тождество »
как доказать тождество - страница 28
Помогите доказать тождество \( \frac{4cos^2\alpha}{ctg\frac{\alpha}{2}-tg\frac{\alpha}{2}} = sin2\alpha\)
Решение: $$ \frac{4cos ^{2} \alpha }{ctg \frac{ \alpha }{2} -tg \frac{ \alpha }{2} } = \frac{4(cos ^{2} \frac{ \alpha }{2} -sin ^{2} \frac{ \alpha }{2}) }{ \frac{cos \frac{ \alpha }{2} }{sin \frac{ \alpha }{2} }- \frac{sin \frac{ \alpha }{2} }{cos \frac{ \alpha }{2} } } = \\ =\frac{4(cos ^{2} \frac{ \alpha }{2} -sin ^{2} \frac{ \alpha }{2}) }{ \frac{cos ^{2} \frac{ \alpha }{2} -sin ^{2} \frac{ \alpha }{2} }{sin \frac{ \alpha }{2} cos \frac{ \alpha }{2} } } = \\ ==4sin \frac{ \alpha }{2} cos \frac{ \alpha }{2}=2sin \alpha $$
Нужно доказать тождество, с ПОЛНЫМ решением \( cos4\alpha + 1=\frac{1}{2}sin4\alpha(ctg\alpha-tg\alpha) \)
Решение: Рассмотрим правую часть:
Сначала посчитаем то, что в скобках:
ctgx - tgx = cosx/sinx - sinx/cosx = (cos^2(x) - sin^2(x))/(sin(x)*cos(x)) =
2*cos(2x)/sin(2x)
Теперь то, что вне скобок:
(1/2) * sin4x = sin(2x)*cos(2x)
перемножаем оба результата, получаем:
2*cos^2(2x)
Теперь левая часть:
cos4x + 1 = 1 + cos^2(2x) - sin^2(2x) = (1 - sin^2(2x)) + cos^2(2x) = 2*cos^2(2x)
Обе части равны, тождество доказано
№3 Доказать тождество
2х²(4х²-3) (3+4х²)=32х(в шестой степени)-18х²
№4 Представьте в виде произведения
а) а²-вс+ав-ас
б) 3а+ав²-а²в-3в
№5 Задача
Если длину прямоугольника уменьшить на 2 см, а ширину увеличить на 1 см, то получиться квадрат площади который на 4 см меньше площади прямоугольника найдите его сторону.
Решение: 3) Чтобы доказать тождество, нужно его решить.
2x^2((4x^2)^2 - 9) = 2x^2 (16x^4-9)
В левой части сворачиваем скобки в разницу квадратов, а в правой выносим общий множитель за скобки. Левая и правая часть выражения равны, тождество доказано.
4) a(a-c) + b(a-c)=(a+b)(a-c) для начала переставляем слагаемые, а потом выносим общие множители.
тот же самый метод: 3a(1-ab)+3b(1-ab)=3(1-ab)(a+b)
5) За х сторону прямоугольника, за у высоту.
тогда если x-2 и y+1 получится квадрат. Составим ураBнение
(x-2)(y+1)=xy-4
Т. к. получился квадрат, значит, его стороны равны. Приравниваем
x-2=y+1, x=y+3. Выражаем икс, подставляем в уравнение выше
x-2y=-2, y+3-2y=-2, y=5 сторона прямоугольника, x=8 другая сторона прямоугольника
8-2=6 сторона квадрата.Доказать тождество tgα+tg2α-tg3α=-tgα*tg2α*tg3α
Решение: Tgα+tg2α-tg3α=-tgα*tg2α*tg3α
tgα-tg3α=sin(α-3α)/(cosα*cos3α)=-sin2α/(cosα*cos3α)
tgα+tg2α-tg3α=sin2α/cos2α-sin2α/(cosα*cos3α)=
=sin2α(1/cos2α-1/(cosα*cos3α))
1/cos2α-1/(cosα*cos3α)=(cosα*cos3α-cos2α)/(cosα*cos2α*cos3α)=(1/2*(cos2α+cos4α)-cos2α)/(cosα*cos2α*cos3α)=(cos4α-cos2α)/(2cosα*cos2α*cos3α)=(-2sin3αsinα)/(2cosα*cos2α*cos3α)=-tgα*(1/cos2α)*tg3α
sin2α(1/cos2α-1/(cosα*cos3α))=sin2α*(-tgα*(1/cos2α)*tg3α)=-tgα*tg2α*tg3α, ч. т. д.
доказать тождество \( \frac{1-2cos^2\alpha}{sin\alpha cos\alpha}=tg\alpha-ctg\alpha \)
Решение: Лучше доказывать такие тождества так. Преобразовать наиболее сложную часть тождества, приведя её к более простой. Поработаем с левой частью.
Замечаем, что 1 - 2cos^2 a = -cos 2a
sin a * cos a = 1/2 sin 2a
Теперь перепишем левую часть с учётом этих преобразований:
-cos 2a / 1/2 sin 2a = -2 * ctg 2a
А теперь как это выражение можно привести к правой части, пока оставим её как есть, преобразуем правую часть.
Распишем тангенс и котангенс по определению
tg a - ctg a = sin a/cos a - cos a/sin a = (sin^2 a - cos^2 a)/sin a * cos a
А теперь, замечаем, что sin^2 a - cos^2 a = -cos 2a!
Получаем:
-cos 2a / 1/2 sin 2a = -2ctg 2a
Таким образом, привели правую часть к виду левой. Тождество доказано.
