интеграл »

вычислить интеграл - страница 17

  • Вычислить интеграл \( \int\limits_{-1}^2 xe^{5x}dx \)


    Решение: Определим сначала неопределенный интеграл

    инт(x*e^(5x))dx = 

    - 

    инт(VdU) = V*U- инт(UdV)

    V = x d V =dx

    dU = e^(5x) U = инт(e^(5x)dx) = (1/5)e^(5x)

    -

    = (x/5)*e^(5x)- инт((1/5)e^(5x)dx) = (x/5)*e^(5x) - (1/25)e^(5x) +C

    Теперь определим определенный интеграл

    инт(от-1 до2)(x*e^(5x))dx = [(x/5)*e^(5x)-(1/25)e^(5x)]I(от -1 до 2) =

    (2/5)e^(5*2)-(1/25)e^(5*2) - (-1/5)e^(-5)+(1/25)e^(-5) = e^(10)*(2/5-1/25) +e^(-5)*(1/5+1/25) =

    =(9/25)e^(10)+(11/25)e^(-5)

  • вычислить интеграл \( \int\limits { \frac{1}{x\sqrt{lnx}} } \, dx \)


    Решение: Рассмотрим для начала неопределенный интеграл:
    $$ I =\int\limits { \frac{1}{x\sqrt{lnx}} } \, dx = \int\limits { \frac{1}{\sqrt{lnx}} } \, d(lnx) \\ \\ lnx=t \\ \\ I= \int\limits { \frac{1}{\sqrt{t}} } \, dt=2\sqrt{t}+C\ =2\sqrt{lnx}+C $$
    Теперь с учетом пределов интегрирования и факта ln е =1 получим:
    $$ \int\limits { \frac{1}{x\sqrt{lnx}} } \, dx=2\sqrt{lnx}|^{e^4}_e=2(\sqrt{lne^4}-\sqrt{lne})=2*1=2 $$

  • Вычислить интеграл \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}}(2e^{2x-1}+1) dx \)


    Решение: 1) интеграл от 0 до 1/2 (2e^(2x-1)+1)dx
    сначала посчитаем простой интеграл без отрезков:
    интеграл (2e^(2x-1)+1)dx= интеграл (2e^(2x-1))dx + интеграл 1*dx= 2 интеграл e^(2x-1)dx + x=
    проведем замену {t=2x-1 dt=2*dx dx=dt/2} 
     =2 интеграл e^t *dt/2 + x= 2*e^t/2 +x
    теперь считаем дальше (возвращаем замену)
    e^(2x-1) от 0 до 1/2 + x от 0 до 1/2= e^((2*1/2) -1) - e^(2*0-1) + (1/2-0)= e^0 - e^-1 +1/2= 1.5 - 1/e= 1.5 - 1/2.7= 1.1321
    2) интеграл от -1 до -2 (x-1)dx/3x
    посчитаем сначала интеграл
    интеграл (x-1)dx/3x= 1/3 * интеграл (x-1)dx/x= 1/3 (инт (1*dx) - инт (dx/x))= 1/3 * (x-lnx) = x/3 - ln(x)/3
    Сюда нужно подставить -1 и -2
     
    x/3 от -1 до -2 - lnx/3 от -1 до -2= (-2+1)/3 - (ln(-2)/3 - ln(-1)/3)
    досчитывайте самостоятельно
    3) интеграл от -1 до -2 ((sqrt(x^2-2x+1))dx/x
    Подсчитаем сначала сам интеграл 
    интеграл sqrt(x^2-2x+1)dx/x= интеграл sqrt((x-1)^2)dx/x= интеграл (x-1)dx/x= интеграл xdx/x - интеграл dx/x= x - lnx
    Подставим:
    (-2) - (-1) - (ln(-2) - ln(-1)) = -1 - (ln(-2) - ln(-1))
    ситуация аналогичная со вторым примером

  • Нужно вычислить интеграл (если он сходится) \( \int\limits_0^1 (x*ln(2x)) dx \)


    Решение: Решаем неопределенный интеграл
    Int (x*ln(2x)) dx = |u = ln(2x), dv = x dx, du = dx/x, v = x^2/2| =
    = x^2/2*ln(2x) - Int x/2 dx = x^2/2*ln(2x) - x^2/4
    Подставляем пределы интегрирования
    x^2/2*ln(2x) - x^2/4 | (0, 1) =
    = 1/2*ln(2) - 1/4 - lim(x->0) x^2/2*ln(2x) + 0 =
    = 1/2*ln(2) - 1/4 - 1/2*lim(x->0) x^2*ln(2x) =
    = 1/2*ln(2) - 1/4 - 1/2*0 = 1/2*ln(2) - 1/4
    Предел находим в Вольфрам Альфе.

  • Вычислить интегралы \( \int\limits_{0}^3(7x^3+4x)dx;\\ \int\limits_{-1}^25x^2dx;\\ \int\limits_{-2}^3(x^2-3x)dx \)


    Решение: $$ \int\limits_{0}^3(7x^3+4x)dx=\left[7\cdot\frac{1}{4}x^4+4\cdot\frac{1}{2}x^2\right]_0^3\\\\=\frac{7}{4}\cdot3^4+2\cdot3^2-(\frac{7}{4}\cdot0^4+2\cdot0^2)=\frac{7}{4}\cdot81+2\cdot9=\frac{567}{4}+18\\\\=141,25+18=159,75 \\ \int\limits_{-1}^25x^2dx=\left[5\cdot\frac{1}{3}x^3\right]^2_{-1}=\frac{5}{3}\cdot2^3-\frac{5}{3}\cdot(-1)^3=\frac{5}{3}\cdot8-\frac{5}{3}\cdot(-1)\\\\=\frac{40}{3}+\frac{5}{3}=\frac{45}{3}=15 \\\int\limits_{-2}^3(x^2-3x)dx=\left[\frac{1}{3}x^3-3\cdot\frac{1}{2}x^2\right]^3_{-2}\\\\=\frac{1}{3}\cdot3^3-\frac{3}{2}\cdot3^2-\left[\frac{1}{3}\cdot(-2)^3-\frac{3}{2}\cdot(-2)^2\right]\\\\=\frac{1}{3}\cdot27-\frac{3}{2}\cdot9-\left(\frac{1}{3}\cdot(-8)-\frac{3}{2}\cdot4\right)\\\\=9-\frac{27}{2}-\left(-\frac{8}{3}-3\cdot2\right)\\\\=9-13\frac{1}{2}-\left(-2\frac{2}{3}-6\right)\\\\=-4\frac{1}{2}-\left(-8\frac{2}{3}\right)=-4\frac{1}{2}+8\frac{2}{3}=-4\frac{3}{6}+8\frac{4}{6}=4\frac{1}{6} $$

<< < 151617 18 19 > >>