прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 21

  • Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если сумма третьего и седьмого равна 13, а произведение четвёртого и шестого равно 42.


    Решение: Sn=((2a1+(n-1)*d)/2)*n

    a3 = a1+(n-1)*d 

    составим систему

    a3+a7=13

    a4*a6=42

    преобразуем

    a1+2d+a1+6d = 13 (отсюда выразим a1 = (13-8d)/2 и подставим во второе выражение)

    (a1+3d) * (a1+5d) = 42

    после упрощения

    169 - 4*d^2 = 168

    d = 1/2

    тогда a1 = 4.5

    Sn = ((9+4)/2)*5 = 32.5

  • Cумма первых 20 членов арифметической прогрессии равна 100, а сумма первых 10 членов этой прогрессии равна 10. найдите наименьший положительный член прогрессии


    Решение: Вроде так:
    по формуле суммы п членов арифм. прогрессии получим:
    $$ \frac{2 a{1}+d(20-1) }{2}*20=100 \frac{2 a{1}+d(10-1) }{2}*10=10 $$
    решим систему уравнений
    $$ \left \{ {{2a1+19d=10} \atop {2a1+9d=2}} \right. $$
    10d=8
    d=8/10=0.8
    a1=(2-9d)/2=(2-9*0.8)/2=-2.6
    a4=-2.6+4*0.8=0.6

    A1+a1+d+.+a1+19d=20a1+190d=100
    a1+a1+d+.+a1+9d=10a1+45d=10
    20a1+190d=100
    20a1+90d=20
    100d=80
    d=0.8
    10a1+36=10
    a1=-2.6
    a1+(n-1)d>0
    -2.6+0.8n-0.8>d
    0.8n>-3.4
    n>4.25
    n=5
    a5=-2.6+4*0.8=0.6

  • Сумма первых девяти членов арифметической прогрессии равна 117, а сумма последовательных членов этой прогрессии, начиная с десятого номера и до пятнадцатого включительно, равна 213. Найдите четвертый член прогрессии.


    Решение: $$ (a_n)\\S_9=117\\S_{10-15}=213\\a_4-\\\\S_9= \frac{2a_1+8d}{2}*9=(a_1+4d)*9=9a_1+36d\\\\S_{10-15}=S_{15}-S_9\\S_{15}= \frac{2a_1+14d}{2}*15=(a_1+7d)*15=15a_1+105d\\\\S_{10-15}=15a_1+105d-(9a_1+36d)=15a_1+105d-9a_1-36d=\\=6a_1+69d\\\\ \left \{ {{9a_1+36d=117} \atop {6a_1+69d=213}} \right.\\\\ \left \{ {{a_1+4d=13|*(-2)} \atop {2a_1+23d=71}} \right.\\\\ \left \{ {{-2a_1-8d=-26} \atop {2a_1+23d=71}}+ \right.\\\\15d=45\\d=3\\\\a_1+4*3=13\\a_1+12=13\\a_1=1\\\\a_4=a_1+3d=1+3*3=1+9=10 $$
    Ответ: 10

  • 1) Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 0, а сумма четвертого, пятого и шестого членов равна 18. Найти шестой член прогрессии
    2) Шестой и девятый члены арифметической прогрессии равны, соответственно, 15 и 21. Найдите шестнадцатый член этой прогрессии.


    Решение: Sn = (2a1 + (n-1)d)n/2
    S3 = (2a1 +2d)3/2 = 0
    2a1 + 2d = 0
    an = a1 + (n-1)d
    a4 = a1 + 3d
    a5 = a1 + 4d
    a6 = a1 + 5d
    a4+a5+a6 = a1 + 3d+ a1 + 4d + a1 + 5d = 3a1 + 12d = 18
    Система  2a1 + 2d = 0 и 3a1 + 12d = 18
    a1 + d = 0
    a1+ 4d = 6
    a1 = -d
    -d + 4d = 6
    3d = 6
    d = 2
    a1 = -2
    a6 = -2 + 5*2 = -2 + 10 = 8
    2) an = a1 + (n-1)d
    a6 = a1 + 5d
    a9 = a1 + 8d
    Система
    a1 + 5d = 15 
    a1 + 8d = 21
    a1 = 15 - 5d
    15 - 5d + 8d = 21
    3d = 6
    d = 2
    a1 = 15 - 2*5 = 5
    a16 = 5 + 2*15 = 5 + 30 = 35

  • Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна -2, а сумма второго и шестого ее членов равна 2. Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.


    Решение: Система
    a₁+a₅=-2 a₁+a₁+4d=-2 2a₁+4d=-2
    a₂+a₆=2; a₁+d+a₁+5d=2 2a₁+6d=2
    отнимем
    -2d=-4
    d=2
    a₁=-5
    s₁₀=((2*a₁+9d)/2)*10=40

    Система
    a₁+a₅=-2 a₁+a₁+4d=-2 2a₁+4d=-2
    a₂+a₆=2; a₁+d+a₁+5d=2 2a₁+6d=2
    отнимем
    -2d=-4
    d=2
    a₁=-5
    s₁₀=((2*a₁+9d)/2)*10=40

<< < 192021 22 23 > >>