сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 22
Cумма 3-го и 7-го членов арифметической прогрессии равна 10. Найти сумму первых 9 членов этой прогрессии.
Решение: $$ a_3+a_7=10 $$
$$ a_3=a_1+2d $$
$$ a_7=a_1+6d $$
$$ a_3+a_7=a_1+2d+a_1+6d $$
$$ a_3+a_7=2a_1+8d $$
$$ 2a_1+8d=10 $$
$$ S_{9} = \frac{2a_1+8d}{2} *9 $$
$$ S_{9} = \frac{10}{2} *9 $$
$$ S_{9} = 45 $$
Ответ: $$ 45 $$A₃+a₇=10 ⇒a₂+a₈=10 ⇒ a₁+a₉=10
S₉=9*(a1+a9)/2=9*10/2=45
отв:451. Дана арифметическая прогрессия (an). Вычислите а5, если а12=17,d=1
2. Дана геометрическая прогрессия (bn). Вычислите сумму двух первых членов, если b4=81,q=3.
3. Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите все те, для которых выполняется условие a9 < 1: \( 1. a_n=\frac{n}{3}+1; \;\;2. a_n=17-2n; \;\;3. a_n=2n-19; \;\;4. a_n=40-4n \)
Решение: 2. в1=81/34^4=1 в2=1*3=3 3+1=43. 1. 9/3+1=4 нет
2. 17-2*9=-1 да
3. 19-2*9=-1 да
4. 40-4*9=4 нет
1. Распишем формулу 12 члена арифметической прогрессии.
$$ a_{12}=a_{1}+11d $$
Подставим известные значения и найдём первый член арифметичсекой прогрессии:
$$ 17=a_{1}+11 $$
$$ a_{1}=17-11=6 $$
Запишем формулу для пятого члена:
$$ a_{5}=a_{1}+4d $$
Подставим и найдём пятый член:
$$ a_{5}=6+4=10 $$
Ответ: 10.
2. Запишем формулу для четвертого члена геометрической прогрессии:
$$ b_{4}=b_{1}*q^{3} $$
Подставим значения и найдём первый член геометрической прогрессии:
$$ 81=b_{1}*3^{3} $$
$$ b_{1}=\frac{81}{27}=3 $$
Запишем формулу суммы для двух первых членов геометрической прогрессии:
$$ S_{2}=\frac{b_{1}(q^{2}-1)}{2-1} $$
$$ S_{2}=\frac{3*(9-1)}{3-1}=12 $$
Ответ: 12
3. В каждый вариант будем подставлять вместо n число 9.
1)$$ a_{9}=\frac{9}{3}+1=3+1=4 $$
4>1, ответ не подходит.
2)$$ a_{9}=17-2*9=17-18=-1 $$
-1<1, ответ подходит
3)$$ a_{9}=2*9-19=18-19=-1 $$
-1<1, ответ подходит
4)$$ a_{9}=40-4*9=40-36=4 $$
4>1, ответ не подходит.
Найдите разность и количество членов арифметической прогрессии, для которой
А) а1=27, аn=69, Sn=1056
Б)a1=35,an=135,Sn=-900
НАЙДИТЕ СУММУ ПЕРВЫХ 70 НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Решение: А) Sn=((a1+an)*n) / 2 - сумма арифметической прогрессии
Выражаем отсюда n:
n = (2*Sn) / (a1+an) = (2*1056) / (27+69) = 22 - количество членов арифметической прогрессии;
an = a1 + (n - 1)*d - формула n-ого члена арифметической прогрессии
Выражаем отсюда d:
an - a1 = (n - 1)*d
d = (an - a1) / (n - 1) = (69 - 27) / (22 - 1) = 2
Под буквой Б) решение абсолютно такое же (по аналогии), только цифры другие!
Третий и седьмой члены арифметической прогрессии равны 1,1 и 2,3. найти сумму первых десяти её членов.
Решение: А₃ = а₁ +2d 1.1 = a₁ + 2d a₁ = 1.1-2d a₁ = 1.1-2d
a₇ = a₁ + 6d 2.3 = a₁ +6d 2.3 = 1.1-2d +6d 2.3-1.1 = 4d
₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋
a₁ = 1.1-2d a₁ = 1.1-2d a₁ = 1.1-2*0.3 = 0.5
1.2 = 4d d = 0.3 d =0.3
S₁₀ = ((2a₁ + d(n-1))*n)/ 2 = (2*0.5 + 0.3(10-1)) *10) /2 = (1+2.7*10)/2 =
= (1+27)/2 = 28/2 = 14
S₁₀ = 14
Третий и седьмой члены арифметической прогрессии равны 8 и 20 соответственно. Найдите сумму десяти первых членов этой прогрессии.
Решение: Решение:
Дано:
а3=8
а7=20
Найти: S10 ?
аn=a1+d*(n-1)
а3=а1+d*(3-1)=a1+2d или:
8=а1+2d (1)
a7=a1+d*(7-1)=a1+6d или:
20=а1+6d (2)
Решим получившуюся систему двух уравнений:
8=а1+2d
20=a1+6d
Отнимем из первого уравнения второе уравнение:
8-20=а1+2d-a1-6d
-12=-4d
d=-12 : -4
d=3
Подставим значение d в любое из уравнений, например в первое:
8=а1+2*3
8=а1+6
а1=8-6=2
Sn=(a1+an)*n/2
a10=2+3*(10-1)=2+27=29
S10=(2+29)*10/2=31*5=155
Ответ: S10=155
Арифметическая прогрессия, найти сумму первых четырех членов, если а1=8 а3=18
Решение: Составляем систему ур-ния:Ф. С. : а1 = 8,
а3=18
Ф. С. : а1=8,
а1 + 2d =18
Вычитаем из нижнего уравнения верхнее и получаем: 2d = 10, отсюда d=5.
S4 =( 2a1 + (n-1)d )*n/ 2 = (16 + 3*5) 4 /2 = 62
Ответ:62
Примечание: Ф. С. фигурная скобка, а числа после"а" это индекс
$$ d=\frac{a_3-a_1}{3-1}=\frac{18-8}{2}=5 $$
$$ S_4=\frac{2a_1+(4-1)d}{2}\cdot4=2\cdot(2\cdot8+3\cdot5)=2\cdot31=62 $$
Ответ: 62.
Последовательность (an)-арифметическая прогрессия. Найдите сумму первых ее членов, если a1=8, a3=18
Решение: В задаче не указано сумму скольких перых членов нужно найти(например, найдите сумму первых семи ее членов.).a3+a1+b+b, b=5
Sn=a1+b(n-1) -(формула по которой нужно вычислить сумму n-ых членов)
Sn=сумма n-ых членов
n=число членов(вместо n нужно вставить число первых членов)
a1=8,
b=5.
Далее по формуле можно легко вычислить сумму
d=(18-8)/(3-1)=10/2=5 S3=((2a1+d(n-1)/2)*n)=(2*8+10)/2*3=39 это если первых 3
последовательность(an) -арифметическая прогрессия. Найдите сумму первых шести её членов, если а2=11, а3=8, а4=5
Решение: d=a3-a2=8-11=-3a4=a1+(n-1)d
a4=a1+3*(-3)
5=a1-9
a1=14
S6=a1+((n-1)d)*n/2 /этот знак значит дробь КО ВСЕМУ ВЫРАЖЕНИЮ
S6=(14+5*(-3))*6/2
s6=-3
d=a2-a3
подстовляем наши значения
d= 8-11=-3
a4=a1+(n-1)*d
a4=a1+(-3)*3
т. к. a4=5 то
5=a1-9
a1=9+5
a1=14
S6=a1+(n-1)*d)*n\2
S6=(14+5*(-3))*6\2
S6=-3
Последовательность (an)-арифметическая прогрессия. Найдите сумму её первых двадцати пяти членов, если a1=-4,a2=-2,a3=0
Решение: $$ a_{1}=-4 $$$$ a_{2}=-2 $$
$$ a_{3}=0 $$
$$ S_{25}=? $$
$$ S_{25}=\frac{a_{1}+a_{25}}{2}*25 $$
$$ a_{25}=? $$
$$ a_{25}=a_{1}+24d $$
$$ d=a_{3}-a_{2}=0-(-2)=2 $$
$$ a_{25}=-4+24*2=-4+48=44 $$
$$ S_{25}=\frac{-4+44}{2}*25=\frac{40}{2}*25=500 $$
Последовательность (An) - арифметическая прогрессия. Найдите сумму двадцати первых её членов, если A1+ A4+ A7= 45, A4*A6= 315
Решение: $$ \left \{ {{a_{1}+a_{4}+a_{7}=45} \atop {a_{4}*a_{6}=315}} \right. $$
$$ \left \{ {{a_{1}+(a_{1}+3d)+(a_{1}+6d)=45} \atop {(a_{1}+3d)*(a_{1}+5d)=315}} \right. $$
$$ \left \{ {{3a_{1}+9d=45} \atop {(a_{1}+3d)*(a_{1}+5d)=315}} \right. $$
$$ \left \{ {{a_{1}=15-3d} \atop {(a_{1}+3d)*(a_{1}+5d)=315}} \right. $$
$$ \left \{ {{a_{1}=15-3d} \atop {(15-3d+3d)*(15-3d+5d)=315}} \right. $$
$$ 15*(15+2d)=315 $$
$$ 15+2d=21 $$
$$ 2d=21-15=6 $$
$$ d=3 $$
$$ a_{1}=15-3d=15-3*3=6 $$
$$ S_{20}=\frac{2a_{1}+19d}{2}*20=\frac{2*6+19*3}{2}*20=\\=(2*6+19*3)*10=(12+57)*10=69*10=690 $$
Ответ: 690
