тождество »

докажите тождество - страница 35

  • Докажите тождество:
    3x(1-2x)(2x+1)=3x-12x^3


    Решение: Для начала умножим 3x на первую скобку
    (3x - 6x^2)(2x+1)= 3x - 12x^3
    Теперь перемножаем скобки
    6x^2 + 3x - 12x^3 - 6x^2 = 3x - 12x^3
    6x^2 и -6x^2 сокращаются и получается, что
    3x - 12x^3 = 3x -12x^3
    Тождество доказано

    (Первые две скобки содержат в себе формулу разности квадрата) 3x(1-4x^2)=3x-12x^3 3x-12x^3=3x-12x^3 Тождество доказано

  • Докажите тождество:

    x^4-27x=(x^2-3x)(x^2+3x+9)


    Решение: x^4-27x=(x^2-3x)(x^2+3x+9)
    Доказательство:
    перемножим скобку на скобку, получим
    (x^2-3x)(x^2+3x+9) =
    х^4 + 3х^3 +9х^2 -3х^3-9х^2 -27х =
    отсюда сокращаются: 3х^3 минус 3х^3 и 9х^2 минус 9х^2;
    остаётся  х^4 - 27х.
    тождество доказано.
    ответ: x^4-27x=(x^2-3x)(x^2+3x+9)

    x^4-27x=(x^2-3x)(x^2+3x+9)

    (x^2-3x)(x^2+3x+9) перемножаем все

    х^4+3х^3+9х^2-3х^3-9^2-27х=х^4-27х

  • Докажите тождество:
    \( \frac{1}{\log_{a}k} + \frac{1}{\log_{a^2}k} +\\+ \frac{1}{\log_{a^3}k} + \frac{1}{\log_{a^4}k}+ \frac{1}{\log_{a^5}k} =15\log_{k}{a} \)


    Решение: $$ \dfrac{1}{\log_{a}k} + \dfrac{1}{\log_{a^2}k} + \dfrac{1}{\log_{a^3}k} + \dfrac{1}{\log_{a^4}k}+ \dfrac{1}{\log_{a^5}k} =15\log_{k}{a} $$
    Преобразовываем левую часть к правой:
    $$ \dfrac{1}{\log_{a}k} + \dfrac{1}{\log_{a^2}k} + \dfrac{1}{\log_{a^3}k} + \dfrac{1}{\log_{a^4}k}+ \dfrac{1}{\log_{a^5}k} = \\\ = \dfrac{1}{\log_{a}k} + \dfrac{1}{ \frac{1}{2} \log_{a}k} + \dfrac{1}{ \frac{1}{3}\log_{a}k} + \dfrac{1}{ \frac{1}{4}\log_{a}k}+ \dfrac{1}{ \frac{1}{5}\log_{a}k} = \\\ = \dfrac{1}{\log_{a}k} + \dfrac{2}{ \log_{a}k} + \dfrac{3}{ \log_{a}k} + \dfrac{4}{ \log_{a}k}+ \dfrac{5}{ \log_{a}k} = \\\ = \dfrac{15}{ \log_{a}k}= \dfrac{15}{ \frac{1}{\log_{k}a} }=15\log_{k}a $$

  • Докажите тождество:
    \( log_{bk}{ak}= \frac{log_{b}{a}+log_{b}{k}}{1+log_{b}{k}} \)


    Решение: $$ \log_{bk}ak= \dfrac{\log_ba+\log_bk}{1+\log_bk} $$
    Преобразуем правую часть к левой. Представим единицу в виде логарифма:
    $$ \dfrac{\log_ba+\log_bk}{1+\log_bk} =\dfrac{\log_ba+\log_bk}{\log_bb+\log_bk} $$
    Запишем сумму логарифмов в виде логарифма произведения:
    $$ \dfrac{\log_ba+\log_bk}{\log_bb+\log_bk} =\dfrac{\log_bak}{\log_bbk} $$
    По формуле перехода к новому основанию получим:
    $$ \dfrac{\log_bak}{\log_bbk} =\log_{bk}ak $$

  • Докажите тождество:(х-y²)+(х+y)²=2(х²+y²)


    Решение: Найдем ответ графически. 
    1) ху>=2. ху=2 или y=2/x это парабола, ветви которой проходят через (-2;-1), (-1;-2); (1;2); (2;1) в I и III четвертях. Рассмотрим неравенство хy≥2. При x>0 y≥2/x. Точки, удовлетворяющие этому условию, составляют часть плоскости I четверти над ветвю вместе с точками гиперболы. При x<0 y≤2/x. Точки, удовлетворяющие этому условию, составляют часть плоскости III четверти под ветвю вместе с точками гиперболы.
    2) (х-2)^2+(y+2)^2≥8. (х-2)^2+(y+2)^2=8 - это окружность с центром (2; -2), R=√8=2√2≈2,8.
    Эта окружность проходит через (0;0), пересекает оси в (4;1) и (0; -4), но не пересекает ветви гиперболы. Точки, удовлетворяющие неравенству (х-2)^2+(y+2)^2≥8, составляют часть плоскости вне построенной окружности вместе с точками окружности.
    Видим, что любая точка, принадлежащая первой области (множеству точек) принадлежит и второй области. Следовательно, все пары, удовлетворяющие неравенству хy≥2, удовлетворяют неравенству (х-2)^2+(y+2)^2≥8.

    X^2+y^2-2xy+x^2+y^2+2xy=2x^2+2y^2

    Удвоенные произведения взаимно сокращаются и остается:

    X^2+y^2+x^2+y^2=2x^2+2y^2

    2X^2+2y^2=2x^2+2y^2

    ИЛи выносим 2 за скобку, получаем:

    2(x^2+y^2)=2(x^2+y^2)

<< < 333435 36 37 > >>