n член геометрической прогрессии - страница 6
Три числа, среднее из которых равно 5, составляют арифметическую прогрессию. Если среднее число уменьшить на 20 %, то полученные три числа составляют геометрическую прогрессию. Найдите сумму членов геометрической прогрессии
Решение: Три числа, среднее из которых равно 5, составляют арифметическую прогрессию ==> эти числа 5 - х, 5, 5 + х.
Если среднее число уменьшить на 20 %, получим 4.
и полученные три числа 5 - х, 4, 5 + х составляют геометрическую прогрессию, т. е.
4 = 5 + х
5 - х 4
(5 - х )(5 + х ) = 16
25 - х² = 16
х² = 9
х = 3 или х = - 3
(прогрессии (прогрессии
возрастающие) убывающие)
Cумма членов геометрической прогрессии равна:
S = (5 - 3) + 4 + (5 +3) = 14
Ответ: 14.
Является ли число -1215 членом геометрической прогрессии b_n = -5 *3_n?
Решение: -5*3n=-12153n=243
n=81
ответ -1215, является членом прогрессии
Дано Решение: bn=b1*qn-1
b1=-5 b2=-5*3=-15
q=3 b3=-5*3^2=-45
Найти:(-1215) b4=-5*3^3=-135
b5=-5*3^4=-405
b6=-5*3^5=-1215
Ответ: да является
Является ли число B членом геометрической прогрессии (bn)? Если да, то его номер:
bn=7/9*3n-8, B=63
Решение: Дано: \( b_{n} = \frac{7}{9} *3n-8 \\ b_{n} =63 \)
Найти: \(b_{n}\) ∈ или ∉
если ∈, то \(n=?\)
Решение:
$$ 63= \frac{7}{9} *3n-8 \\ 63+8= \frac{7*3n}{9} \\ 71= \frac{7n}{3} \\ n=71: \frac{7}{3} \\ n=71* \frac{3}{7} = \frac{213}{7} =30 \frac{3}{7} ∉ N \\⇒ b_{n} =63 $$ не является членом прогрессии
Является ли число 424 членом арифметической прогрессии аn=4n+4?
Является ли число 63 членом геометрической прогрессии bn=7/9*3n (/-дробь)
Решение: 1) 424 = 4n+4
420=4n
n=105
n получилось натуральное, значит является членом арифметической прогрессии.
2) Немного непонятно: 3n в знаменателе или вне дроби?
Если в знаменателе: 63=7/(9*3n)
9*3n=7/63
9*3n=1/9
3n=1/81
n=1/243
n - ненатуральное число, членом не является.
Если вне дроби: 63= 7/9 *3n
3n= 63* 9/7
3n=9*9
3n=81
n=27
n - натуральное, членом являетсяаn=4n+4 = 424
4n = 420
n = 105
Ответ: Да, является. 105 член данной прогрессии
bn=(7/9)*3n = 63
n/9 = 3
n = 27
Ответ: Да, является. 27 член данной прогрессии. (если конечно я правильно расшифровал условие и 3n действительно стоит в числителе, а не в знаменателе)
Является ли число а)-335 членом арифметической прогрессии an=4-3n
б) -405 членом геометрической прогрессии bn=-5*3^n
Если является найдите его порядковый номер
Решение: .
1. $$ a_{n}=4-3n; -335=4-3n;\\ 3n=4+335;\\ 3n=339;\\ n=113; $$
да являеться, так как n получилось целое,335 это член даной арифм. прогрессии a(113)=4-3*(113)=4-339=-335
2.$$ b_{n}=-5\cdot3^n;\\ b_{n}=-405;\\ -405=-5\cdot3^n;\\ 3^n= \frac{-405}{-5}=81=3^4;\\ \log_{3}{3^n}=\log_{3}{3^4};\\ n=4; $$
-405 являеться членом геом. прогрессии, при n=4 b4=-5*3^4=-5*81=-405
Какое число не является членом геометрической прогрессиии 1/8; 1/4 А. 40 Б. 4 В. 8 Г. 32.
Решение: А1=1/8
А2=1/4
q=a2/a1=2
A3=a2*2=1/2
A4=a3*2=1
A5=2
A6=4
A7=8
А8=16
А9=32
А10=64
То есть ответ А. 40 не является членом этой прогрессииЧисло 40 не является членом геометрической прогрессии поскольку:
1/8 меньше 1/4 в 2 раза,1/4 меньше 1/2 в 2 раза,1/2 меньше 1 в 2 раза,1 меньше 2 в 2 раза,2 меньше 4 в 2 раза,4 меньше 8 в 2 раза,8 меньше 16 в 2 раза,16 меньше 32 в 2 раза, а 32 меньше 64 в 2 раза, а не 40
1. Найдите b1 и q для геометрической прогрессии (bn) у которой b4=1; b5=-2
2. Найдите девятый член геометрической прогрессии (bn) если b1=1/2; q=-2
3. Является ли число А=243 членом геометрической прогрессии 1/3,1, Если да то укажите его номер.
Решение: 1. b4 = 1
b5 = -2
Найдём знаменатель геометрической прогрессии(q):
q = b5 / b4 = -2 / 1 = -2
По формуле n-ого члена найдём первый член геометрической прогрессии(b1):
b5 = b1 * q^(n-1)
-2 = b1 * (-2)^4
-2 = b1 * 16
b1 = - 0.125
Ответ: q = -2 ; b1 = -0.125
2. b1 = 1/2
q = -2
По формуле n-ого члена найдём девятый член геометрической прогркессии(b9):
b9 = b1 * q^(n-1)
b9 = 1/2 * (-2)^8
b9 = 1/2 * 256
b9 = 128
Ответ: b9 = 128Является ли число A = 1/16 (это дробь) членом геометрической прогрессии 2; 1;. Если да, то укажите его номер.
Решение: Да, является. Она будет 6т. к \(q=\frac{1}{2}\)
a1=2
a2=1
прогрессия геометрическая, найдем знаменатель q:
q=a2/a1=1/2
тогда an=a1*q^(n-1)
Предположим, что 1/16 принадлежит, тогда найдем ее номер:
1/16 = 2*(1/2)^(n-1)
1/32 = (1/2)^(n-1)
(1/2)⁵ = (1/2)^(n-1)
n-1=5
n=6
Таким образом 6 член прогрессии равен 1/16
в геометрической прогрессии одиннадцатый член равен 18, а двенадцатый член равен 6. Найдите десятый член этой прогрессии
Решение: B10=B1*q в степени( n-1)B11=18
B12=6
q=Bn+1/Bn
q=6/18=0.3
B1=q в степени (11)/B12
B1=0.3 в степени (11)/6
а потом подставляете в первую формулу B10=B1*q в степени( n-1)
степени( n-1) это в степени 9
B10=B1*q в степени( n-1)
B11=18
B12=6
q=Bn+1/Bn
q=6/18=0.3
B1=q в степени (11)/B12
B1=0.3 в степени (11)/6
а потом подставляете в первую формулу B10=B1*q в степени( n-1)
степени( n-1) это в степени 9
1) Начиная с какого номера члены геометрической прогрессии 32, 16, 8, меньше 0,01
2) Между числами 36 и 2 1/4 вставьте три пропущенные числа так, чтобы
вместе с данными числами они составили геометрическую прогрессию
3) В геометрической прогрессии третий член равен 15, а шестой - 405. Найдите члены прогрессии, заключенные между ними
Решение: Формула n-ного члена геометрической прогрессии: $$ b_{n} = b_{1} q^{n-1} $$ при n∈N
№1
Используя формулу находим q:
$$ b_{2} = b_{1} q 16=32q q=1/2 $$
Было дано, что члены геометрической прогрессии меньше 0,01, значит составим нер-во:
$$ b_{n} <0,01 $$
$$ 32 * (1/2)^{n-1}<0,01 \\ (1/2)^{-5}*(1/2)^{n-1}<0,01 \\ (1/2)^{n-6}<0,01 $$
Находим подбором степень такую, чтобы само число было меньше 0,01. Это 7
$$ n-6 \geq 7 \\ n \geq 13 $$
№2
$$ b_{1} =36 b_{5} =2,25 \\ b_{5} = b_{1} q^{4} 2,25=36 q^{4} q^{4} =0,0625 \\ q_{1} =0,5 \\ b_{2} =36*0,5=18 b_{3} =36*0,25=\\=9 b_{4} =36*0,125=4,5 q_{2} =-0,5 b_{2} =-18 b_{3} =\\=9 b_{4} =-4,5 $$
№3
$$ b_{3} =15 b_{6} =405 b_{n} =\\= b_{k} * q^{n-k} b_{6} = b_{3} * q^{6-3} q^{3} = \frac{405}{15} =\\=27 q=3 b_{4} =15*3=45 b_{5} =45*3=135 $$
