прогрессия »

n член геометрической прогрессии - страница 24

  • Шестнадцатый и девятнадцатый члены геометрической прогрессиии равны соответственно 11 и 297. Найдите члены прогрессии, заключённые между ними


    Решение: Исходя из условия, разность между 19 и 16 членами прогрессии равна 297 - 11 = 286. В этот интервал между 16 и 19 членами помещается три промежутка: 16-17, 17-18, 18-19, то есть три разности. Значит разность прогрессии равна 286 / 3 = 95.1/3  (точка разделяет целую и дробную части, значит 95 целых и 1/3).
    Значит промежуточные члены такие:
    17-й = 11 + 95.1/3 = 106.1/3
    18-й = 106.1/3 + 95.1/3 = 201.2/3

  • начиная с какого номера члены геометрической прогрессии 32,16,8, меньше 0,01


    Решение: Знаменатель прогрессии q=16/32=1/2

    Найдем n, если bn<0,01

    bn=b1*q^(n-1)

    32*1/2^(n-1)<0,01

    2^(n-1)<32/0,01

    2^n<6400

    2^12=4096<6400

    n=12

     Т. е. начиная с 12-го члена все остальные меньше 0,01

    $$ b_1=32;b_2=16;b_3=8;\\ q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2};\\ b_n=b_1*q^{n-1};\\ b_n=32*(\frac{1}{2})^{n-1}=2^{5}*2^{1-n}=2^{5+1-n}=2^{6-n};\\ b_n<0.01;\\ 2^{6-n}<0.01;\\ 2>1;\\ 6-n6-log_2 0.01>6-log_2 0.1^2=6-2log_2 0.1=\\ 6-2log_2 10^{-1}=6+2log_2 10>6+2*log_2 8=\\ 6+2log_2 2^3=6+2*3*1=6+6=12 $$

    n=13;

    проверка

    $$ b_{12}=2^{6-12}=2^{-6}=\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}=0.015625>0.01;\\ b_{13}=2^{6-13}=2^{-7}=\frac{1}{2^7}=\frac{1}{128}=0.0078125<0.01; $$

    ответ: с тринадцатого номера

  • Начиная с какого номера члены геометрической прогрессии
    1) 32,16,8, меньше 0,01
    2) 1/3, 2/3, 4/3, больше 50?


    Решение: Начиная с какого номера члены геометрической прогрессии
    1) 32,16,8, меньше 0,01
    b1=32 q=1/2 bn=b1·q^(n-1) b1·q^(n-1)<1/100 32·(1/2 )^(n-1)<1/100
    2^(5-n+1)<1/100
    6-n<log ₂(1/100) n>6-log ₂(1/100) n>6+log ₂(100)  n>6+2log ₂(10)
    3<log ₂(10)<4 (2³=8; 2⁴=16) n>6+2(3) n>12
    2) 1/3, 2/3, 4/3, больше 50?
    b1=1/3 q=2 bn=b1q^(n-1)>50 (1/3)·2^(n-1)>50 2^(n-1)>150
    n-1>log₂150 n>1+log₂150 7<log₂150 <8 ⇒n>1+7

  • найдите y, если числа 1; корень y;3 корня из y + 4 - последовательные члены геометрической прогрессии ?


    Решение: т. к. дана геом. прогрессия, то можно составить уравнение:

    √у / 1 = (3√у + 4)/√у

    у=3√у + 4

    у - 3√у -4=0

    Введем замену: х=√у

    х²-3х-4=0

    Д=9+16=25 - 2 корня

    х1=(3+5)/2=4

    х2=(3-5)/2=-1

    Делаем обраьную замену:

    4=√у или -1=√у - решений нет

    у=16

    Проверям: подставим в нашу последовательность у=16:

    1; √16; 3√16 +4

    1; 4; 16 - получили верную геом. прогрессию.

    Ответ: у=16.

  • В геометрической прогрессии b15=9 a b43=144, найти b22 15, 43, 22 - члены геометрической прогрессии


    Решение: $$ b_n=b_1\cdot q^{n-1} $$
    b₁₅ = b₁·q¹⁴
    9 = b₁·q¹⁴
    b₄₃=b₁·q⁴²
    144=b₁·q⁴²
    Решаем систему двух уравнений с двумя переменными b₁ и q:
    9 = b₁·q¹⁴
    144=b₁·q⁴²
    Делим первое уравнение на второе:
    9/144=1/q²⁸ ⇒ q²⁸=144/9
     q²⁸=36
     q¹⁴=6 ⇒ 9 = b₁·6 b₁=3/2
     q⁷=√6
    b₂₂=b₁·q²¹=(3/2)·q¹⁴·q⁷=(3/2)·6·√6=9√6

<< < 222324 25 26 > >>