тождество »
как доказать тождество - страница 29
Доказать тождество, только распишите решение
a)x-y=-(y-x)
б)(m-n)2=(n-m)2
Решение: Х-у=-(y-x)
x-y=-y+x
x-y=x-y доказано
(m-n)^2=(n-m)^2
m^2-2mn+n^2=n^2-2mn+m^2
m^2-2mn+n^2=m^2-2mn+n^2 доказано
Тождества, вообщем нужно, чтобы обе части были равны. Упрощаете одну из них
x-y=-(y-x) (m-n)^2=(n-m)^2
x-y=-y+x m^2-2mn+n^2=n^2+2mn+m^2
x-y+y-x=0 m^2-2mn+n^2-n^2-2mn-m^2=0
все взаимно уничтожается
0=0 0=0
ч. и. т. д. ч. и. т. д. (что и требовалось доказать)Нужно доказать тождество: \( sin^2 \alpha +sin^2 \beta +cos( \alpha + \beta )cos( \alpha - \beta )=1 \)
Решение: $$ sin^2 \alpha +sin^2 \beta +cos( \alpha + \beta )cos( \alpha - \beta )= \\ \\ =sin^2 \alpha +sin^2 \beta + \frac{1}{2}(cos( \alpha + \beta + \alpha - \beta )+cos( \alpha + \beta - \alpha + \beta ))= \\ \\ =sin^2 \alpha +sin^2 \beta + \frac{ 1}{2}(cos2 \alpha +cos2 \beta )= \\ \\ =sin^2 \alpha +sin^2 \beta + \frac{1}{2}(cos^2 \alpha -sin^2 \alpha +cos^2 \beta -sin^2 \beta )= \\ \\ \\ =sin^2 \alpha +sin^2 \beta + \frac{1}{2}cos^2 \alpha - \frac{1}{2}sin^2 \alpha + \frac{1}{2} cos^2 \ \beta - \frac{1}{2}sin^2 \beta = \\ \\ = \frac{1}{2}sin^2 \alpha + \frac{1}{2}cos^2 \alpha + \frac{1}{2}sin^2 \beta + \frac{1}{2}cos^2 \beta = \\ \\ = \frac{1}{2}(sin^2 \alpha +cos^2 \alpha +sin^2 \beta +cos^2 \beta )= \\ \\ = \frac{1}{2}(1+1)= \frac{1}{2}*2=1 $$
1=1
Что и требовалось доказать.
P.S.
Используемые формулы:
1) sin²α+cos²α=1
2) cos2α=cos²α - sin²α
3) cosα*cosβ= ¹/₂ (cos(α+β)+cos(α-β))Нужно доказать тождество: \( \frac{sin^22\alpha-4sin^2\alpha}{sin^22\alpha+4sin^2\alpha-4} =tg^4\alpha\)
Решение: $$ \frac{(2sin \alpha *cos \alpha )^{2}-4sin ^{2} \alpha }{(2sin \alpha *cos \alpha )^{2}+4sin^{2} \alpha -4sin ^{2} \alpha -4cos ^{2} \alpha } = \\ \frac{4sin^{2} \alpha *cos^{2} \alpha-4sin ^{2} \alpha }{4sin^{2} \alpha *cos^{2} \alpha -4cos ^{2} \alpha }= \\ \frac{4sin^{2} \alpha *(cos^{2} \alpha-1 ) }{4*cos^{2} \alpha(sin^{2} \alpha -1) }= \frac{4sin^{2} \alpha *(cos^{2} \alpha-cos ^{2} \alpha -sin ^{2} \alpha ) }{4*cos^{2} \alpha(sin^{2} \alpha -sin ^{2} \alpha -cos ^{2} \alpha ) }= \\ \frac{sin^{2} \alpha *( -sin ^{2} \alpha ) }{cos^{2} \alpha( -cos ^{2} \alpha ) }= tg^{2} \alpha *tg ^{2} \alpha =tg ^{4} \alpha $$
доказать тождество \( \dfrac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha } + \dfrac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{2}{sin\alpha}\)
Решение: $$ \dfrac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha } + \dfrac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }= \dfrac{\sin^2 \alpha +(1+\cos \alpha )^2}{(1+\cos \alpha )\cdot\sin \alpha } =\\\\\\=\dfrac{\sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha +2\cos \alpha +1}{(1+\cos \alpha )\cdot\sin \alpha } = \dfrac{2+2\cos \alpha }{(1+\cos \alpha )\cdot\sin \alpha } =\dfrac{2(1+\cos \alpha) }{(1+\cos \alpha )\cdot\sin \alpha }\\\\\\= \dfrac{2}{\sin \alpha } $$Выполним вычитание в левой части, если мы получим каким-либо образом правую, то тождество доказано.
$$ \frac{sin \alpha }{1+cos \alpha } + \frac{1+cos \alpha }{sin \alpha } =\\= \frac{ sin^{2} \alpha + (1+cos \alpha )^{2} }{sin \alpha (1+cos \alpha )} =\\= \frac{ sin^{2} \alpha + 1 + 2cos \alpha + cos^{2} \alpha }{sin \alpha (1+cos \alpha )} =\\= \frac{2 + 2cos \alpha }{sin \alpha (1+cos \alpha )} \\ = \frac{2(1+cos \alpha )}{sin \alpha (1+cos \alpha) } = \frac{2}{sin \alpha } $$
1) доказать тождество \( (a^{-1}-b^{-1})^2=\frac{(a-b)^2}{a^2b^2} \)
2) Упростить \( (a^{-1}+b^{-1})^2-(a^{-1}-b^{-1})^2 \)
3) Как разность кубов \((a^{-1}+b^{-1})^3-(a^{-1}-b^{-1})^3\)
Решение: $$ 1)\; (a^{-1}-b^{-1})^2=(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^2=\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}=\frac{b^2-2ab+a^2}{a^2b^2}=\frac{(a-b)^2}{a^2b^2}\\\\2)\; (a^{-1}+b^{-1})^2-(a^{-1}-b^{-1})^2=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2-(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^2=\\\\=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}-\frac{1}{b})=\frac{2}{b}\cdot \frac{2}{a}=\frac{4}{ab} \\ 3)\; (a^{-1}+b^{-1})^3-(a^{-1}-b^{-1})^3=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^3-(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^3=\\\\=((\frac{1}{a}+\frac{1}{b})-(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}))((\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})+(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^2)=\\\\=\frac{2}{b}(\frac{1}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2})=\\\\=\frac{2}{b}(\frac{3}{a^2}+\frac{1}{b^2})=\frac{2(3b^2+a^2)}{a^2b^3} $$
