область определения функции - страница 17

Произвести полное исследование функции и построить её график
F(x)= x^3-3x^2+4
1-найти область определения функции и определить точки разрыва.
2-Выяснить, является ли чётной или нечётной.
3-определить точки пересечения функции с координатными осями.
4-найти критические точки функции.
5-определить промежутки монотонности(возрастания, убывания).
6-определить точки экстремума.
7-опредилить максимальное и минимальное значение функции.
8- определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой, найти точки перегиба.

Решение: Дана функция у = x^3-3x^2+4
1-найти область определения функции и определить точки разрыва - ограничений нет, D = R, разрывов нет.
2-Выяснить является ли чётной или нечётной.
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x³ - 3*x² + 4 = 4 - x³ - 3*x
- Нет
x³ - 3*x² + 4 = -4 -x³ -3*x²
- Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
3-определить точки пересечения функции с координатными осями.
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x³−3x²+4=0.
В кубическом уравнении надо пробовать поиски корней с +-1.
Подходит х = -1. Тогда заданное уравнение можно разложить на множители, поделив исходное уравнение на х+1.
Получаем x³−3x²+4 = (х+1)(х²-4х+4) = (х+1)(х-2)² = 0.
Имеем 2 корня: х = -1 и х = 2.
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - 3*x^2 + 4.
0³−3*0²+4 = 4. Точка: (0, 4)
4-найти критические точки функции.
Находим производную и приравниваем её нулю:
y’ = 3x²-6x = 3x(x-2).
Имеем 2 критические точки: х = 0 и х = 2.5-определить промежутки монотонности
(возрастания, убывания).
Исследуем поведение производной вблизи критических точек.
х = -0.5 0 0.5 1.5 2 2.5
y’=3x^2-6x 3.75 0 -2.25 -2.25 0 3.75.
Где производная отрицательна - функция убывает, где положительна - функция возрастает.
Убывает на промежутках (-oo, 0] U [2, oo)
Возрастает на промежутках [0, 2]
6-определить точки экстремума.
Они уже найдены: это 2 критические точки: х = 0 и х = 2.
Где производная меняет знак с - на + это минимум функции, а где с + на - это максимум функции.
Минимум функции в точке: x = 2,
Максимум функции в точке: х = 0.
7 -определить максимальное и минимальное значение функции.
Значения функции в экстремальных точках:
х = 2, у = 8-3*4+4 = 0,
х = 0, у = 4.8- определить промежутки вогнутости и выпуклости кривой, найти точки перегиба.
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2/dx2f(x)=0(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,
d2/dx2f(x)=6(x−1)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1, oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, 1].
Произвести полное исследование функции \( f(x)=8-2x-x^2 \) и построить её график.
Схема полного исследования функции.
1. Найти область определения функции и определить точки разрыва, если они имеются.
2. Выяснить, не является ли функция чётной или нечётной.
3. Определить точки пересечения функции с координатными осями, если это возможно.
4. Найти критические точки функции.
5. Определить промежутки монотонности (возрастания, убывания)
6. Определить точки экстремума.
7. Определить максимальное и минимальное значение функции.
8. Определить промежутки выгнутости и выпуклости кривой; найти точки перегиба.

Решение: F (x) = - x² -2x +8 ;
* * * * * f(x) = 9 - (x+1)² * * * * * =(3² - (x+1)² =(3 -x -1)(3+x+1) = - (x+4)(x -2) * * * * *
1.  ООФ : ( - ∞ ; ∞).
2. Функция не четной и не нечетной * * * * * и не периодической  * * * * *.
3 Точки пересечения функции с координатными осями :
а) с осью y : x =0⇒ y = 8 ; A(0 ;8)   * * * * * -0² -2*0 +8 =8 * * * * *
б) с осью x :  y =0 ⇒  - x² -2x +8 =0 ⇔ x² +2x -8 =0 ⇒x₁= -1 - 3 = - 4 ; x₂ = -1 +3 =2.
B(-4; 0) и C(2;0).
* * * * * D/4 =  (2/2)² -(-8) = 9 =3² * * * * *
4. Критические точки функции.
* * * * * значения аргумента (x)  при которых производная =0 или не существует) * * * * *
f ’ (x) = ( - x² -2x +8 )’ = - (x²)’ - (2x )’ +(8 )’ = -2* x - 2(x )’ + 0 =  -2x - 2 = -2(x+1);
  f ’ (x) = 0 ⇒ x = -1  (одна критическая точка).
5. Промежутки монотонности  :
а) возрастания :
f ’ (x) > 0 ⇔  -2(x+1) > 0 ⇔ 2(x+1) < 0 ⇔ x < -1 иначе x∈( -∞; -1).
б) убывания :
f ’ (x) < 0 ⇔  -2(x+1) <  0 ⇔ 2(x+1) > 0 иначе x∈ ( 1 ;∞ ).
6. Точки экстремума:
* * * * * производная меняет знак * * * * *
x =  - 1.
7. Максимальное и минимальное значение функции :
Единственная точка экстремума x =  - 1 является точкой максимума,
т. к.  производная меняет знак с минуса на плюс.
max(y) = - (-1)² -2(-1) +8 = 9.
8. промежутки выгнутости и выпуклости кривой; найти точки перегиба.
* * * * * f ’ ’ (x) =0 * * * * *
f ’ ’ (x) =( f’(x))’ =( -2x -2) ’ = -2 < 0 ⇒ выпуклая в ООФ здесь R by  (-∞; ∞)
не имеет точки перегиба (точки при которых f ’ ’ (x) = 0 ).
================================================================
P.S. y = -x² -2x +8 = 9 -(x+1)².
График этой функции парабола вершина в точке M(- 1; 9),  ветви направлены вниз, что указано во второй строке решения.
Эту функцию предлагали наверно для "тренировки".
1) Исследуйте функцию f(x)=3x2-x^3 по следующей схеме:
1. Область определения.
2. Точки пересечения графика с осями координат.
3. Промежутки возрастания и убывания.
4. Экстремумы
Постройте график данной функции.
2) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y= -x^3-3x^2+9-2 на отрезке [-2;2]

Решение: Функция f(x)=3x²-x³
1. Область определения - нет ограничений D(f) = R.
2. Точки пересечения графика с осями координат.
При х = 0, у = 0 точка пересечения с осью Оу.
При 3x²-x³ = 0, x²(3 - х) = 0 есть 2 точки пересечения с осью Ох: х = 0 и х = 3.
3. Промежутки возрастания и убывания.
Находим производную функции и приравниваем её 0:
f’(3x²-x³) = 6x - 3x² = 3x(2 - x) = 0.
Нашли 2 критические точки:
х = 0 и х = 2.
Находим знаки производной вблизи критических точек:
х = -0.5 0 1.5 2 2.5
у’ =6x - 3x² = -3.75 0 2.25 0 -3.75.
Где производная отрицательна - там функция убывает, где производная положительна - функция возрастает.
x < 0 и x > 2 функция убывает,
0 < x < 2 функция возрастает.
4. Экстремумы видны по пункту 3. Где производная меняет знак с - на + там минимум, где с + на - там максимум:
х = 0 минимум, х = 2 максимум.
Постройте график функции у=5-6x+x^2, применяя простейшие преобразования к графику функций у=х^2. По графику найдите область определения, множество значений, нули функции и координаты двух любых точек

Решение: Выделим полный квадрат.
х²-6х+5=(х²-2·х·3+3²-3²)+5=(х²-6х+9)-9+5=(х-3)²-4
Координата вершины параболы у= 5-6х+х² в точке (3;-4)
Считая ее за начало координат строим параболу у=х²
Уходим вправо на1 клеточку и вверх на одну ( это как точка (1;1) у параболы у = х²)
Уходим вправо на2 клеточки и вверх на 4 ( это как точка (2;4) у параболы у=х²)
Уходим влево на1 клеточку и вверх на одну ( это как точка (-1;1) у параболы у = х²)
Уходим влево на2 клеточки и вверх на 4 ( это как точка (-2;4) у параболы у=х²)
1) Используя график функции f(x)=x^3, постройте графики следующих функций :
1) у=х^3+2 2)y=x^3-1 3)y=(x-1)^3
2) Постройте график функции у=5-6x+x^2, применяя простейшие преобразования к графику функций у=х^2. По графику найдите область определения, множество значений, нули функции и координаты двух любых точек

Решение: 1) а) у=х³+2.
Все ординаты графика у = х³ увеличиваются на 2
   Это параллельный перенос у=х³ вверх на 2 единицы (клеточки)
   Считаем точку (0;2) за начало координат и от неё
Уходим вправо на1 клеточку и вверх на одну ( это как точка (1;1) у параболы у = х³)
Уходим вправо на2 клеточки и вверх на 8 ( это как точка (2;8) у параболы у=х³)
Уходим влево на1 клеточку и вниз на одну ( это как точка (-1;-1) у параболы у = х³)
Уходим влево на2 клеточки и вниз на 8 ( это как точка (-2;-8) у параболы у=х³)
б) у=х³-1
   Все ординаты графика у = х³ уменьшаются на 1
   Это параллельный перенос у=х³ вниз на 1 единицу (клеточку)
   Считаем точку (0;-1) за начало координат и от неё
Уходим вправо на1 клеточку и вверх на одну ( это как точка (1;1) у параболы у = х³)
Уходим вправо на2 клеточки и вверх на 8 ( это как точка (2;8) у параболы у=х³)
Уходим влево на1 клеточку и вниз на одну ( это как точка (-1;-1) у параболы у = х³)
Уходим влево на2 клеточки и вниз на 8 ( это как точка (-2;-8) у параболы у=х³)
в) у=(х-1)³
   В точке х =1 график этой функции ведет себя так же как у=х³ в начале координат (0;0)
Считаем точку (1;0) за начало координат и от неё
Уходим вправо на1 клеточку и вверх на одну ( это как точка (1;1) у параболы у = х³)
Уходим вправо на2 клеточки и вверх на 8 ( это как точка (2;8) у параболы у=х³)
Уходим влево на1 клеточку и вниз на одну ( это как точка (-1;-1) у параболы у = х³)
Уходим влево на2 клеточки и вниз на 8 ( это как точка (-2;-8) у параболы у=х³)
2) Выделим полный квадрат.
х²-6х+5=(х²-2·х·3+3²-3²)+5=(х²-6х+9)-9+5=(х-3)²-4
Координата вершины параболы у= 5-6х+х² в точке (3;-4)
Считая ее за начало координат строим параболу у=х²
Уходим вправо на1 клеточку и вверх на одну ( это как точка (1;1) у параболы у = х²)
Уходим вправо на2 клеточки и вверх на 4 ( это как точка (2;4) у параболы у=х²)
Уходим влево на1 клеточку и вверх на одну ( это как точка (-1;1) у параболы у = х²)
Уходим влево на2 клеточки и вверх на 4 ( это как точка (-2;4) у параболы у=х²)
Строим график у=х³
1) у=х³+2
Ось ох сдвигаем на 2 единичных отрезка вниз
2)y=x^3-1
Ось ох сдвигаем на 1 единичный отрезок вверх
3)y=(x-1)^3
Ось оу сдвигаем на 1 единичный отрезок влево.
Двигать оси легче, чем график
2) у=5-6х+х²=(х-3)²-4
Строим параболу у=х², сдвигаем ось ох на 4 единичный отрезок вверх, ось оу сдвигаем на 3 единичный отрезок влево.
Вершина в точке (3;-4)-точка минимума⇒E(y)∈[-4;∞)
D(y)∈(-∞;∞)
Нули функции (0;5),(1;0),(5;0)
А((2;-3) В(4;-3)

<< < 15 1617 18 19 > >>