интеграл »
неопределенный интеграл - страница 13
1) скорость прямолинейного движения точки задана уравнением V=3x/2 -2x
2) Найти уравнения пути и ускорения тела за время (t) 2с
3) вычислите неопределенный интеграл
Решение: Первая производная от пути является скорость, а вторая производная от пути является ускорением. нам дана функция скорости. следовательно проинтегрировав ее мы получим функцию пути. а взяв производную от нее получим ускорение.
$$ \int\limits { \frac{3x}{2-2x} } \, dx =- \frac{3}{2}x- \frac{3}{2}ln(-2+2x)+const \\ ( \frac{3x}{2-2x})’= \frac{3}{2-2x}+ \frac{6x}{(2-2x)^2} $$
найти неопределенные интегралы и результаты проверить дифференцированием int x*lnx dx
Решение: int(x*ln(x)dxПусть
ln(x)=u dx/x=du
xdx=dv x^2/2=v
тогда, используя интегрирование по частям получим
int(x*ln(x)dx=x^2ln(x)/2-int((x^2/2)*(1/x)dx=
=x^2ln(x)/2-(1/2)*int(x)dx=x^2ln(x)/2-x^2/4
Проверим результат дифференцированием
y=x^2ln(x)/2-x^2/4
y ’ =[2x*ln(x)/2+(x^2/2)*(1/x)]-2x/4=x*ln(x)
Найти неопределенные интегралы, используя выделение полного квадрата
∫ 11x-3 / (x^2+6x+13) dx
Решение: $$ \displaystyle I=\int\frac{11x-3}{x^2+6x+13}\,dx $$
Найдем производную знаменателя и выделим её в числителе.
$$ \displaystyle (x^2+6x+13)’=2x+6; \ 11x-3=5.5(2x+6)-36 $$
Теперь интеграл разбивается на два.
$$ \displaystyle I=\int\frac{5.5(2x+6)}{x^2+6x+13}\,dx-\int\frac{36}{x^2+6x+13}\,dx= \\ \\ 5.5\int\frac{2x+6}{x^2+6x+13}\,dx-36\int\frac{1}{x^2+6x+13}\,dx =I_1-I_2 $$
Находим I₁. Сделаем замену u=x²+6x+13, тогда du=(2x-6)dx - чего мы и добивались, выделяя в числителе производную знаменателя.
$$ \displaystyle I_1=5.5\int \frac{du}{u}=5.5\ln(u)+C_1=5.5\ln(x^2+6x+13)+C_1 $$
Теперь займемся I₂.
Выделим в знаменателе полный квадрат.
x²+6x+13 = (x²+2·3·x+3²)-3²+13 = (x+3)²+4
Сделаем замену u=x+3, тогда du=dx и вычислим I₂
$$ \displaystyle I_2=36\int \frac{du}{u^2+4} $$
Это табличный интеграл:
$$ \displaystyle \int \frac{dx}{x^2+a^2}= \frac{1}{a}\, arctg \frac{x}{a}+C $$
Тогда можно записать
$$ \displaystyle I_2= 36\frac{1}{2}\,arctg \frac{u}{2}+C_2=18\,arctg \frac{x+3}{2}+C_2 $$
Окончательно получаем
$$ \displaystyle I=5.5\ln(x^2+6x+13)-18\,arctg \frac{x+3}{2}+C $$
Найти неопределенные интегралы. \( A) \int\limits \frac{xdx}{(x^2+4)^6}\\ б) \int\limits e^xsin(1+3e^x)dx\\ в) \int\frac{3x^3+1}{x^2-x} \, dx\\ \int\frac{dx}{sinx + tgx} \)
Решение: A)
$$ \int\limits \frac{xdx}{(x^2+4)^6} = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(x^2+4)}{(x^2+4)^6} = \frac{1}{2} *(-\frac{1}{5*(x^2+4)^5})+C=-\frac{1}{10*(x^2+4)^5}+C $$
б)
$$ \int\limits e^xsin(1+3e^x)dx = \frac{1}{3}\int\limits sin(1+3e^x)d(1+3e^x)=\\=\frac{1}{3}*(-cos(1+3e^x))+C=- \frac{cos(1+3e^x)}{3}+C $$
в)
$$ \int\frac{3x^3+1}{x^2-x} \\, dx= \int(3x+3+\frac{3x+1}{x^2-x}) \\ dx=|\frac{3x+1}{x^2-x}= \frac{A}{x}+ \frac{B}{x-1}=\\= \frac{Ax-A+Bx}{x^2-x}= \frac{(A+B)x-A}{x^2-x};A=-1;B=4|= \int(3x+3+\frac{4}{x-1}-\frac{1}{x}) \\ dx= \frac{3x^2}{2}+3x+4*ln |x-1|-ln|x|+C=3x( \frac{x}{2}+1)+ ln\frac{(x-1)^4}{|x|}+C $$Решение примера г) в приложении.
Найти неопределенные интегралы способом подстановки \( \int\limits^a_b {10t* \sqrt{t^2-3} } \, dt \)
Решение: Это определенный интеграл: есть пределы интегрирования.
$$ \int\limits^a_b {10t* \sqrt{t^2-3} } \, dt = \int\limits^a_b {5 \sqrt{t^2-3} } \, d(t^2)= \\ 5\int\limits^a_b {\sqrt{t^2-3} } \, d(t^2-3)= \frac{5*2}{3} (t^2-3)^{\frac{3}{2}}|^b_a= \\ = \frac{10}{3} (t^2-3)^{\frac{3}{2}}|^b_a=\frac{10}{3}((b^2-3)^{\frac{3}{2}}-(a^2-3)^{\frac{3}{2}}) $$
___________________________________________________________
Это неопределенный интеграл
$$ \int {10t* \sqrt{t^2-3} } \, dt = \int {5 \sqrt{t^2-3} } \, d(t^2)= \\ =5\int{\sqrt{t^2-3} } \, d(t^2-3)= \frac{5*2}{3} (t^2-3)^{\frac{3}{2}}=\frac{10}{3} (t^2-3)^{\frac{3}{2}} $$
