прогрессия »
n член геометрической прогрессии - страница 3
количество членов геометрической прогрессии четное число. Сумма членов прогрессии 5 раз больше чем сумма нечетных чисел найти знаменатель прогрессии.
Решение: Я подозреваю что тут закралась неясность, в прогрессии насколько я помню количество элементов бесконечно, хотя в убывающей геометрической прогрессии сумма всех элементов может сходиться. инфми словами условие следует понимать так что n первых членов прогрессии, где n = 2k, выполняется условие в три раза больше, чем рассмотрим это более подробно на примере первых шести элементовсумма нечетных S(1,3,5) = b1 + b3 + b5сумма четных S(2,4,6) = b2 + b4 + b6 = b1*q + b3*q + b5*q = q(b1 + b3 + b5) = q*S(1,3,5)следовательно отношение между четной суммой и нечетной равно знаменателю прогрессии. Для нашей задачи это число 3Четвертый член геометрической прогрессии равен √5, а седьмой член той же прогрессии равен -25. Найти знаменатель этой прогрессии
Решение: Для данной прогрессии, получаем что:
$$ q=-\sqrt5 $$
Выполним проверку:
$$ \sqrt5\cdot(-\sqrt5)=-5 $$ - пятый член прогрессии
$$ -5\cdot(-\sqrt5)=5\sqrt5 $$ - шестой член прогрессии
$$ 5\sqrt5\cdot(-\sqrt5)=-25 $$ - седьмой член прогрессии
Ответ: $$ q=-\sqrt5 $$Сумма трех чисел, которые являются последовательными членами арифметическойпрогрессии, равна 3. Если к ним, соответственно, добавить,4, 3,4 то образованные числа составят геометрическую прогрессию. Найти числа, образующие арифметическую
Решение: Возьмем 3 наших числа. Так как они члены арифметической прогрессии, то:
a₁ + a₂ + a₃ = 3
a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) = 3
3a₁ + 3d = 3
a₁ + d = 1
Теперь, так как новые числа составляют уже геометрическую прогрессию, то:
{ (a₁ + 4) * q = (a₁ + d + 3)
{ (a₁ + d + 3) * q = (a₁ + 2d + 4)
Делим первое уравнение системы на второе и получаем:
$$ \frac{a_1+4}{a_1+d+3} = \frac{a_1+d + 3}{a_1+2d+4} $$
Вспоминаем, что a₁+d = 1:
$$ \frac{a_1+4}{4} = \frac{4}{5+d} $$
Так как a₁+d = 1, то a₁ = 1 - d:
$$ \frac{5-d}{4} = \frac{4}{5+d} \\ 5^2 - d^2 = 16 \\ d^2 = 9 \\ d = 3, d = -3 $$
Если d = 3, то a₁ = -2, a₂ = 1, a₃ = 4.
Если d = -3, то a₁ = 4, a₂ = 1, a₃ = -2.
В любом случае, искомые числа -2, 1 и 4
Ответ: -2, 1 и 4Сумма трех чисел, которые являются последовательными членами арифметической прогрессии, равна 3. Если к ним, соответственно, добавить 4, 3, 4, то образованные числа составят геометрическую прогрессию. Найти числа, образующие арифметическую прогрессию.
Решение: Пусть a, b, с - последовательные члены ариф. прогр.
тогда (а+4), (b+3), (c+4) - члены геом. прогр. Автор задачи не указал, являются ли вновь образованные члены геом. прогрессии последовательными. Чтобы не потерять интерес к решению данной задачи, буду считать их последовательными. По условию a+b+c+=3. На основании основании характеристического свойства ариф. прогр. 2b = a+c. На основании характеристического свойства геом. прогр. (b+3)² = (a+4)(c+4). Таким образом, получили систему из трех уравнений:
$$ \begin{cases} a+b+c=3 \\ 2b=a+c \\ (b+3)^2=(a+4)(c+4) \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a+b+c=3 \\ a-2b+c=0 \\ (b+3)^2=(a+4)(c+4) \end{cases} $$
$$ \begin{cases} b=1 \\ a=4 \\ c=-2 \end{cases} $$ или $$ \begin{cases} b=1 \\ a=-2 \\ c=4 \end{cases} $$
Ответ: 4; 1; -2 или -2; 1; 4.Ответ во вложение.
Восьмой член арифметической прогрессии равен 60. Члены \( a_{1}, a_{7} \) и \( a_{25} \) образуют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой прогрессии.
Решение: $$ a_{8}=60\\ a_{1}=b_{1}\\ a_{7}=b_{2}\\ a_{25}=b_{3}\\\\ a_{1}+7d=60\\ a_{1}=60-7d\\ a_{7}=60-d\\ a_{25}=60+17d\\ $$
по условию они образую геометрическую прогрессию, тогда
$$ a_{1}=60-7d\\ a_{7}=60-d\\ a_{25}=60+17d\\\\\ \frac{60-d}{60-7d}=\frac{60+17d}{60-d}\\ (60-d)^2=(60+17d)(60-7d)\\ 120(d-6)d=0\\ d=6 $$
нам нужно найти знаменатель геометрической прогрессий он равен
$$ \frac{60-6}{60-7*6 }=\frac{54}{18}=3 $$
Ответ 3Зная формулу n-го члена геометрической прогрессии Bn=3*2^n-1 найдите её знаменатель
Решение: В геометрической прогрессии n-й член определяется по формуле:
$$ bn=b1* q^{n-1} $$
b1- первый член
n -номер члена прогрессии
q-знаменатель прогрессии
У нас дана прогрессия вида :
$$ bn=3* 2^{n-1} $$
b1=3 первый член прогрессии
q=2 знаменатель прогрессии
1) Записать формулу n-го члена геометрической прогрессии:
3,4,16/3,
2) Найти номер подчеркнутого члена геометрической прогрессии:
-1,2,4,8,128, ; (128 подчёркнутое)
Решение: 1)3,4, 16/3.
2 - й член образовано путём уменьшения на 7;
3 - й член ≡ 16/3 ≡ 5 и 1/3,
образован сложением 9 и 1/3
2) -1 и 2 различаются на 3, 2 и -4 на 6,4 и 8 на 12.
Разница увеличивается экспоненциально, каждый раз увеличиваясь вдвое.
Таким образом, наша цепочка:
.8,16, 32,64, 128.
128 стоит на 8 - м месте.1) Дано:
Последовательность: 2; -5; 12,5;.
Является ли геометрической прогрессией, если является, запишите формулу n-ого члена.
2) Дано: (b(индекс n)) - геометрическая прогрессия
b(индекс 2)=14
b(индекс 4)=56
Найти: b(индекс 3)=?
3)Дано:
(b(индекс n)) - геометрическая прогрессия
b(индекс 4)-b(индекс 2)=18
b(индекс 5)-b(индекс 3)=36
Найти: b(индекс 1)=?
4) Дано:
(b(индекс n)) - геометрическая прогрессия
b(индекс 1)=512
(b(индекс n))=1
S(индекс n)= 1023
Найти: q=?; n=?
Решение: 1
b2/b1=-5/2=-2,5
b3/b2=12,5:(-5)=-2,5
b2/b1=b3/b2=q=-2,5
является
2
b2=14;b4=56
q²=b4/b2=56/14=4
q=+-2
b3=d2*q
b3=+-28
3
b4-b2=18⇒b1q³-b1q=18⇒b1q(q²-1)=18⇒b1q=18/(q²-1)
b5-b3=36⇒b1q^4-b1q²=36⇒b1q²(q²-1)=36⇒b1q=36/q(q²-1)
18/(q²-1)=36/q(q²-1)
1=2/q
q=2
b1=18/q(q²-1)
b1=18/(2*3)4
b1=3
4
b1=512;bn=1;Sn=1023
bn=b1*q^(n-1)
1=512*q^(n-1)
q^(n-1)=1/512=(1/2)^9
q=1/2 U n=10
Sn=512*(1-(1/2)^10)/(1-1/2)=512*1023*2/1024=1023
1023=1023
Ответ q=1/2;n=10
Геометрическая прогрессия задана условиями b1=5, bn+1=bn/10. Какое из указанных ниже чисел являются членом этой прогрессии?
1) 50 2) 0,2 3) 0,02 4) 0,005
Решение: 4)0,005
потому что q=0.1$$ b_{n+1}=b_{n}* \frac{1}{10},q= \frac{1}{10} \\ b_{n}=b_{1}*(q)^{n-1} \\ 5* (\frac{1}{10})^{n-1}=50 \\ (\frac{1}{10})^{n-1}=10 \\ n=0 $$
не является
$$ 5* (\frac{1}{10})^{n-1}=0,2 \\ (\frac{1}{10})^{n-1}=0,04 $$
тоже не является
$$ 5* (\frac{1}{10})^{n-1}=0,02 \\ (\frac{1}{10})^{n-1}=0,004 $$
тоже не является
$$ 5* (\frac{1}{10})^{n-1}=0,005 \\ (\frac{1}{10})^{n-1}=0,001 \\ n=4 $$
является членом прогрессииГеометрическая прогрессия (аn)задана формулой аn=3·2n. Какое из следующих чисел не является членом этой прогрессии:
1) 24
2) 72
3)192
4)384
Решение: 72 не является членом этой прогрессии! 24=3*8, 8=2^3,
192= 3*64, 64 = 2^6
384= 3*128, 128 = 2^7
тогда как 72= 3*24. нет такого целого числа, в степень которого нужно возвести число 2 в степень, чтобы получить 24
