n член геометрической прогрессии - страница 4
Стороны треугольника образуют последовательные три члена возрастающей геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии больше или меньше числа 2?
Решение: Возьмем за знаменатель геометрической прогрессии коэффициент, равный 2. Тогда стороны треугольника будут х, 2х и 4х. Тогда по свойству сторон треугольника (сторона треугольника должна быть меньше суммы остальных сторон) получаем, что х+2х<4х => такого треугольника не существует. Если же мы возьмем за коэффициент геометрической прогрессии число 3, то разница получится еще больше, значит, знаменатель прогрессии однозначно меньше 2.Пять различных чисел являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если удалить ее 2-й и 3-й члены, то три оставшихся числа являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найти ее знаменатель.
Решение: Пусть d - знаменатель арифметической прогрессии и q - знаменатель геометрической прогрессии. С одной стороны, a4=a1+3*d. С другой стороны, по условию a4=a1*q. Аналогично a5=a1+4*d и a5=a4*q=a1*q². Получили систему уравнений:
a1+3*d=a1*q
a1+4*d=a1*q²
Разделив эти уравнения на a1, получим систему:
1+3*d/a1=q
1+4*d/a1=q²
Отсюда 1+4*d/a1=(1+3*d/a1)². Обозначая d/a1=x, приходим к квадратному уравнению:
1+4*x=(1+3*x)²=1+6*x+9*x², или 9*x²+2*x=x*(9*x+2)=0, откуда x=d/a1=0 либо x=d/a1=-2/9. Но при x=0 d=0, тогда q=1. В этом случае и арифметическая, и геометрическая прогрессии состоят из одних и тех же чисел. Если d/a1=-2/9, то из первого уравнения системы следует q=1/3. а из второго - q²=1/9.
Ответ: q=1 либо q=1/3.
1. Решите систему уравнение: \( \left \{ {3x - y = 10;} \atop {x^{2} - y^{2} = 20 - xy} \right. \)
2. Сумма 1-ых трёх членов геометрической прогрессии равна 39, знаменатель этой прогрессии равен четырём. Найдите сумму 1-ых четырёх членов этой прогрессии
Решение: 1) Из первого уравнения y=3x-10, подставим во второе: x^2 - (3x-10)^2=20-x(3x-10)x^2 -(9x^2 -60x +100) = 20-3x^2 +10x,8x^2 + 60x - 100 + 3x^2 -10x - 20 = 0,
-5x^2 +50x - 120 = 0, делим на (-5): x^2 -10x + 24 = 0; теорема Виета: x = 4; 6
Теперь найдем у. Если х = 4, то у = 3*4-10= 2; если х=6, то у=3*6-10=8
Ответ: { (4; 2), (6; 8) }
2) b1 + b2 + b3 = 39, b1 + b1*q + b1*q^2 = 39, b1(1 + 4 + 16) = 39, b1*21 = 39,
b1 = 39/21 = 13/7. Тогда b4 = b1*q^3 = (13/7)*64=832/7 = 118 целых 6/7
S4=39 + 118 целых 6/7 = 157 целых 6/7
В геометрической прогрессии с четным числом членов сумма всех ее членов в три раза больше суммы членов, стоящих на нечетных номерах. Найти знаменатель прогрессии
Решение: Пусть число членов равно 2n, их сумма S(2n), сумма всех членов, стоящих на нечетных местах, S(n).Тогда S(2n) = b1*(1 - q^(2n))/(1-q)
S(n) = b1*(1 - q^(2n))/(1-q^2)
По условию S(2n) = 3*S(n), и, подставляя значения для S(2n) и S(n), получим:
1/(1-q) = 3/(1-q^2), откуда q = 2.
Ответ: 2
в геометрической прогрессии 52 члена, сумма членов, стоящих на нечетных местах, равна 28, а сумма членов с четными номерами равна 7. Найти знаменатель прогрессии.
Решение: Пусть нам дана некоторая прогрессия b(n): b1;b2;b3;b4.По условию, нам дана сумма каких-то чисел. Давайте запишем их.
Во-первых, у нас дана сумма нечётных членов:
b1 + b3 + b5 +. + b51 = 28
Во-вторых, сумма членов с чётными номерами равна 7, то есть:
b2 + b4 + b6 +. + b52 = 7
Запишем эти ряды друг под другом:
b1 + b3 + b5 +. + b51 = 28
b2 + b4 + b6 +. + b52 = 7
Теперь каждый член в одном ряду является соседним с соответственным членом в другом ряду.
Замечаем, что знаменателем прогрессии является отношение последующего и предыддущего членов.
q = b2/b1; q = b3/b2 и так далее.
Разделим второй ряд на первый и будем иметь:
b2/b1 + b4/b3 + b6/b5. + b52/b51 = 7/28
Мы знаем, что b2/b1 = q; b4/b3 = q; b52/b51 = q. Всего таких пар 52 / 2 = 26.
То есть, 26q = 7/28.
Отсюда q = 7/28 : 26 = 7/728 = 1/104.
Знаменатель прогрессии равен 1/104
