прогрессия »
сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 20
1) Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии на 32 меньше суммы следующих четырех ее членов. На сколько сумма первых десяти членов этой прогрессии меньше суммы следующих десяти ее членов?
Решение: Обозначим первый член прогрессии за Х, тогда 2й член прогрессии будет Х плюс какое-то число. Обозначим это число как а, тогда 2-й член прогрессии равен Х+а, 3-й - Х+2а, 4-й - Х+3а, и т. д. Тогда сумма первых 4-х членов прогрессии будет: Х+Х+а+Х+2а+Х+3а=4Х+6а. Сумма следующих 4-х ее членов: Х+4а+Х+5а+Х+6а+Х+7а=4Х+22а.По условию, 4Х+22а-(4Х+6а)=32 4Х+22а-4Х-6а=32 16а=32 а=2
По тому же принципу высчитываем сумму первых 10ти членов прогрессии. Чтобы не писать кучу слагаемых, можно учесть, что 10й член прогр. это Х+9а, 11-й: Х+10а, 20-й: Х+19а. Иксов и в 1-х 10ти, и в последующих 10-ти будет 10 (10Х), количество а в первых 10ти будет 45, в последующих 10ти - 145. То есть, сумма первых 10ти членов прогр.: 10Х+45а. Сумма следующих 10ти членов: 10Х+145а.
10Х+145а-(10Х+45а)=10Х+145а-10Х-45а=100а. Ранее мы получили, что а=2, значит 100*2=200.
Ответ: на 200.
Чему равняется сумма первых 10 членов арифметической прогрессии аn, если а5= -0,8 ; а11 = -2
Решение: Чему равняется сумма первых 10 членов арифметической прогрессии аn, если а5= -0,8 ; а11 = -2
S10=[(a1+a10)/2] ·10 =(2a1+9d)·5
а5= a1+4d=-0,8 a1+4d=-0,8
а11 = a1+10d=-2 a1+10d=-2 6d=-1,2⇔ d=-0,2
a1=-4d-0,8=0
проверка
а5= 0+4(-0,2)=-0,8
а11 = 0+10(-0,2)=-2 верно
S10=[(a1+a10)/2] ·10 =(2a1+9d)·5=9(-0,2)·5=-9
Найдите пятый член арифметической прогрессии, если сумма n её первых членов задана формулой: Sn=2n^2-7n
Ответ: 11
Решение: Cумма n первых членов арифметической прогрессии содержит слагаемые от a₁ до $$ a_n $$
Cумма (n-1) первых членов арифметической прогрессии содержит слагаемые от a₁ до $$ a_{n-1} $$
$$ S_n=S_{n-1}+a_n $$
$$ S_{n}=2n^{2}-7n \\ S_{n-1}=2(n-1) ^{2}-7(n-1) =(n-1)(2n-2-7)=(n-1)(2n-9) \\ a_n=S_{n}-S_{n-1}=2n^{2}-7n-(n-1)(2n-9)= \\ = 2n ^{2}-7n-2n ^{2}+2n+9n-9=4n-9 $$
a₅=4·5-9=20-9=11
1) Может ли сумма первых n членов арифметической прогрессии -15; -12 ;. равняться 930 ?
Доказать
2) Может ли сумма первых n членов геометрической прогрессии 1; 6;. равняться 1533
Решение: 2*a1+(n-1)*d
S= - *n сумма первых n членов ариф. прогрессии
2
1) d = -12-(-15)= 3
930*2 = n*(2*(-15) +(n-1)*3)
1830= - 30*n +3*n² -3*n
3n²-33n-1830=0
n²-11n-620=0
D=121+2480=2601 √D= +- 51
n1=(11+51)/2=31 n2<0 - не уд. усл.
Итак, сумма S=930 тридцать одного члена прогрессии
Ответ: ДА
2) d=6-1=5
3066=(2*1+(n-1)*5)*n
3066=2n+5n²-5n
5n²-3n-3066=0
D=9+12264= 12273 √D=110, 78. не целое число
n - нет целого решения
Ответ: НЕТСумма седьмого, пятнадцатого, двадцать шестого членов арифметической прогрессии равна 27. Чему равна сумма первых 31 членов этой прогрессии?
Решение: Дано: а7 +а15+а26 =27 (1) Найти: S31=?
Решение:
а7=а1+6*d a15=a1+14*d a26=a1+25*d подставляем в (1):
а1+6d+a1+14d+a1+25d=27
3*a1+45*d=27 или а1+15d=9, предположим, что а1=-6, d=1, проверим: -6+15=9 и проверим (1):
а7=-6+6=0 а15 =-6+14=8 а26=-6+25=19 -> 0+8+19=27
всё верно.
a31 = -6+30=24
S31=31*(-6+24)/2 =31*9=279 Ответ 279
В арифметической прогрессии (Аn) а1=111, d=-6 какое наименьшее число членов этой прогрессии, начиная с первого нужно взять, чтобы их сумма была отрицательной?
Решение: An < 0(2a1 + d(n-1))*n/2 = a1*n + dn(n-1)/2 =>
a1*n < -dn(n-1)/2 =>
121n < 3n^2-3n =>
3n^2-3n-121n>0 => n^2-n-37n>0 => n^2-38n>0 => n(n-38)>0
n принадлежит N => n-38>0 => n>38
наименьшее число n = 39
An < 0
(2a1 + d(n-1))*n/2 = a1*n + dn(n-1)/2 =>
a1*n < -dn(n-1)/2 =>
121n < 3n^2-3n =>
3n^2-3n-121n>0 => n^2-n-37n>0 => n^2-38n>0 => n(n-38)>0
n принадлежит N => n-38>0 => n>38
наименьшее число n = 39 как то так
Первый член арифметической прогрессии ровняеться 4 а ее разница 3. Скольно нужно взять первых членов прогрессии что бы их сумма была 246?
Решение: A1=4 d=3 Sn=246
Sn=[2a1+(n-1)*d]*n/2
(8+(n-1)*3)*n/2=246
(8n+3n²-3n)=492
3n²+5n-492=0
D=25+5904=5929 √D=77
n1=(-5-77)/6=-14-не удов усл
n2=(-5+77)/6=12
$$ Sn=( \frac{2a1+(n-1)d}{2}) *n \\ \\ a1=4 \\ d=3 \\ Sn=246 \\ n- \\ \\ 246=( \frac{2*4+(n-1)*3}{2} )*n \\ \\ 492=8n+3(n-1)*n \\ 492=8n+3n^2-3n \\ 3n^2+5n-492=0 \\ D=b^2-4ac \\ D=25+3*4*492 \\ 5929 \\ \sqrt{D} = 77 \\ \\ n1= \frac{-5-77}{6} <0 \\ \\ n2= \frac{-5+77}{6} =12 $$
Ответ:n=12.
три числа, сумма которых 144, можно рассматривать как три последовательных члена возрастающей геометрической прогрессии или как первый, четвертый или двадцать пятый члены арифметической прогрессии. Найдите большее из чисел
Решение: 1. Сумма первого и четвертого членов геометрической прогрессии равна 40, а суммавторого и пятого равна 10. … 2. Сумма второго и четвёртого членов возрастающейгеометрической прогрессии равна 30, а их произведение 144.Первые три члена возрастающей арифметической прогрессии при некотором значении m могут быть представлены соответственно тремя выражениями: m+1, 4m-9, 2m+1. На сколько больше сумма первых сорока трех членов этой прогрессии суммы первых сорока ее членов?
Решение: $$ (a_n)m+1; 4m-9; 2m+1\\\\d=a_2-a_1=4m-9-(m+1)=4m-9-m-1=3m-10\\d=a_3-a_2=2m+1-(4m-9)=2m+1-4m+9=-2m+10\\\\3m-10=-2m+10\\3m+2m=10+10\\5m=20\\m=20:5\\m=4\\\\a_1=m+1=4+1=5\\d=3m-10=3*4-10=12-10=2\\\\S_{43}-S_{40}=a_{41}+a_{42}+a_{43}\\a_{41}+a_{42}+a_{43}=(a_1+40d)+(a_1+41d)+(a_1+42d)=3a_1+123d=\\=3*5+123*2=15+246=261 $$
Ответ: на 261
Найдите число членов арифметической прогрессии, у которой отношение суммы первых 13 членов к сумме последних 13 членов равно 1/2, а отношение суммы всех членов без первых трех к сумме членов без последних трех равно 4/3.
Решение: Пусть наши член равны
$$ a_{1};a_{2};a_{3};a_{4}.a_{n} $$
$$ 1. $$по первому условию, сумма равна
$$ \frac{a_{1}+a_{2}+.a_{13}}{a_{n-12}.+a_{n-1}+a_{n}}=0.5 $$
это же условие можно переписать в виде
$$ S_{13}=(a_{1}+6d)*13 \\ $$
а последний 13 можно в виде
$$ S_{13}’=13(a_{1}+d(n-7)) $$
по условию следует что
$$ \frac{a_{1}+6d}{a_{1}+d(n-7)} = \frac{1}{2} $$
$$ 2. $$ По второму условию задачи следует что
$$ S_{n}-(a_{1}+a_{2}+a_{3}) $$
ее можно переписать в виде
$$ \frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n - (3a_{1}+3d) $$
а последние без трех можно переписать в виде
$$ \frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n-(3a_{1}+d(3n-6)) $$
заметим то что
$$ \frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n - (3a_{1}+3d) = (\frac{n}{2}-\frac{3}{2})(dn+2d+2a_{1}) $$
$$ \frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n-(3a_{1}+d(3n-6)) = (\frac{n}{2}-\frac{3}{2})(dn-4d+2a_{1}) $$
по условию получаем
$$ \frac{dn+2d+2a_{1}}{dn-4d+2a_{1}}=\frac{4}{3} $$
получаем систему уравнений
Ответ $$ 20 $$
