сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 21
Дана арифметическая прогрессия -3,1,5. найдите а) сумму её первых 10 членов; б) сумму её первых n членов; в) число последовательных членов этой прогрессии, которые надо сложить, начиная с первого, чтобы получить 42
Решение: а) Сначала найдём разность по формуле d-x2-x1 и она будет равна d=1+3=4. Затем следуя формуле суммы найдём сумму первых 10 членов Sn=2a1+d(n-1)*n/2 и будет равно S10=2*-3+4(10-1)*10/2 будет равно -6+36*10/2 получается 30*10/2=150.б)Sn=2*-3+4n*n/2 получается -6n+4n^2/2 дальше выносим 2за скобки и получаем выражение 2(-3n+2n^2)/2 сокращаем на два и получается выражение -3N+2N^2.
дана арифметическая прогрессия -3,1,5. в) число последовательных членов этой прогрессии, которые надо сложить, начиная с первого, чтобы получить 42
решение
в)S=(2a1+d(n-1))/2*n
a1=-3
d=4
s=42
все подставим (2*-3+4*n-4)/2*n=42
(-10+4n)*n=84
4n^2-10n-84=0
d=38(В квадрате)
n1=-28/8-недействительный корень
n2=10+38=48/8=6
ответ : число таких членов равно 6
№1. в арифметической прогрессии а1= -7,3 и а2= -6,4. На коком месте ( укажите номер ) находится число 26? №2. в арифметической прогрессии а1= 38,1 и а2= 36,7. На коком месте ( укажите номер ) стоит первое отрицательное число? Найдите это число. №3. Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой Аn=6 умножить n+2
Решение: 1. a1=-7.3; a2=-6.4; an=26d=a2-a1=-6.4-(-7.3)=-6.4+7.3=0.9
an=a1+(n-1) в
26=-7,3+(n-1)0.9
26=-7.3+0.9n-0.9
0.9n=34.2
n=38
2. a1=38.1; a2=36.7; an=0
d=a2-a1=36.7-38=-1.3
an=a1+(n-1)d
0=38,1+(n-1)(-1.3)
0=38.1-1.3n+1.3
-39.4=-1.3n
n=30.3, значит первое отрицательное число 31 по счету
3. an=6(n+2); Sn=(a1+a16)/2*n
a1=6(1+2)=18
a16=108
S16=(18+108)/2*16=1008
1) Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии (Аn). если А1=2 и А2=5
2) Является ли число -6 членом арифметической прогрессии (Сn), в которой С1=30 и С7=21
Решение: 1)An = A1+d(n-1).
d= A2- A1;
d = 5-2 = 3.
Sn = ( 2A1 +d(n-1))/2 *n;
S15 = (2*2 + 3(15-1))/2 * 15;
S15 = (4+ 42)/2 *15 = 23*15 = 345.
Ответ : 345.
2) Cn = C1 + d(n-1).
C7 = C1 + d(n-1);
C7 = C1 + 6d.
27 = 30 + 6d;
6d = -3;
d = - 0,5.
Cn = C1 + d(n-1).
-6 = 30 + (-0,5) * (n-1);
30+(-0,5n + 0,5) = -6;
30 - (n/2) + 0,5 = -6;
-(n/2) = -6-0,5-30;
n/2 = 6+0,5 +30;
n/2 = 36,5;
n = 36,5 * 2;
n= 73.
Т. к. n - целое положительное число, можно утверждать, что -6 является членом арифметической прогрессии.
Ответ : является.1. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии (аn), если а1 = -15 и d = 3.
• 2. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии: 8; 4; 0;.
3. Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательности (bn), заданной формулой bn = 3п - 1.
4. Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (аn), в которой а1 = 25,5 и а9 = 5,5?
Решение: 1)
$$ a_1=-15;\ \ d=3;\\ a_2=a_1+d;\ \ a_3=a_2+d=a_1+2d=a_1+(3-1)\cdot d;\\ a_n=a_1+(n-1)\cdot d;\\ a_{23}=-15+(23-1)\cdot3=-15+22\cdot3=-15+66=51 $$
2)
$$ 8;4;0.\\ S_{16}-;\\ a_1=8;\ \ a_2=4;\ \ a_3=0;\\ d=a_3-a_2=a_2-a_1=0-4=4-8=-4;\\ S_{n}=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{a_1+a_1+(n-1)\cdot d}{2}\cdot n=\\ =\frac{2a_1+(n-1)\cdot d}{2}\cdot n;\\ S_{16}=\frac{2a_1+15\cdot d}{2}\cdot16=\frac{2\cdot8+15\cdot(-4)}{2}\cdot16=\\ =\frac{16-60}{2}\cdot16=(16-60)\cdot8=-44\cdot8=-352;\\ S_{16}=-352 $$
3)
$$ b_n=3n-1;\\ b_1=3\cdot1-1=3-1=2;\\ b_2=3\cdot2-1=6-1=5;\\ b_3=3\cdot3-1=9-1=5;\\ $$
тут мы имеем обычную арифметическую прогрессию с шагом 3 и первым элементом 2
$$ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n;\\ a_n=3n-1;\\ S_{60}=\frac{a_1+a_{60}}{2}\cdot60=\frac{3\cdot1-1+3\cdot60-1}{2}\cdot60=\\ =(3+180-2)\cdot30=181\cdot30=5430 $$
4)
тут определим, что если данное число отличается на целое количество разницы (имеет целочисленный индекс(номер элемента)) прогрессии, тогда входит, иначе нет, найдем разницу и потом сравним числа
$$ 54,5-\\ a_1=25,5; \ \ a_9=5,5;\\ a_9=a_1+8\cdot d==>d=\frac{a_9-a_1}{8}=\frac{5,5-25,5}{8}=-\frac{20}8=-2,5;\\ a_{x}=54,5; \ \ x-\\ a_x=a_1+(x-1)\cdot d;\\ x=\frac{a_x-a_1}{d}+1=\frac{54,5-25,5}{-2,5}+1=\frac{29}{-2,5}+1=\frac{29-2,5}{-2,5}=\frac{26,5}{2,5}=\frac{53}{5}otin Z $$
как видно, что не входит, тем-более индекс отрицательный и между -11 и -10 элементами1) Найдите тридцать второй и сороковой члены арифметической прогрессии (аn), если а1 = 65, d = -2.
2) Найдите сумму двадцати четырех первых членов арифметической прогрессии: 42; 34; 26; …
3) Найдите сумму восьмидесяти первых членов последовательности (bn), заданной формулой bn = 2n – 5.
4) Является ли число 6,5 членом арифметической прогрессии (аn), в которой а1=-2,25 и а11=10,25?
Решение: 1.a32=65+(32-1)*(-2)=3
a32=3
a40=65+(40-1)*(-2)=-13
a40=-13
2.
d=34-42=-8
d=-8
a24=42+(24-1)*(-8)=-142
a24=-142
S24=42+(-142)/2*24=-1200
3.
b1=2*1-5=-3
b80=2*80-5=155
b80=155
S80=-3+155/2*80=6.080
4.
a11=a1+10d
10d=a11-a1=10,25+2,25=12,5
d=12,5:10
d=1,25
6,5+2,25=8,75
8,75:1,25=7
ответ: число 6,5 является членом арифметической прогрессии
1. В арифметической прогрессии а1=-7,3 и а2=-6,4. На каком месте находится число 26?
А) 39
б) 38
в) 27
д) 28
2. В арифметической прогрессии а1=38,1 и а2=36,7. На коком месте стоит первое отрицательное число. Найдите это число
а) -0,5
б) -0,7
в) -1,1
г) -0,3
3. Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической проогрессии, заданной формулой an=6n+2
а) 864
б)848
в) 792
г)716
Решение: A1=-7,3 a2=-6 ( читаем а первое, а второе. К сожалению, индексы пишутся крупным шрифтом)
находи разность d= a2-a1= -6,4-(-7,3)=0,9
далее применяем формулу любого члена прогрессии an=а1+(п-1)d:
26=-7,3 + (n-1)*0,9; 26=-7,3+0,9n -0,9; 26+7,3+0,9=0,9n; n=38
в тесте выдели ответ б.
Остальные примеры легкие, можно решить самостоятельно.Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательности (bn), заданной формулой bn =3n – 1. 2 задание Является ли число -54,5 членом арифметической прогрессии (an), в которой a1 = 25,5 и а9=5,5?
Решение: 1)
Найдем первый и щестедисятый член прогрессии.$$ b_1=2; b_6_0=179 $$
Находим сумму.$$ S_n= \frac{2+179}{2}*60= 5430 $$
2) По формуле, находим разность.
$$ a_n = a_1+ d (n - 1) $$$$ 5,5=25,5+d(9-1) $$
$$ d=-2,5 $$
Теперь по той же формуле проверим является ли -54,5 членом прогрессии.
Тем самым найдем n. Помним, что n - целое, положительное число.$$ -54,5=25.5+(-2,5)(n-1) $$
$$ n=33 $$
Следовательно,54,5 - является членом данной прогрессии.
b1=3-1=2
b2=3*2-1=5
q=b2/b1=5/2=2.5
S60= b1(q^60-1)/(q-1)=2(2.5^60-1)/(2.5-1)=2(2.5^60-1)/1.5.
2.a1 = 25,5 и а9=5,5
a9=a1+8d
5.5=25.5+8d
8d=-20
d=-2.5
an=a1+(n-1)d
-54.5=25.5+(n-1)*(-2.5)
-54.5=25.5-2.5n+2.5
-82.5=-2.5n
n=33 число -54.5 является членом арифметической прогрессии
1. найдите наибольший отрицательный член последовательности an=3n-8 2. найдите двенадцатый член арифметической прогрессии 26;23 3. какое число является членом арифметической прогрессии an если a1=4 a4=85 4. вычислите сумму первых девятнадцати членов арифм. прогр. заданной формулой an=15 -3n
Решение: an=3n-8меньше 03n-8меньше 0
nменьше 8/3
nменьше2 целых 2/3 следовательно
n=2
а2=3 х 2 - 8
а2 = -2 2
. найдите двенадцатый член дано а1=26; а2=23 следовательно d=-3(23-26)
а12= a1+(n-1) d
a12=26+11d
a12=26-33
a12=-7
3. какое число является членом арифметической пр.
a1=4 a4=85
d=(an-am)-m=(a4-a1)\4-1=(85-4)\3=27
a2=4+27=31
a3=31+27=58
4. вычислите an=15 -3n
Здесь а1=15
По формуле S=(a1+an)\2 х n=(15+15-3 х19)\2 и всё умножить на 19= решаем и находим S19=256,5
Как то так
1. Является ли число -35 членов арифметической прогрессии, в которой а1=3 и а7=-9
2. Найдите сумму шести первых членов геометрической пргрессии, если b2=0,08 и b4=1.28
Решение: 1.a(n)=a(1)+d(n-1) Имеем, а(1)=3, а(7)=-9, n=7 Найдем d.
-9=3+6d
6d=-12
d=-2.
Подставляем a(n)=-35, получаем:
-35=3-2(n-1)
-35=3-2n+2
-35-5=-2n
-40=-2n
n=20
Ответ: Да является, а(20)=-35
2.
b(4)=1,28, b(2)=0.08
b(3) в квадрате = b(2)*b(4),
b(3)=0.32
q=b(3)/b(2) q= 0.32/0.08 q= 4
b(1)=b(2)/q b(1)= 0.02, b(5)=5.12, b(6)=20.48
S(6) = (b(6)*4-b(1)) / 3 = (20.48*4-0.02) / 3 = 27.3
Ответ: S(6)= 27.3
a(n)=a(1)+d(n-1) Имеем, а(1)=3, а(7)=-9, n=7 Найдем d.
-9=3+6d
6d=-12
d=-2.
Подставляем a(n)=-35, получаем:
-35=3-2(n-1)
-35=3-2n+2
-35-5=-2n
-40=-2n
n=20
Ответ: Да является, а(20)=-35
2.
b(4)=1,28, b(2)=0.08
b(3) в квадрате = b(2)*b(4),
b(3)=0.32
q=b(3)/b(2) q= 0.32/0.08 q= 4
b(1)=b(2)/q b(1)= 0.02, b(5)=5.12, b(6)=20.48
S(6) = (b(6)*4-b(1)) / 3 = (20.48*4-0.02) / 3 = 27.3
Ответ: S(6)= 27.3
1. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии, которая задана формулой:
2. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 8 и меньше 220.
Решение: 1. есть формула суммы n-членов
A1+An
Sn=- *n подставим в формулу из условия n=1 ⇒ А1=4*1-1=3 и А10=4*10-1=39
2
и найденное А1 и n=10 в формулу суммы
S10=(3+39)*10/2=210
2. Кратные числа 8 выполняют условия деления на 8
значит А1=8 Аn=8*n
Аn<220 ⇒ 8n<220 ⇒ n<220/8 ⇒n<27.5 так как нам нужны натуральные числа значит максимальное n=27 отсюда Аn=8*27=216
подставляем в формулу суммы из номера 1 (повторяться не буду)
S27=(8+216)*27/2=3024
