интеграл »

неопределенный интеграл - страница 15

  • Составить уравнение касательной к параболе у=2x^2 - 12x + 20 в точке с абсциссой x=4

    Или: Найдите неопределённый интеграл \( \int \frac{tg2x}{cos^{2}x}\, dx \)


    Решение: 1) Общее уравнение касательной к графику функций

    y = f(x₀) + f ’(x₀)(x – x₀), x₀ - абцисса точки касания

    f(4) = 2*4² - 12*4 + 20 = 4

    f ’(x) = 4x - 12

    f ’(4) = 4

    y = 4 + 4(x - 4) = 4x - 12 - уравнение касательной к параболе

    2) $$ \int{\frac{tg2x}{Cos^2x}}\, dx = \int{tg(2x)}\, d(tgx) = \int{\frac{2tgx}{1-tg^2x}}\, d(tgx) \\ \int{\frac{2tgx}{1-tg^2x}}\, d(tgx) = \int{\frac{-1}{1-tg^2x}}\, d(1-tg^2x) = - ln|1-tg^2x| + C $$

  • Решить неопределенные интегралы вида

    1) \( \int sin11x*cos3x dx \)

    2) \( \int sin^3 *2x * cos2x dx \)

    3) \( \int (1 - 8x^2)*cos4x dx \)


    Решение: 1)-(4*cos(14*x)+7*cos(8*x))/112+ C

    2)sin(2*x)^4/8+ C

    3) -(((16*x^2-2)*sin(4*x)+8*x*cos(4*x))/2-sin(4*x))/4+ C

    Такие огромные ответы получились 

    sin11x*cos3x=1/2(sin14x+sin8x)

    d(sinx)=cosx

    - cos x cos x C sin x C - x - sin x x cos x -sin x C Такие огромные ответы получились sin x cos x sin x sin x d sinx cosx...

  • Найдите неопределенные интегралы:
    1. \( \int\limits^{} \, \sqrt[]{5-2x} \ \ dx \)
    2. \( \int\limits^ {} \,( 2x^{2} - 7)^{5} \ xdx \)
    3. \( \int\limits^ {} \, 4^{x^{3}} x^{2} \ dx \)
    4. \( \int\limits^ {} \, \frac{cosx}{ \sqrt[3]{3sinx} } dx \)
    с решением.


    Решение: 1) Так как d(5-2x)=-2·dx, заменим dx на -d(5-2x)/2
    $$ =- \frac{1}{2} \int\limits { (5-2x) ^{ \frac{1}{2} } } \, d(5-2x)=- \frac{1}{2}\cdot \frac{(5-2x) ^{ \frac{1}{2}+1 } }{ \frac{1}{2} +1} +C= \\ =- \frac{1}{3}(5-2x) \sqrt{5-2x} $$
    2) Так как d(2x²-7)=4xdx, заменим х dx  на d(2x²-7)/4
    $$ = \frac{1}{4} \int\limits {(2 x^{2}-7) ^{5} } \, d(2 x^{2} -7) = \frac{1}{4} \cdot \frac{(2 x^{2} -7) ^{6} }{6} +C= \frac{(2 x^{2}-7)x^{6} }{24}+C $$
    3) Так как d(x³)=3x²dx, заменим x²dx  на d(x³)/3
    $$ = \frac{1}{3} \int\limits {4 ^{x^{3} } } \, d( x^{3}) = \frac{1}{3} \cdot 4 ^{x ^{3} } \cdot ln4 +C $$
    4) Так как d(sinx)=cos x dx, заменим  cos x dx на d(sin x)
    $$ = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \int\limits {(sinx) ^{ -\frac{1}{3} } } \, d(sinx)= \frac{1}{ \sqrt[3]{3} }\cdot \frac{(sinx) ^{- \frac{1}{3}+1 } }{- \frac{1}{3}+1 } +C = \frac{3}{2 \sqrt[3]{3} } \sqrt[3]{sin ^{2} x}+C $$

  • Решить неопределенные интегралы:
    1) \( (1) \int\limits dx/ \sqrt{6x-x^2}\\ (2) \int\limits cos(^5)4xdx\\ (3)\int\limits xdx/x^2+10\\ 4)\int\limits dx/2x+3\\\\\\ \)


    Решение: $$ 1)\;\int\frac{dx}{\sqrt{6x-x^2}}=\int\frac{dx}{\sqrt{9-9+6x-x^2}}=\int\frac{dx}{\sqrt{9-(x-3)^2}}=\left(\begin{array}{c}u=x-3\\du=dx\end{array}\right)=\\=\int\frac{du}{\sqrt{9-u^2}}=\int\frac{du}{\sqrt{3^2-u^2}}=\arcsin\frac{u}3+C=\arcsin\left(\frac{x-3}3\right)+C\\\\2)\;\int\cos^54x\;dx=\left(\begin{array}{c}u=4x\\du=4dx\end{array}\right)=\frac14\int\cos^54x\;dx\\\int\cos^nax\;dx=\frac{\cos^{n-1}ax\cdot\sin ax}{an}+\frac{n-1}n\int\cos^{n-2}ax\;dx \\ \frac14\int\cos^54x\;dx=\frac14\left(\frac15\sin u\cos^4u+\frac45\int\cos^3u\;du\right)=\\=\frac1{20}\sin u\cos^4u+\frac15\int\cos^3u\;du=\frac1{20}\sin u\cos^4u+\frac1{15}\sin u\cos^2u+\\+\frac2{15}\int\cos u\;du=\frac1{20}\sin u\cos^4u+\frac1{15}\sin u\cos^2u+\frac2{15}\sin u+C=\\=\frac1{960}\left(150\sin4x+25\sin12x+3\sin20x\right)+C\\\\3)\;\int\frac{x\;dx}{x^2+10}=\left(\begin{array}{c}u=x^2+10\\du=2x\;dx\end{array}\right)=\frac12\int\frac{du}u=\frac12\ln u+C=\\=\frac12\ln(x^2+10)+C \\ 4)\;\int\frac{dx}{2x+3}=\left(\begin{array}{c}u=2x+3\\du=2dx\end{array}\right)=\frac12\int\frac{du}u=\frac12\ln u+C=\frac12\ln(2x+3)+C $$

  • Неопределенный интеграл sinx^2cosxdx


    Решение: Неопределенный интеграл sin x^2cosxdx = косинус х мы присоединяем к дифференциалу dx, а дифференциал (производная) от косинус х это минус синус х, минус выносим за знак интеграла и получаем
    = минус неопр. инт. sin x^2d(sin x) = так как d у нас теперь не по х, а по sin x, то для удобства заменим sin x=y, получаем = минус неопр. инт. y^2dy = по формуле получим = минус y^3/3 + c = делаем обратную замену = минус sinx^3/3 + c

    Неопределенный интеграл sin x cosxdx косинус х мы присоединяем к дифференциалу dx а дифференциал производная от косинус х это минус синус х минус выносим за знак интеграла и...
<< < 131415 16 17 > >>