*(-1) +b b = -4 2/3
    Y (bk) = -3/2-X- 4 2/3.
    Параллельно ВС через А.
    к3=к1 = 3/2 Аy= -1 = 3/2*(-5) +b b= -1+15/2 =6 1/2
    Y(ak) = 3/2X+ 6 1/2
    Точка пересечения К - решение системы уравнений Y(bk) и Y(ak)
    - самостоятельно

  • Даны точки А B C D на плоскости
    А(4; -6) В(-1; -1) С(1; 1) D(4; -8)
    а) Составить уравнения прямых АВ и CD, и найти координаты точки М пересечения этих прямых.
    б) Составить уравнения МN перпендикулярной BD и прямых параллельных осям координат проходящим через точку М.


    Решение: 2) А(2;0), В(-1;-1). 
    АВ ⇒ 
    Это уравнение прямой АВ в каноническом виде.
    Уравнение в общем виде будет таким:
    АВ ⇒ -х + 2 = -3у
      ⇒ х - 3у - 2 = 0.
    Уравнение в виде "с коэффициентом":
    АВ ⇒ у = (1/2) х - (2/3).
    4) А(8;1), В(-2;-7).
    Уравнение прямой АВ в каноническом виде:
    Уравнение в общем виде будет таким:
    АВ ⇒ -8x + 64 = -10y + 10,
      ⇒ 4x -5y -27 = 0.
    Уравнение в виде "с коэффициентом":
    АВ ⇒ у = (4/5)x - (27/5).

  • 1. Начертить график функции у=2х+3
    Найти точки пересечения с осями х и у. Принадлежит ли точка с координатами (-20,37) графику функции. Я как бы это понимаю. Но где они берут число х?
    2. упростить (2м-3н)(5м+н)-10(м-н)².
    3. система уравнения
    5х-3у=11
    3х+у=1
    4. (3х-1)²-8(х+1)²=(2+х)(х-2)


    Решение: Функция - линейная, точки берутся с оси оХ и подставляются в уравнение, т. е. принимаете х=0 и считаете: у=2*0+3; у=3, ставите точку на пересечении координат (0;3), потом берёшь х=1, считаете. Ставите точку на графике и так далее. Для построения графиков линейных функций достаточно узнать две точки, потом провести прямую и по ней можно определить координаты любой точки графика.

  • Известны координаты вершин треугольника A(6;5) B(8;1) C(2:7). Найти ординату точки пересечения высоты (BH) с прмямой x=1


    Решение: Для ВН нормальный вектор  $$ \overline{n}=\overline{AC}=(-4,2) $$
    Можно взять вектор, коллинеарный вектору АС, за нормальный вектор высоты ВН:
    $$ \overline{n}=-\frac{1}{2}(-4,2)=(2,1) $$
    Уравнение прямой на плоскости через нормальный вектор:
    $$ A(x-x_0)+B(y-y_0)=0\\\\2(x-8)-(y-1)=0\\\\2x-y-15=0 $$
    Точка пересечения:
    $$ \left \{ {{2x-y-15=0} \atop {x=1}} \right. \; \to \; 2-y-15=0,\; y=-13\\\\Tochka\; \; M(1,13) $$

  • А(4;-6) В(6;4 корень из 6)
    В задачах 36—40 даны координаты точек А (х1; у1) и В (х2;y2). Требуется: 1) составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точки А и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс; 2) найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы; 3) найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы; 4) построить гиперболу, ее асимптоты и окружность


    Решение: 1) Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точки А и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс. А(4;-6), В(6;4√6)
    Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
    $$ \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1 $$.
    Подставим координаты известных точек:
    $$ \frac{16}{a^2} - \frac{36}{b^2}=1, \\ \frac{36}{a^2}- \frac{96}{b^2}=1. $$
    Приводим к общему знаменателю и получаем систему:
    {16b² - 36a² = a²b²,
    {36b² - 96a² = a²b².
    Отсюда 16b² - 36a² = 36b² - 96a² 
      60a² = 20b²
      b² = 3a².
    Заменим b² в уравнении гиперболы:
    $$ \frac{16}{a^2}- \frac{36}{3a^2} =1, \\ \frac{16}{a^2}- \frac{12}{a^2}=1, $$
    a² = 4,
    b² = 3*4 = 12.
    Ответ: $$ \frac{x^2}{4}- \frac{y^2}{12}=1 $$
    2) Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы.
    a - действительная полуось, b - мнимая полуось гиперболы.
    Они уже найдены: a² = 4, а = +-2
    b² = 3*4. b = +-2√3.
    c - фокусное расстояние. c = √(a² + b²) = √(4 + 12) = √16 = +-4.
    Координаты фокусов:
    F₁(-4;0), F₂(4;0).
    Точки A₁(-2;0) и A₂(2;0) (называются вершинами гиперболы, точка O – центром гиперболы.
    Эксцентриситет ε = c / a = 4 / 2 = 2
    Асимптоты y = +-(b / a).
    y₁ = (2√3) / 2 = √3
    y₂ = -(2√3) / 2 = -√3.
    3) Найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы.
    Для этого надо решить систему уравнений гиперболы и окружности.
    $$ \left \{ {{\frac{x^2}{4}- \frac{y^2}{12}=1 } \atop {x^2+y^2=16}}\right. $$
    Ответ: х = +-√7
      у = +-3.
    4) Построить гиперболу, ее асимптоты и окружность - смотри приложение (асимптоты не показаны - самому дополнить).

  • Найти уравнение перпендикулярных прямой 2х-у+5=0, проходящий через точки пересечения с данной прямой с осями координат соответственно


    Решение: 2х-у+5=0, приведем к стандартному виду уравнения прямой
    у=2х+5 - уравнение прямой
    к=2 - угловой коэффициент
    при х=0 у= 2*0+5; у=5, значит
      А(0;5) - точка пересечения с осью У
    при у=0  0 =2х+5; 2х=-5; х=-2,5, значит
      В(-2,5;0) - точка пересечения с осью Х
    Точек пересечения две, значит и прямых будет две
    у=кх+b - общее уравнение прямой,
    условие перпендикулярности прямых: к=-к
    у=-2х+b - уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой
    подставим А(0;5) 
    5=0+b; b=5
    у=-2х+5 - первое искомое уравнение
    подставим В(-2,5; 0)
    0=-2*(-2,5)+b
    0=5+b
    b=-5
    у= -2х-5 - второе искомое уравнение
    Запишем уравнение данной прямой через угловой коэффициент
    у=2х+5. определим угловой коэффициент для искомых прямых.
    k1=2.
    k2=-0,5, должно выполняться условие перпендикулярности прямых: k1·k2=-1.
    Уравнение искомой прямой принимает вид:
    у=-0,5х+b.
    Определим значение для b.
    Так как данная прямая проходит через точку (0; 5). то по условию искомая прямая проходит через эту точку. Подставим координаты (0;5) в уравнение искомой прямой
    5=-0,5·0+b, b=5.
    Уравнение первой искомой прямой будет у=-0,5х+5.
    Другая искомая прямая пройдет через точку (-2,5;0), снова подставим эти координаты в уравнение у=-0,5х+b.
    0=-0,5·(-2,5)+b,
    b =-1,25.
    Другое искомое уравнение будет у=-0,5х-1,25.
    Ответ: у=-0,5х+b;
      у=-0,5х-1,25

  • Определить, пересекается ли парабола у=1/5х^ и прямая у=20-3х. Если точки пересечения существуют, то найти их координаты.


    Решение: Чтобы определить точку пересечения, нужно приравнять две функции. $$ \frac{1}{5}x^2=20-3x \\ x_{1} =20 \\ x_{2}=5 $$

    следовательно имеет две точки пересечения. Подставив х во второе уравнение получим

    $$ y_{1}=-40 \\ y_{2}=5 $$

    1-я точка пересечения (20;-40)

    2-я (5;5)

    будут пересекаться в точке (5;5)

<< < 678