прогрессия »

n член геометрической прогрессии - страница 5

  • количество членов геометрической прогрессии четное число. Сумма членов прогрессии 5 раз больше чем сумма нечетных чисел найти знаменатель прогрессии.


    Решение: Я подозреваю что тут закралась неясность, в прогрессии насколько я помню количество элементов бесконечно, хотя в убывающей геометрической прогрессии сумма всех элементов может сходиться.  инфми словами условие следует понимать так что n первых членов прогрессии, где n = 2k, выполняется условие  в три раза больше, чем рассмотрим это более подробно на примере первых шести элементовсумма нечетных S(1,3,5) = b1 + b3 + b5сумма четных S(2,4,6) = b2 + b4 + b6 = b1*q + b3*q + b5*q = q(b1 + b3 + b5) = q*S(1,3,5)следовательно отношение между четной суммой и нечетной равно знаменателю прогрессии. Для нашей задачи это число 3

  • Четвертый член геометрической прогрессии равен √5, а седьмой член той же прогрессии равен -25. Найти знаменатель этой прогрессии


    Решение: Для данной прогрессии, получаем что:
    $$ q=-\sqrt5 $$
    Выполним проверку:
    $$ \sqrt5\cdot(-\sqrt5)=-5 $$ - пятый член прогрессии
    $$ -5\cdot(-\sqrt5)=5\sqrt5 $$ - шестой член прогрессии
    $$ 5\sqrt5\cdot(-\sqrt5)=-25 $$ - седьмой член прогрессии
    Ответ: $$ q=-\sqrt5 $$

  • Сумма трех чисел, которые являются последовательными членами арифметическойпрогрессии, равна 3. Если к ним, соответственно, добавить,4, 3,4 то образованные числа составят геометрическую прогрессию. Найти числа, образующие арифметическую


    Решение: Возьмем 3 наших числа. Так как они члены арифметической прогрессии, то:
    a₁ + a₂ + a₃ = 3
    a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) = 3
    3a₁ + 3d = 3
    a₁ + d = 1

    Теперь, так как новые числа составляют уже геометрическую прогрессию, то:
    { (a₁ + 4) * q = (a₁ + d + 3)
    { (a₁ + d + 3) * q = (a₁ + 2d + 4)

    Делим первое уравнение системы на второе и получаем:
    $$ \frac{a_1+4}{a_1+d+3} = \frac{a_1+d + 3}{a_1+2d+4} $$

    Вспоминаем, что a₁+d = 1:
    $$ \frac{a_1+4}{4} = \frac{4}{5+d} $$

    Так как a₁+d = 1, то a₁ = 1 - d:
    $$ \frac{5-d}{4} = \frac{4}{5+d} \\ 5^2 - d^2 = 16 \\ d^2 = 9 \\ d = 3, d = -3 $$

    Если d = 3, то a₁ = -2, a₂ = 1, a₃ = 4.
    Если d = -3, то a₁ = 4, a₂ = 1, a₃ = -2.

    В любом случае, искомые числа -2, 1 и 4

    Ответ: -2, 1 и 4

  • Сумма трех чисел, которые являются последовательными членами арифметической прогрессии, равна 3. Если к ним, соответственно, добавить 4, 3, 4, то образованные числа составят геометрическую прогрессию. Найти числа, образующие арифметическую прогрессию.


    Решение: Пусть a, b, с - последовательные члены ариф. прогр.
    тогда (а+4), (b+3), (c+4) - члены геом. прогр. Автор задачи не указал, являются ли вновь образованные члены геом. прогрессии последовательными. Чтобы не потерять интерес к решению данной задачи, буду считать их последовательными. По условию a+b+c+=3. На основании основании характеристического свойства ариф. прогр. 2b = a+c. На основании характеристического свойства геом. прогр. (b+3)² = (a+4)(c+4). Таким образом, получили систему из трех уравнений:
    $$ \begin{cases} a+b+c=3 \\ 2b=a+c \\ (b+3)^2=(a+4)(c+4) \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a+b+c=3 \\ a-2b+c=0 \\ (b+3)^2=(a+4)(c+4) \end{cases} $$
    $$ \begin{cases} b=1 \\ a=4 \\ c=-2 \end{cases} $$ или $$ \begin{cases} b=1 \\ a=-2 \\ c=4 \end{cases} $$
    Ответ: 4; 1; -2 или -2; 1; 4.

    Ответ во вложение.

  • Восьмой член арифметической прогрессии равен 60. Члены \( a_{1}, a_{7} \) и \( a_{25} \) образуют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой прогрессии.


    Решение: $$ a_{8}=60\\ a_{1}=b_{1}\\ a_{7}=b_{2}\\ a_{25}=b_{3}\\\\ a_{1}+7d=60\\ a_{1}=60-7d\\ a_{7}=60-d\\ a_{25}=60+17d\\ $$

    по условию они образую геометрическую прогрессию, тогда 
    $$ a_{1}=60-7d\\ a_{7}=60-d\\ a_{25}=60+17d\\\\\ \frac{60-d}{60-7d}=\frac{60+17d}{60-d}\\ (60-d)^2=(60+17d)(60-7d)\\ 120(d-6)d=0\\ d=6 $$
    нам нужно найти знаменатель геометрической прогрессий он равен 
    $$ \frac{60-6}{60-7*6 }=\frac{54}{18}=3 $$
     Ответ 3 

<< < 345 6 7 > >>