многочлен »
преобразуйте выражение в многочлен - страница 3
Преобразуйте в многочлен:
а) 5y(3y – 2) – (y – 1)(y + 1); б) (d – 8)(d + 4) + (d – 5)2; в) 6(c + d)2 – 12c
. Разложите на множители: а) b3 – 36b; б) –2а2 + 8ab – 8b2.
3. Упростите выражение (b + 3)2(b – 3) + 3(b + 3)(b – 3) и найдите его значение при b=– 2.
4. Представьте в виде произведения: а) (у – 3)2 – 16у2; б) x2 – y2 – y – x.
5. Докажите тождество a4 – 1 = (a – 1)(a3 + a2 + a + 1).
Решение: $$ a) 5y*(3y - 2) - (y - 1)(y + 1)=15y^2-10y-(y^2-1)=\\=15y^2-10y-y^2+1=14y^2-10y+1 \\ b) \ (d - 8)*(d + 4) + (d - 5)*2=\\=d^2+4d-8d-32+2d-10=d^2+6d-42 \\ d) \ 6*(c + d)*2 - 12c =\\=(6c+6d)*2-12c=12c+12d-12c=12d \\ a) \ b^3 - 36b=b*(b^2-36)=b*((b-6)*(b+6)) \\ -2a^2 + 8ab - 8b^2=-2(a^2-4a+4b^2)=-2*(a-2b)^2 \\ (b + 3)*2*(b - 3) + 3(b + 3)(b - 3)=(b^2-9)*2+3*(b^2-9)=\\=(b^2-9)*(3+2)=\\=(b^2-9)*6 $$.При b = -2: $$ ((-2)^2-9)*5=(-5)*5=-25 \\ (y - 3)*2 - 16y^2=2y-6-16y^2=\\=-16y^2+2y-6=-2*(8y^2-y-3)=\\=-2*(y*(8y-1)-3) $$
1. Преобразуйте в многочлен.
1) (5-b)(5 + b)-2b(b-3); 2) - 5у(у + 3) + (у-4)2; 3)3(х-2)2-3 х2.
Разложите на множители.
1) 9х2-х6; 2) х4- 6х2 + 9.
Упростите выражение и найдите его значение при y = 1.5
(2у-1)(4у2 + 2у+1)-у(у-1)(у+1).
4. Представьте в виде произведения.
1) (x-8)2-25y2; 2)a2-b2-a + b; 3) x6 – 8.
5) Докажите тождество (a + b)2 + (a — b)2 = 2(a2 +b2).
6) Может ли выражение b2 + 25+ 10b принимать отрицательные значения? Объясните ответ.
Решение: 1) 25 - b^2 - 2b^2 + 6b = - 3b^2 + 6b + 25
2) - 5y^2 - 15 + y^2 - 8y + 16 = - 4y^2 - 8y + 1
3) 3( x^2 - 4x + 4) - 3x^2 = 3x^2 - 12x + 12 - 3x^2 = - 12x + 12
1) ( 3x - x^3)(3x + x^3)
2) ( x^2 - 3)^2
8y^3 - 1^3 - y( y^2 - 1) = 8y^3 - 1 - y^3 + y = 7y^3 + y - 1
При y = 1,5:
7y^3 + y - 1 = 7*3,375 + 1,5 - 1 = 23,625 + 1,5 - 1 =24,125
4. 1) ( x - 8 - 5y^2)(x - 8 + 5y^2)
2) ( a - b)(a + b) - ( a - b) = ( a - b)(a + b - 1)
3) ( x^2 - 2)(x^4 + 2x^2 + 4)
5) a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = 2a^2 + 2b^2
2a^2 + 2b^2 = 2a^2 + 2b^2 - верно, тождество доказано.
1. Преобразуйте в многочлен:
а) (а – 2)(а + 2) – 2а(5 – а); в) 3(х – 4)2 – 3х2.
б) (у – 9)2 – 3у(у + 1);
2. Разложите на множители:
а) 25х – х3; б) 2х2 – 20х + 50.
3. Упростите выражение (с2 – b)2 – (с2 – 1)(с2 + 1) + 2bс2 и найдите его значение при b = – 3.
4. Представьте в виде произведения:
а) (х – 4)2 – 25х2; б) а2 – b2 – 4b – 4а.
5. Докажите тождество (а + b)2 – (а – b)2 = 4аb.
Решение: а) (а – 2)( а + 2) – 2а(5 – а) =а^2-4-10a+2a^2=6a^2-10a-4
б) (у – 9)2 – 3у(у + 1) =y^2-18y+81-3y^2-3y=-2y^2-21y+81
в) 3(х – 4) 2 – 3х2 =3(x^2-8x+16)-3x^2=3x^2-24x+48-3x^2=48-24x
2. Разложите на множители:
а) 25х – х3=x(25-x^2)=x(5-x)(5+x) б) 2х2 – 20х + 50 =2(x^2-10x+25)=2(x-5)^2=2(x-5)(x+5)
3. Найдите значение выражения а2 – 4bс=36-4*(-11)*(-10)=36-440=-404
а) 452 б) -202 в) -404 г) 476
4. Упростите выражение:
(с2 – b)2 – (с2 - 1)(с2 + 1) + 2bс2 =c^4-4bc^2+b^2-c^4+1=-4bc^2+b^2+1
5. Докажите тождество:
(а + b)2 – (а – b)2 = 4аba^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=2a+2ab=4ab
1. Преобразуйте в многочлен:
а) (p – 3)(p + 3) – 4p(2 – p); в) 4(х – 3)2 – 4х2.
б) (у – 6)2 – 4у(у + 2);
2. Разложите на множители:
а) c3 – 36c; б) 3а2 – 18ab + 27b2.
3. Упростите выражение (3z – 2)(2z + 3) – (2z – 1)2 – 9z
и найдите его значение при z = –5.
4. Представьте в виде произведения:
а) а2 + 6ab + 9b2 – c2;
б) mn + mp + n2 + 2np + p2.
5. Докажите тождество (х – 7)2 – 2(х – 7)(х + 3) + (х + 3)2 = 100.
Решение: #1
$$ a)(p-3)(p+3)-4p(2-p)=p^2-9-8p+4p^2 \ =5p^2-8p-9 \\ b) 4(x-3)^2-4x^2=4(x^2-6x+9)-4x^2=4x^2-24x \ +36-4x^2=-24x+36 \\ v) (y-6)^2-4y(y+2)=y^2-12y+36-4y^2-8y \ =-3y^2-20y+36 $$
#2
$$ a) c^3-36c=c(c^2-36)=c(c-6)(c+6) \\ b)3a^2-18ab+27b^2=( \sqrt{3a} )^2-2* \sqrt{27} *a*b+( \sqrt{27b} )^2 \\ =( \sqrt{3} *a- \sqrt{27} *b)^2=( \sqrt{3} *a-3 \sqrt{3} *b)^2 $$
#3
$$ (3z-2)(2z+3)-(2z-1)^2-9z=6z^2-4z+9z-6-4z^2 \\ +4z-1-9z=2z^2-7=2(-5)^2-7=43 $$
#4
$$ a) a+6ab+9b^2-c^2=(a+3b)^2-c^2=(a+3b-c)(a+3b+c) \\ b) mn+mp+n^2+2np+p^2=m(n+p)+(n+p)^2 \ =(n+p)(m+n+p) $$
#5
$$ (x-7)^2-2(x-7)(x+3)+(x+3)^2=((x-7)-(x+3))^2= \\ (x-7-x-3)^2=(-10)^2=100 $$
1. Преобразуйте в многочлен:
а) 5y(3y – 2) – (y – 1)(y + 1); в) 6(c + d)2 – 12cd.
б) (d – 8)(d + 4) + (d – 5)2;
2. Разложите на множители:
а) b3 – 36b; б) –2а2 + 8ab – 8b2.
3. Упростите выражение (b + 3)2(b – 3) + 3(b + 3)(b – 3) и найдите его значение при b = – 2.
4. Представьте в виде произведения:
а) (у – 3)2 – 16у2; б) x2 – y2 – y – x.
5. Докажите тождество a4 – 1 = (a – 1)(a3 + a2 + a + 1).
Решение: 1а) 5y(3y–2)–(y–1)(y+1)=15y^2-10y-y^2+1=14y^2-10y+1
1б) (d–8)(d+4)+(d–5)^2=d^2+4d-8d-32+d^2-10d+25=2d^2-14d-7
1в) 6(c+d)^2–12cd=6(c^2+2cd+d^2)-12cd=6c^2+6d^2
2a) b^3–36b=b(b-6)(b+6)
2б) –2а^2+8ab–8b^2=-2(a^2-4ab+4b^2)=-2(a-2b)(a-2b)
3) (b+3)^2(b–3)+3(b+3)(b–3)=(b^2-9)(b+3)+3(b^2-9)=b^3+3b^2-9b-27+3b^2-27=b^3+6b^2-9b-54
при b=-2 получается:
-8+24+18-54=34-54=-20
4a) (у–3)^2–16у^2=(y-3-4y)(y-3+4y)=(-3y-3)(5y-3)
4б) x^2–y^2–y–x=(x-y)(x+y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)
5) a^4–1=(a–1)(a^3+a^2+a+1)
a^4-1=a^4+a^3+a^2+a-a^3-a^2-a-1=a^4-1
