интеграл »

неопределенный интеграл - страница 14

  • Найти неопределенные интегралы \( а) \int\frac{sinxdx}{\sqrt[4]{cos^3x}}; б) \int\frac{dx}{\sqrt[3]{1+x}} ; в) \int x^3lnxdx; г) \int\frac{2dx}{x^2 +2x} ; \)


    Решение: 1)$$ \int\limits {cos^{- \frac{3}{4} }x} \, dcosx =-(cosx)^{-3/4+1}/1/4+C=-4cos^{ \frac{1}{4} }x+C=-4 \sqrt[4]{cosx}+C $$
    2)$$ \int\limits {(x+1)^{-1/3}} \, d(x+1) =(x+1)^{2/3}/ \frac{2}{3} +Cc=3(x+1)^{ \frac{2}{3} }/2+C $$
    3) по частям u=lnx  dv=x^3dx
       du=dx/x  v=x^4/4
    =$$ x^{4}*lnx/4- \int\limits { \frac{x^4}{4x} } \, dx = \frac{x^4lnx}{4}- \frac{1}{4} \int\limits {x^3} \, dx = \frac{x^4lnx}{4}- \frac{x^4}{4}+c $$
    5)$$ \int\limits {1-sin^2x} \, dsinx =sinx- \frac{sin^3x}{3}+C $$
    4) разложим на простейшие дроби
    А/x+B/x+2=Ax+2A+Bx/x(x+2)=1/x-1/x+2
    A+B=0  B=-1
    2A=2  A=1
    $$ \int\limits {( \frac{1}{x}- \frac{1}{x+2}) } \, dx =ln|x|-ln|x+2|+C=ln |\frac{x}{x+2}|+C $$

  • Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием. \(\int x^3(1-2x^4)^3 dx\\ \int\frac{dx}{\sqrt[3]{(2x+1)^2}}\\ \int\frac{ln x}{x^2}dx \)


    Решение: 1
    x³*(1-2x^4)³=x³*(1-6x^4+12x^8-8x^12)=x³-6x^7+12x^11-8x^15
    S[x³*(1-2x^4)³]dx=S(x³-6x^7+12x^11-8x^15)dx=x^4/4-3x^8/4+x^12-x^16/2+C
    проверка
    (x^4/4-3x^8/4+x^12-x^16/2+C)’=4x³/4-24x^7/4+12x^11-16x^15/2+0=
    =x³-6x^7+12x^11-8x^15
    2
    Sdx/∛(2x+1)²=3/2*∛(2x+1)+C
    проверка
    (3/2*∛(2x+1)+C)=3/2*1/3*1/∛(2x+1)² *2+0=1/∛(2x+1)²
    3
    u=lnx⇒du=dx/x
    dv=dx/x²⇒v=-1/x
    S(lnx/x²)dx=lnx*(-1/x)-S(-1/x)*dx/x=(-lnx)/x+Sdx/x²=(-lnx)/x-1/x=-1/x*(lnx+1)
    проверка
    (-1/x*(lnx+1))’=(-1/x)’*ln(x+1)-1/x*(lnx+1)’=1/x²*(lnx+1)-1/x*1/x=
    =(lnx)/x²+1/x²-1/x²=(lnx)/x²

  • Неопределенный интеграл \( \int\limits{ \frac{2x+1}{x^2+16} } \, dx= \)


    Решение: $$ \int\limits{ \frac{2x+1}{x^2+16} } \, dx= \frac{1}{4}arctg \frac{x}{4}+ln(x^2+16)+C \\ \int\limits{ \frac{1}{x^2+16} } \, dx+ \int\limits{ \frac{2x}{x^2+16} } \, dx \\ $$
    первый табличный интеграл
    второй приводим к табличному через замену
    $$ \int\limits{ \frac{1}{x^2+a^2} } \, dx= \frac{1}{a}arctg \frac{x}{a}+C=- \frac{1}{a}arcctg \frac{x}{a}+C1 \\ \int\limits{ \frac{1}{x^2+16} } \, dx= \int\limits{ \frac{1}{x^2+4^2} } \, dx=\frac{1}{4}arctg \frac{x}{4}+C $$
    второй приводим к следующему интегралу
    $$ \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx=ln !x!+C \\ d(x^2+16)=2xdx \\ \int\limits { \frac{2x}{x^2+16} } \, dx = \int\limits { \frac{1}{x^2+16} } \, d(x^2+16) $$
    x^2+16=t
    $$ \int\limits { \frac{1}{t} } \, dt = ln!t!+C1 $$
    делаем обратную замену
    $$ = ln(x^2+16)+C1 $$ модуль убрали так как x^2+16>0
    Итак получаем
    $$ \int\limits { \frac{2x+1}{x^2+16} } \, dx= \frac{1}{4}arctg \frac{x}{4}+ln(x^2+16)+C= \\ -\frac{1}{4}arcctg \frac{x}{4}+ln(x^2+16)+C $$

    int limits frac x x dx frac arctg frac x ln x C int limits frac x dx int limits frac x x dx первый табличный интегралвторой приводим к табличному через замену int limits frac...

  • Найдите следующие неопределенные интегралы. интеграл от sin3x sinxdx. 2) интеграл от cos5xcos3xdx.


    Решение: 1)

    sin(x)*sin(3x)

    так как

    sin (3x)= sin(2x + x) = sin(2x) cos(x) + sin(x)cos(2x), то

    sin(x)*sin(3x)=sin(x)*[ sin(2x) cos(x) + sin(x)cos(2x)]=

    =sin(x)*[2sin(x)cos(x)*cos(x)+sin(x)*(2cos^2(x)-1)]=

    =sin^2(x)*[2cos^2(x)+2cos^2(x)-1]=sin^2(x)*[4cos^2(x)-1]=

    =4sin^2(x)cos^2(x)-sin^2(x)

      a. int(4sin^2(x)cos^2(x))dx=int(2sin(x)cos(x))^2dx=int(sin(2x)^2dx=

    =int((1/2)*(1-cos(2*2x)))dx=(1/2)*(x-(1/4)*sin(4x))+c

    б. int(sin^2(x))dx=(-1/2)int(1-cos(2x))dx=(-1/2)*[x-(1/2)sin(2x))]+c

    итого

    int sin(x)*sin(3x)dx=(1/2)*[x-(1/4)*sin(4x)]+c1+(-1/2)*[x-(1/2)sin(2x)]+c2=

    =(1/2)*[(1/2)sin(2x)-(1/4)sin(4x)]+c

  • Вычислить неопределенный интеграл ()
    \( \int\limits {(x^2+2x-1)cos3x} \, dx \)


    Решение: Int (x^2+2x-1)*cos 3x dx = Int x^2*cos 3x dx + 2*Int x*cos 3x dx - Int cos 3x dx = A
    Решаем каждый интеграл по отдельности. Первый - 2 раза по частям.
    Int x^2*cos 3x dx = 1/9*Int (3x)^2*cos 3x dx = |3x = y, dy = 3dx| =
    = 1/27*Int y^2*cos y dy = |u=y^2, dv=cos y dy, du = 2y dy, v=sin y| =
    = 1/27*(y^2*sin y - 2*Int y*sin y dy) = |u=y, dv=sin y, du=dy, v=-cos y| =
    = 1/27*y^2*sin y - 2/27*(-y*cos y + Int cos y dy) =
    = y^2/27*sin y + 2y/27*cos y - 2/27*sin y = x^2/3*sin 3x + 2x/9*cos 3x - 2/27*sin 3x
    Int x*cos 3x dx берется точно также, только один раз по частям.
    Int x*cos 3x dx = |y = 3x| = 1/9*Int y*cos y dy = |u=y, dv=cos y, du=dy, v=sin y| =
    1/9*(y*sin y - Int sin y dy) = x/3*sin 3x + 1/9*cos 3x
    Int cos 3x dx = 1/3*sin 3x
    Подставляем все это в интеграл
    A = x^2/3*sin 3x+2x/9*cos 3x-2/27*sin 3x+2x/3*sin 3x+2/9*cos 3x-1/3*sin 3x+C =
    = sin 3x*(x^2/3 + 2x/3 - 2/27 - 1/3) + cos x*(2x/9 + 2/9) + C =
    = 1/3*sin 3x*(x^2 + 2x + 1) + x/9*cos x*(2x + 2) - 2/27*sin 3x + C

<< < 121314 15 16 > >>