прогрессия »
сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 22
Сумма первых семнадцати членов арифметической прогрессии равна 85, а сумма первых ее двадцати одного члена равна 189. Сколько положительных трехзначных чисел содержится в этой прогрессии?",
Решение: S17=85S21=189
система:
2a1+16d=10
2a1+20d=18
a1+8d=5
a1+10d=9
a1=-11
d=2
ОТВЕТ: 450
см. влож
Сумма четырех первых членов арифметической прогрессии равна 124, а сумма четырех последних ее членов -156. сколько членов в этой прогрессии, если известно, что их сумма равна 350?
Решение: S4 = 124
Sn-3,n=156
Sn=350
n-
3 записи условия дадут нам 3 уравнения, с которыми мы и будем возиться.
1) S4 = 124
(a1 + a4)·4/2 = 124
а1 + а4 = 62
а1 + а1 + 3d = 62
2a1 + 3d = 62 ⇒ 2a1 = 62 - 3d
2) (an-3 + an)·4/2 = 156
a1 +d(n-4) + a1 + d (n-1) 78
2a1 + d( n - 4 + n -1) = 78
2a1 + d(2n -5) = 78
62 -3d + d(2n - 5) = 78
d(-3 +2n - 5) = 78 - 62
d(2n - 8) = 16 ⇒ d = 16/(2n - 8)
3) Sn = 350
(a1 + an)·n/2 = 350
(a1 + a1 + d(n - 1))·n = 700
(2a1 + d(n - 1))·n = 700
( 62 - 3d + d(n -1)·n = 700
(62 +d(-3 + n -1))·n = 700
(62 +d(n - 4))·n = 700
(62 + 16/2(n-4)·(n -4))·n = 700
70n = 700
n = 100
В арифметической прогрессии сумма третьего и пятого членов равна 14, сумма первых двенадцати членов равна 129. Найдите количество первых членов прогрессии, которые необходимо взять, чтобы их сумма была равна 195.
Решение: A3+a5=14
S12=129
Sn=195
Решение:
По формуле: an=a1+(n-1)d
a3=a1+2d
a5=a1+4d
a3+a5=(a1+2d)+(a1+4d)=2a1+6d=14
отсюда:
a1+3d=7 (*)
По формуле: Sn=(2a1+(n-1)d)*n/2
S12=(2a1+11d)*12/2=(2a1+11d)*6=129
отсюда:
(2a1+11d)*6=129 (**)
Решим систему уравнений (*) и (**):
a1+3d=7
(2a1+11d)*6=129
a1=7-3d
12a1+66d=129
12*(7-3d)+66d=129
84-36d+66d=129
-36d+66d=129-84
30d=45
d=1,5
a1=7-3*1,5=7-4,5=2,5
Аналогично по формуле: Sn=(2a1+(n-1)d)*n/2
Sn=(2*2,5+(n-1)*1,5)*n/2=(5+(n-1)*1,5)*n/2=195
(5+(n-1)*1,5)*n=195*2
(5+1,5n-1,5)*n=390
(3,5+1,5n)*n=390
1,5n^2+3,5n-390=0 умножим на 2
3n^2+7n-780=0
D=7^2-4*3*(-780)=49+9360=9409
n1=(-7+97)/(2*3)=90/6=15
n2=(-7-97)/(2*3)=-104/6=-52/3 не подходит
Ответ: n=15/Найти число членов арифметической прогрессии в которой сумма n первых членов равна (-25) а1=3 аn=-13
Решение: Для прогрессии есть формула:
an = a1 + (n-1)d
a1 = 3
an = -13
Sn = -25
Самое быстрое решение тут - метод подбора.
От a1 до an у нас должно идти какое-то количество чисел, чтоб их сумма была равна -25.
Попробуем вставить между ними число -5.
-5 - потому что 3 - 8 = -5 и -13 + 8 = -5 то есть среднее между ними
3 - 5 - 13 = -15 получается. Нам это не подходит.
Вставить 2 числа между 3 и -13 не получится, потому что 3 - (-13) = 16, а 16 на 3 не делится.
Поэтому вставим 3 числа.
16 : 4 = 4
3 - 4 = -1
-1 - 4 = -5
-5 - 4 = -9
Считаем сумму:
3 - 1 - 5 - 9 - 13 = -25
Число членов прогрессии = 5:
a1 = 3
a2 = -1
a3 = -5
a4 = -9
a5 = -13
Если не нравится делать методом подбора - можно сделать по формуле. Там и короче получается, просто методом подбора - понятнее.
S = n(a1 + an)/2
S = -25
n(a1+an)/2 = -25
n(a1+an) = -25 * 2
n(a1+an) = -50
n(3-13) = -50
-10n = -50
n = 5
Ответ: Число членов = 5найдите три первых члена арифметической прогрессии, у которой сумма любого числа членов равна утроенному квадрату этого числа.
Решение: 1). Пусть первый член прогрессии равен a, а разность равна d.
Сумма n первых членов равна
(2*a+d*(n-1))*n/2=3n²
2*a-d+d*n=6n
2*a-d=(6-d)*n
Чтобы равенство выполнялось независимо от n необходимо выполнение условия 6-d=0 => d=6.
Получим 2*a-6=0 => a=3
Это приводит нас к ответу. Первые члены 3, 9, 15.
