сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 19
В арифметической прогрессии 10 членов, их сумма равна 245. Сумма членов с четными номерами относится к сумме членов с нечетными номерами, как 27: 22. Определите первый член прогрессии.
Решение: 1) 27 + 22 = 49(частей)
245 : 49 = 5 (приходится на 1 часть)
27 ·5 = 135 ( это сумма членов с чётными номерами)
22 ·5 = 110 ( это сумма членов с нечётными номерами)
а2 + а4 + а6 + а8 + а10 = 135
а1 + а3 + а5 + а7 + а9 = 110
Теперь надо решать эту систему. Будем упрощать:
а1 + d + a1 + 3d + a1 + 5d + a1 + 7d + a1 + 9d = 135
a1 + a1 + 2d + a1 + 4d + a1 + 6d + a1 + 8d = 110
Приводим подобные
5а1 + 25d = 135
5a1 + 20d = 110
Вычтем из первого уравнения второе. Получим:
5d = 25
d = 5
Подставим найденный d в любое уравнение ( в первое)
5а1 + 25·5 = 135
5а1 +125 = 135
5а1 = 10
а1 = 2Найдите десятый член арифметической прогрессии, если сумма первых n членов равна Sn=n^2
Решение: S2 = 2a1 + d = 2^2, 2a1 + d = 4 - это первое уравнение системыS3 = 3*(2a1 + 2d)/2, 3(a1 + d) = 3^2, a1 + d = 3 - это второе уравнение системы
Вычтем из первого уравнения второе: a1 =1, тогда d = 2
Найдем a10: a10 = a1 + d(10-1) = 1 + 18 = 19
Сумма членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле
Sn = (a1+an)*n/2 = n²
где an = a1+d(n-1)
(a1+a1+d(n-1))*n/2 = n*n
(2a1+d(n-1))/2 = n
2a1+dn-d=2n
2a1-d=2n-dn
2a1-d=n(2-d)
при n=1
2a1=2
a1=1
при n=2
2a1-d=4-2d
d=4-2*1=2
a₁₀ = a1+d(10-1)=1+2*9 = 19
сумма первых восьми членов арифметической прогрессии равна 66, а сумма первых четырёх её членов равна 21. Найдите первый член прогрессии
Решение: S(8)=(a1+a8)*8/2=66(a1+a1+7d)*4=66
2*a1+7d=16,5
S(4)=(a1+a4)*4/2=21
(a1+a1+2d)*2=21
Решим систему уравнений:
2*a1+7d=16,5
2*a1+2d=10,5
применим метод сложения:
5d=6,5
d=1,3
2а1+2*1,3=10,5
а1+1,3=10,5:2
а1+1,3=5,25
а1=3,95
Ответ:3,95
Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 27,5, сумма следующих пяти её членов равна 90. Найдите сумму членов этой прогрессии с 11-го по 15-й включительно.
Решение: Согласно условию
а1 + а2 + а3 + а4 + а5 = 27,5
а6 + а7 + а8 + а9 + а10 = 90,
тогда S10 = a1 + a2 +.+a10 = 27,5 + 90 = 117,5
Чтобы найти сумму членов прогрессии с 11-го по 15-ый включительно, можно из суммы первых пятнадцати членов вычесть сумму первых десяти членов этой прогрессии, то есть
а11 + а12 + а13 + а14 + а15 = S15 - S10.
S10 уже есть, оно равно 117,5.
Для S15 запишем формулу:
S15 = 0,5(a1 + a15)*15,
а1 + а15 = а6 + а10 = 90*2/5 = 36
Значит, S15 = 0,5*36*15 = 270
Тогда а11 + а12 + а13 + а14 + а15 = 270 - 117,5 = 152,5
Ответ. 152,5Сумма первых 100 членов арифметической прогрессии равна 50, а сумма первых 200 членов равна 200. Чему равна сумма первых 400 членов этой прогрессии?
Решение: Сумма первых n членов арифметической прогрессии:$$ S_n = \frac{2a_1+d(n-1)}{2}n $$
$$ S_{100} = \frac{2a_1+99d}{2}100 = 50 $$
$$ S_{200} =\frac{2a_1+199d}{2}200 = 200 $$
$$ \left \{ {{(2a_1+99d)50 =50} \atop {(2a_1+199d)100 = 200}} \right. $$
Решим систему, найдем первый член и разность арифметической прогрессии.
$$ \left \{ {{2a_1+199d=2} \atop {2a_1+99d=1}} \right. $$
2a1+199d-2a1-99d = 2-1
100d = 1
d = 0.01
2a1+99*0.01 = 1
a1=0.005
$$ S_{400} = \frac{2*0.005+399*0.01}{2}400 = (0.01+399)200 = 800 $$
