тождество »

как доказать тождество - страница 27

  • Помогите доказать тождество \( \sqrt{x^2-9x+20}\leq\sqrt{x-1}\leq\sqrt{x^2 - 13} \)


    Решение: Первое что следует сделать - это найти область определения. Все выражения под корнем должны быть ≥0
    1) x²-9x+20≥0
    D=9²-4*20=1
    x₁=(9-1)/2=4  x₂=(9+1)/5
    (x-4)(x-5)≥0
    x≤4, x≥5
    2) x-1≥0
    x≥1
    3) x²-13≥0
    (x-√13)(x+√13)≥0
    x≤-√13, x≥√13
    объединение этих условий дает √13≤х≤4 и х≥5
    теперь возведем все неравенства в квадрат
    x²-9x+20≤x-1≤x²-13
    1)x²-9x+20≤x-1
    x²-9x+20-x+1≤0
    x²-10x+21≤0
    D=10²-4*21=16
    x₁=(10-4)/2=3  x₂=(10+4)/2=7
    (x-3)(x-7)≤0
    3≤x≤7
    2)x-1≤x²-13
    x²-13-x+1≥0
    x²-x-12≥0
    D=1+4*12=25
    x₁=(1-5)/2=-2  x₂=(1+5)/2=3
    (x-3)(x+2)≥0
    x≤-2, x≥3
    объединяем 1) и 2)  получаем 3≤х≤7
    сравниваем это с областью определения
    получаем √13≤х≤4 и 5≤х≤7
    или х∈[√13;4] и x∈[5;7]

  • Помогите доказать тождество \( \frac{sin^4\alpha - sin^2\alpha+cos^2\alpha}{cos^4\alpha-cos^2\alpha+sin^2\alpha}=ctg^4\alpha \)


    Решение: $$ \frac{sin ^{2}a(sin ^{2}a-1) +cos ^{2} a }{cos ^{2} a(cos ^{2}a-1) +sin ^{2}a } = ctg ^{4} a \\ \frac{-sin ^{2}a*cos ^{2}a +cos ^{2} a }{-cos ^{2}a*sin ^{2}a+sin ^{2}a }=ctg ^{2} a \\ \frac{cos ^{2}a(1-sin ^{2}a) }{sin ^{2}a(1-cos ^{2}a) } =ctg ^{2} a \\ \frac{cos ^{4}a }{sin ^{4} a} =ctg ^{4} a $$
    ctg⁴a=ctg⁴a

  • доказать тождество

    cos 2x - cos 3x - cos 4x + cos 5x = -4 sin \( \frac{x}{2} \) cos \( \frac{7x}{2} \) sin x


    Решение: cos5x+cos2x=2cos7/2xcos3/2x

    cos3x+cos4x=2cos7/2xcosx/2

    2cos7/2x(cos3/2x-cosx/2)=-4cos7/2xsinxsinx/2

    Здесь для начала сгруппируем первое с четвёртым, второе с третьим слагаемые:

    (cos 2x + cos 5x) - (cos 3x + cos 4x)

    В скобках получились суммы, преобразуем их в произведения:

     2cos 7x/2 cos 3x/2 - 2cos 7x/2 cos x/2

    Теперь вынесем за скобки 2 cos 7x/2:

    2cos 7x/2 (cos 3x/2 -  cos x/2)

    Вновь преобразуем сумму в скобках в произведение:

    2cos 7x/2 * -2sin 2x sin x = -4cos 7x/2 sin x sin x/2

  • Помогите доказать тождество тригонометрия 1)\(tg^2t - sin^2t = tg^2t sin^2t \)
    2) \( \frac{sin^3t+cos^3t}{1-sint cost}=sint + cost \)


    Решение: Tg^2x-sin^2x=sin^2x/cos^2x - sin^2x=sin^2x(1/(cos^2x) -1)
    т. к. по тождеству:
    tg^2x+1=1/cos^2x, то 1/(cos^2x) - 1 = tg^2x
    Следовательно: sin^2x(1/(cos^2x) -1)=sin^2x*tg^2x, что и требовалось доказать
    второй пример
    (sin^3t+cos^3t)/(1-sintcost)=(sint+cost)(sin^2t-sintcost+cos^2t)/(1-sintcost)=
    (sint+cost)(1-sintcost)/(1-sintcost)=sint+cost доказано
    a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
    sin^2t+cos^2t=1

  • Помогите доказать тождество \( \frac{1+ctg2\alpha}{1-ctg2\alpha}=\frac{sin(2\alpha +\frac{\pi}{4})}{sin(2\alpha -\frac{\pi}{4})} \)


    Решение: Числитель 1 дроби  1 + Ctg 2a = 1 + Co2a/Sin2a = (Sin 2a +Cos 2a)/Sin 2a
    знаменатель 1 дроби 1 - Ctg 2a = 1 - Cos 2a/Sin 2a = (Sin 2a - Cos 2a)/Sin 2a
    После сокращения останется: (Sin 2a +Cos 2a)/ (Sin 2a - Cos 2a)
     Числитель 2 дроби = Sin 2a Cos π/4 + Cos 2a Sinπ/4 = √2/2( Sin 2a + Cos 2a)
    Знаменатель 2 дроби = Sin 2a Cos π/4 -Cos 2a Sinπ/4 =√2/2( Sin 2a -  Cos 2a)
    После сокращения останется :(Sin 2a +Cos 2a)/ (Sin 2a - Cos 2a)

<< < 252627 28 29 > >>