прогрессия »

найти первый член и разность прогрессии - страница 19

  • Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (аn), если
    а9+а7=70
    а5-а2=15


    Решение: $$ a_n=a_1+d(n-1);\\ a_1-\ \ \ d-\\ \left \{ {{a_9+a_7=70;} \atop {a_5-a_2=15;}} \right.==> \left \{ {{a_1+(9-1)d+a_1+(7-1)d=70} \atop {a_1+(5-1)d-a_1-(2-1)d=15}} \right.\\==> \left \{ {{2a_1+8d+6d=70;} \atop {4d-d=15;}} \right. \\ ==> \left \{ {{2a_1+14d=70} \atop {3d=15}} \right.==>\\ \left \{ {{a_1=35-7d} \atop {d=5}} \right. ==> \left \{ {{a_1=35-35} \atop {d=5}} \right.\\==> \left \{ {{a_1=0;} \atop {d=5}} \right. $$
    проверим
    a9=a1+(9-1)d=0+8*5=40;
    a7=a1+(7-1)d=0+0,6*5=30; ==>a9+a7=40+30=70;
    a5=a1+(5-1)d=0+4*5=20;
    a2=a1+(2-1)d=0+1*5=5;==>a5-a2=20-5=15
    действительно, первый элемент прогрессии =0, а разница =5

  • Три ребра и диагональ прямоугольного параллелепипеда образуют арифметическую прогрессию с разностью d. Найти объѐм прямоугольного параллелепипеда.


    Решение: Три ребра a, b, с и диагональ m образуют прогрессию с разностью d.
    b = a + d, с = a + 2d, m = a + 3d.
    По теореме Пифагора
    m^2 = a^2 + b^2 + c^2
    (a + 3d)^2 = a^2 + (a + d)^2 + (a + 2d)^2
    a^2 + 6ad + 9d^2 = a^2 + a^2 + 2ad + d^2 + a^2 + 4ad + 4d^2
    9d^2 = 2a^2 + 5d^2
    4d^2 = 2a^2
    2d^2 = a^2
    a = d*V(2)
    Объем параллелепипеда
    V = abc = a*(a + d)*(a + 2d) = d*V(2)*(d*V(2) + d)*(d*V(2) + 2d)
    V = d^3*V(2)*(V(2) + 1)*(V(2) + 2)

    Обозначим стороны параллелепипеда как a, (a+d), (a+2d).
    Диагональ (a+3d).
    Диагональ равна √((a²) + (a+d)² + (a+2d)²).
    После раскрытия скобок и приведения подобных, получим
    (a+3d) = √(3а² + 6ad + 6d²).
    Возведем обе части в квадрат:
    а² + 6ad + 9d² = 3а² + 6ad + 6d²
    2а² = 3d² d = а√(2/3).
    Объём равен V =  a* (a+d)* (a+2d) = а² + 3a²d + 2аd².
    Подставив вместо d его значение, получим
    V = a³(7 + 3√6).

  • Числа а, b, с составляют арифметическую прогрессию с разностью d=4 Найти числа а, b, с, если а, b, с+8 последовательные
    члены геометрическом прогрессии.


    Решение: (an) a;b;c      d=4
          b=a+4 
          c=b+4=a+4+4=a+8
    (an) a; a+4; a+8
    (bn)a;b;c+8      c+8=a+8+8=a+16
    (bn)a;a+4;a+16
          q=(a+4)/a
          a+16=aq²
          a+16=a((a+4)/a)²
          a+16=a(a+4)²/a²
          a+16=(a+4)²/a   | a≠0
         a(a+16)=(a+4)²
         a²+16a=a²+8a+16
         16a-8a=16
          8a=16
          a=2
          a+4=2+4=6
          a+16=2+16=18
    (bn) 2; 6; 18

  • Найти 7-й член арифметической прогрессии, где первый = 8, а разность = 0.5


    Решение: Вычисляем по формуле СЛЕДУЮЩЕГО члена АРИФМЕТИЧЕСКОЙ прогрессии
    A(n+1) = A(n)+ d
    В нашем случае A(1)=8 и d= 0.5.
    Можно было бы считать так - 8, 8,5, 9, 9,5, 10, 10,5, 11.
    Но это долго. и не красиво
    Можно сразу сосчитать А(7) = А(1) +(7-1)*0,5 = 8+3 = 11.
    Прибавили за один раз все 6 промежутков между А(7) и А(1).
    Получилась новая формула 
    A(n) = A(1) + (n-1*d. промежутков на один меньше, чем чисел.
    Ответ: А(7)=11.

  • An=6n-4, ее разность уменьшили в 2 раза, а первый член оставили без изменений. Найти сумму получившейся прогрессии с 3 по 25 включительно ( арифметическая прогрессия).


    Решение: An  = 6n - 4   

    а₁  = 6 - 4 = 2  -  первый член

    а₂  = 6*2 - 4 = 12 - 4 = 8

    d =  a₂ - a₁ = 8 - 2 = 6

    разность уменьшили в 2 раза  =>   d = 6:2 = 3,  а₁= 2   (тот же)


    Sn = ( 2а₁ + d(n - 1) )/2 * n


    S₃ ₋ ₂₅  =  S₂₅ - S₂  = ( 2а₁ + d(25 - 1) )/2 * 25 - ( 2а₁ + d(2 - 1) )/2 * 2 =

    = ( 2а₁ + 24d)/2 * 25  -  ( 2а₁ + d )/2 * 2 = (а₁ + 12d) * 25  -  ( 2а₁ + d ) =

    =  (2 + 12*3) * 25  -  ( 2*2 + 3 )  = 38 * 25  -  7  =  943 



    Ответ:  943

<< < 171819 20 21 > >>