прогрессия »

бесконечная прогрессия - страница 17

  • Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: b1=40, b9=-20


    Решение: Такой геометрической прогрессии вообще не может существовать в действительных числах. Если первый член положительный, а девятый отрицательный, то это значит, что знаменатель последовательности отрицательный (только в этом случае в геом. прогрессии могут появиться числа разных знаков). В таком случае, если первый член положительный, то и каждый член с нечетным номером будет положительным. В данном случае член с номером 9 отрицательный - противоречие.

  • 2) Выяснить является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей
    b7=12, b11 = 3 сверху в дроби, а снизу 4.
    4) b5 = 9, b10= - 1 в дроби сверху, а снизу 27.


    Решение: $$ 2) \ b_7 = 12, \ b_{11} = \frac{3}{4}\\\\ b_{11} = b_7*q^4, \ \frac{b_{11}}{b_7} = q^4\\\\ \frac{b_11}{b_7} = \frac{3}{4*12} = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4 = q^4 $$
    $$ q = |\frac{1}{2}| < 1 \ \Longrightarrow $$ Доказано, что прогрессия является бесконечно убывающей.
    $$ 4) \ b_5 = 9, \ b_{10} = -\frac{1}{27}\\\\ b_{10} = b_5*q^5, \ \frac{b_{10}}{b_5} = q^5\\\\ \frac{b_{10}}{b_5} = -\frac{1}{9*27} = -\frac{1}{243} = (-\frac{1}{3})^5 = q^5\\\\ $$
    $$ q = |-\frac{1}{3}| < 1 \ \Longrightarrow $$ Доказано, что прогрессия является бесконечно убывающей.

  • Сумма квадратов членов бесконечной геометрической прогрессии в 3 раза больше суммы ее членов и в 3,6 раза меньше суммы четвертых степеней ее членов. найдите второй член прогессии.


    Решение: Из условия имеем систему:    (ОДЗ: |q|<1)

    $$ \frac{3b_{1}}{1-q}\ =\ \frac{b_{1}^2}{1-q^2}, $$

    $$ \frac{18b_{1}^2}{5(1-q^2)}\ =\ \frac{b_{1}^4}{1-q^4}. $$

    Или:

    $$ \frac{b_{1}}{1+q}\ =\ 3, $$

    $$ \frac{b_{1}^2}{1+q^2}\ =\ \frac{18}{5}. $$

    Возведем первое в квадрат и поделим на второе:

    $$ \frac{1+q^2}{(1+q)^2}\ =\ \frac{5}{2},\ \\ \ 5+10q+5q^2=2+2q^2,\ \ \ \ 3q^2+10q+3=0,\ \ D=64 $$

    $$ q_{1}=-\frac{1}{3},\ \ \ \ q_{2}=-3 $$ (не входит в ОДЗ).

    Находим первый член прогрессии:

    $$ b_{1}=3(1+q)=2. $$

    Тогда второй член прогрессии:

    $$ b_{2}=b_{1}q=-\frac{2}{3}. $$

    Ответ: -2/3.

  • Найдите второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма равна одна целая одна третья ( смешанная дробь), а знаменатель - три четвертых


    Решение: Решение: 
    Имеем систему: 
    b1+b4=54 
    b2+b3=36 
    b1+b1*q³=54 
    b1*q+b1*q²=36 
    b1=54/(1+q³), подставим во второе: 
    54/(1+q³)*(q+q²)=36 
    54q(1+q)=36(1+q³) 
    3q(1+q)-2(1+q)(1-q+q²)=0 
    (1+q)(3q-2+2q-2q²)=0 
    (1+q)(5q-2-2q²)=0 
    a) 1+q=0 
    q1=-1 посторонний корень, 
    б) 5q-2-2q²=0 
    2q²-5q+2=0 
    q2=2, посторонний корень 
    q3=1/2; b1=48 
    S=48/(1-1/2)=96

  • 1. Найти а6 геометрической прогрессии (ап),

    если а1=0,81; q= - 1/8.

    2. В геометрической прогрессии (ап) а1=6, q=2.

    Найти S7.

    3. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии:

    - 40, 20, 10, …

    4. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии (ап) с положительными членами, зная, что

    а2=1,2 и а4=4,8.

    5. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь:

    а) 0, (153); б) 0, 3(2).


    Решение: 1.a6=a1*q^5=0.8*(-1/8)^5=-1/40960=-0.0000244

    2. S7=a1(q^7-1)/q-1=6(2^7-1)/2-1=6*127/1=762.

    3. Sn=a1(q^n-1)/q-1, q= a2/a1=20/(-40)=-1/2,

       Sn=a1(q^n-1)/q-1=-40((-1/2)^n-1/-1,5

    4. Sn=a1(q^n-1)/q-1, для решения необходимо найти а1 и  q, по условию известно а2 и а4, отсюда a2=a1*q 1.2=a1*q a1=1.2/q

       a4=a1*q^3 4.8=a1*q 4.8=1.2/q *q^3

       4.8=1.2q^2

       q^2=4

       q=2

       a1=1.2/2=0.6

    Sn=a1(q^n-1)/q-1=0.6(1.2^n-1)/2-1=0.6(1.2^n-1)

    5. 153/1000, 32/100.

<< < 151617 18 19 > >>