сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 19
Арифметическая прогрессия (An) задана формулой An=10-4n Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, сложили если в сумме получилось -120 ?
Решение: Найдем через формулу прогрессии 1 член:
$$ a_1=10-4=6 $$
Формула суммы через первый и последний член суммы:
$$ S_n= \frac{n(a_1+a_n)}{2} $$
Подставим нашу сумму:
$$ -120= \frac{n(6+a_n)}{2} $$
Мы знаем чему равен $$ a_n $$:
$$ -120= \frac{n[6+(10-4n)]}{2} $$
Теперь решим как обычное уравнение:
$$ -120= \frac{n(16-4n)}{2} $$
$$ -240=16n-4n^2 $$
$$ -4n^2+16n+240=0 $$
$$ 4(-n^2+4n+60)=0 $$
$$ -n^2+4n+60=0 $$
$$ \sqrt{D}= \sqrt{16+240}= \sqrt{256}=16 $$
$$ n_{1,2}= \frac{-4\pm16}{-2}=10,(-6) $$
Но наша задача узнать номер количества. А он не может быть отрицательным. Поэтому, подходит только n=10.арифметическая прогрессия(аn) задана условием аn=2n-7. найти сумму первых десяти членов прогрессии
Решение: Формула суммы арифметической прогрессии:Sn = (a1 + an) / 2 * n, где:
a1 = 2 * 1 - 7 = -5
a10 = 2 * 10 - 7 = 13
S10 = (-5 + 13) / 2 * 10 = 40.
1. Найдите сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой аn = Зn + 2.
2. В арифметической прогрессии а6 = 1 и а10 = 13. Найдите сумму первых двадцати членов.
3. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных 4.
Решение: 1)
a30=3*30+2
a30=92
3)
На 4 делятся такие числа, которые заканчиваются на 00 или 2 последних числа делятся на 4.
так же с помощью арифметической прогрессии.
наименьшее 100, наибольшее 996
вспомним формулу для нахождения суммы и подставим наши числа.
(а1+(a1+d*(n-1)))*n/2=100004
арифметическая прогрессия (an) задано условием: an=1.4+0.3n. найдите сумму первых семнадцати членов прогрессии
Решение: Нам известна формула:a(n)=a1+d*(n-1); Где a(n) - n-ый член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, d - разность.
И нам известно условие: a(n)=1,4+0,3n.
Из условия найдем первый и 17 член прогрессии.
a(1)=1,4+0,3*1=1,4+0,3=1,7.
a(17)=1,4+0,3*17=1,4+5,1=6,5.
Теперь запишем формулу для суммы n первых членов арифметической прогрессии:
$$ S(n)=\frac{(a1+a(n))*n}{2};\\ $$
Данные нам известны, подставляем и считаем:
S(17)=((1,7+6,5)*17)/2=69,7.
Ответ: S(17)=69,7.
Арифметическая прогрессия.
Второй член прогрессии равен 5. Найдите сумму первых трех членов прогрессии.
Решение: А-арифметическая прогрессия. нам надо найти сумму первых трех членов данной прогрессии, т. е.S=a1+a2+a3.
арифметической прогрессии свойственно следующее характеристическое саойство:
An=((An-1)+(An+1)):2, какой либо член арифметической прогрессии равен полусумме предыдущего его члена и следующего.
зн. в данном случае а2=(а1+а3):2
зн.5=(а1+а3):2.> а1+а3=10,
S=а1+а2+а3=(а1+а3)+а2=10+5=15
Ответ: 151. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии (аn), если а1=-15 и d=3.
2. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии: 8; 4; 0;…
3. Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательности (bn), заданной формулой bn=3n-1.
4. Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (аn), в которой а1=25,5 и а9=5,5?
5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100.
Решение: 1. a23=a1+22*d=-15+66=512. d=a2-a1=4-8=-4
a16=a1+15*d=8-60=-52
$$ S=16\cdot{\frac{a1+a16}{2}}=16\cdot{\frac{8-52}{2}}=-352 $$
3. b1=3-1=2
b60=180-1=179
$$ S=60\cdot{\frac{b1+b60}{2}}=60\cdot{\frac{2+179}{2}}=5430 $$
4. Не является, т. к. 54.5 больше а1, а а9 меньше а1.
5. а1=3
а33=99
$$ S=33\cdot{\frac{a1+a33}{2}}=33\cdot{\frac{3+99}{2}}=1683 $$
1. Найдите восемнадцатый член арифметической прогрессии (аn), если а1 = 70 и d = -3.
2. Найдите сумму двадцати первых членов
арифметической прогрессии: -21; -18; -15;.
3. Найдите сумму сорока первых членов последовательности (bn), заданной формулой bn = 4п - 2.
4. Является ли число 30,4 членом арифметической прогрессии (аn), в которой а1
= 11,6 и а15 = 17,2?
5. Найдите сумму всех
натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 150.
Решение: 1)a18=a1+17d=70+17*(-3)=70-51=19
2)d=-18-(-21)=-18+21=3
S20=(2*(-21)+19*3)*20/2=(-42+51)*10=9*10=90
3)b1=2 b2=6 d=6-2=4
S40=(2*2+39*4)*40/2=(4+156)*20=160*20=3200
4)d=(17,2-11,6)/(15-1)=5,6/14=0,4
an=11,6+0,4(n-1)=30,4
0,4(n-1)=30,4-11,6=18,8
n-1=18,8:0,4=188:4=47
n=47+1=48 да, является
5)a1=7 d=7 an<150
7+7(n-1)<150
7+7n-7<150
7n<150
n<21 3/7
n=21
S21=(2*7+7*20)*21/2=(14+140)*21/2=154*21/2=77*21=1617
1. Между числами 17 и -3 вставьте три числа, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию.
2. Укажите номер первого отрицательного члена арифметической прогрессии 16,8, 16,5, 16,2.
3. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 8 и не превосходящих 100.
Решение: 1. A₁=17 A₅=-3
A₅=A₁+4d⇒ -3=17+4d⇒ d=-5
17. 12. 7. 2.3
2. A₁=16.8 A₂=16.5 d= -0.3
An=A₁+(n-1)d⇒ An<0⇒ 16.8+(n-1)(-0.3)<0⇒ 16.8-0.3n+0.3<0⇒ 17.1<0.3n⇒ 57<n
N=58
3. A₁=8 d=8
An<100⇒ 100> 8+ (n-1)*8⇒ n<12.5 ⇒ n=12
S12= 2*A₁+(11)*d)*n/2=(2*8+11*8)*11/2=6241)
a1=17
a5=a1+d*(5-1)=-3
d=(a5-a1)/(5-1)=-20/4=-5
a1=17;a2=12;a3=7;a4=2;a5=-3
2)
a1=16,8
a2=16,5
d=a2-a1=-0,3
an=a1+d(n-1)=16,8-0,3*(n-1)>=0
16,8>=0,3*(n-1)
n<=1+16,8/0,3=57
при n <= 57 все члены прогрессии неотрицательны
первый отрицательный при n=58
3)
a1=8
an=96
d=8
n=(an-a1)/d+1=12
Sn=(a1+an)*n/2=(8+96)/2*12=624
1. Первый и последний члены арифметической прогрессии, имеющей 7 членов, равны 11 и 35 соотвенно. Сколько членов в другой конечной арифметической прогрессии, первый и последний члены которой равны 38 и 13 соотвенно, если четвертые члены этих прогрессий равны ?
2. а) найдите сумму первых ста натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 1.
б) найдите сумму всех натуральных чисел, меньших 100, которые не кратны 5.
Решение: 1)a1=11 U a7=35⇒d=(a7-a1)/6=(35-11)/6=24/6=4
a4=a1+3d=11+3*4=11+12=23
b1=38, bn=13 U b4=23
d=(b4-b1)/3=(23-38)/3=-15/3=-5
bn=b1+d(n-1)
38-5(n-1)=23
5(n-1)=38-23=15
n-1=15/5=3
n=3+1=4
2a)a1=6 d=5 an=96
an=a1+d(n-1)=6+5(n-1)=96
5(n-1)=96-6=90
n-1=90/5=18
n=18+1=19
S19=(2*6+18*5)*19/2=(12+90)*19/2=102*19/2=51*19=969
б)a1=1 d=1
S(от 1 до 99)=S99=(2+98)*100/2=5000
b1=5 d=5 bn=95⇒5+5(n-1)=95⇒5(n-1)=95-5=90⇒n-1=90/5=18⇒n=19
S19=(10+5*18)*19/2=50*19=950
S99-S19=5000-950=4050
Сумма первых 3 членов арифметической прогрессии и произведение 1 члена на 2-ой, равны 15. Найти эти члены
Решение: 1). Общая формула для расчёта n-го члена арифметической прогрессииa(n) = a(1) + (n-1)d, где d-разность прогрессии,n - номер искомого члена.
2) По условию a(1) + a(2) + a(3) = 15.
Выразим каждый член из этих через эту формулу. Получу:
a(2) = a(1) + d;
a(3) = a(1) + 2d;
Подставив это в первое равенство, получу
a(1) + a(1) + d + a(1) + 2d = 15
3a(1) + 3d = 15.
a(1) + d = 5
3) По условию, a(1) * a(2) = 15. Подставляя формулы для каждого члена, имею:
a(1) * (a(1) + d) = 15
4) Теперь составлю систему из данных уравнений, так как оба условия должны выполнять одновременно:
a(1) + d = 5
a(1)² + a(1)d = 15
a(1) = 5-d
(5-d)² + (5-d)d = 15 (1)
(1) (5-d)² + (5-d)d = 15
25 - 10d + d² + 5d - d² = 15
-5d = -10
d = 2
d = 2
a(1) = 5-2 = 3
4) Ну и теперь осталось только лите по формуле найти оставшиеся члены прогрессии.
a(2) = a(1) + d = 3+2 = 5
a(3) = a(2) + d = 5+2 = 7
Вот и всё
