прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 23

  • Даны четыре числа, из которых первые три являются тремя последовательными членами геометрической, а последние три - членами арифметической прогрессии; сумма крайних чисел равна 32, сумма средних чисел равна 24. Найти эти числа.


    Решение: Пусть эти числа $$ a,b,c,d $$ 
     $$ a;b;c- $$ -  геометрическая прогрессия
     $$ b,c,d $$ - арифметическая прогрессия
      по условию 
     $$ a+d=32\\ b+c=24\\ $$ 
     так как $$ b-a=c-b\\ 2b=a+c\\ \\ \frac{c}{b}=\frac{d}{c}\\ c^2=bd \\\\ a+c=2b \\ c^2=bd\\ a+d=32\\ b+c=24\\ \\ a+c+b+d=56\\ 2b+b+d=56\\ 3b+d=56\\ d=56-3b\\ c=24-b\\ \ (24-b)^2=b(56-3b) \\ 24^2-48b+b^2=56b-3b^2\\ b^2-26b+144=0\\ (b-18)(b-8)=0\\ b_{1}=18\\ b_{2}=8\\ c_{1}=6\\ c_{2}=16\\ a_{1}=2*18-6=30\\ a_{2}=2*8-16=0\\ d_{1}=2 d_{2}=32\\ \\ $$
    Эти числа $$ 2;6;18;30 $$

  • Три числа образуют геометрическую прогрессию, в которой q>1. Их можно рассматривать соответственно как первый, третий и девятый члены арифметической прогрессии. Найдите наибольшее из чисел, если их сумма равна 91


    Решение: An - члены арифметической прогрессии
    Bn - члены геометрической прогрессии
    A₁+A₃+A₉=91
    A₁+(A₁+2d)+(A₁+8d)=91
    3A₁+10d=91
    3A₁=91-10d
    A₁=91-10d
      3
    A₁=B₁
    A₃=B₂=B₁q=A₁q
    A₉=B₃=B₁q²=A₁q²
    A₃=A₁q
    A₁+2d=A₁q
    A₉=A₁q²
    A₁+8d=A₁q²
    {A₁q=A₁+2d
    {A₁q²=A₁+8d
    q=A₁+2d
      A₁
    A₁ (A₁+2d)² = A₁+8d
      A₁²
    (A₁+2d)² = A₁+8d
      A₁
    (A₁+2d)²=A₁(A₁+8d)
    A₁²+4A₁d+4d²=A₁²+8A₁d
    A₁²-A₁²+4A₁d-8A₁d+4d²=0
    -4A₁d+4d²=0
    -4d(A₁-d)=0
    -4d=0 A₁-d=0
    d=0 A₁=d
    не подходит
    91-10d = d
      3
    91-10d=3d
    -10d-3d=-91
    -13d=-91
    d=7
    A₁=7
    A₃=7+2*7=7+14=21
    A₉=7+8*7=7+56=63
    7; 21; 63 - геометрическая прогрессия
    63 - наибольшее число
    Ответ: 63.

  • Могут ли числа 1) √2; √3;√5; 2)√5-√2; 1; \( \frac{1+4 \sqrt{2} }{ \sqrt{5+ \sqrt{2} }+2 } \)
    , быть членами арифметической прогрессии?
    Сумма трех чисел образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Если к этим числам соответственно прибавить 1, 4 и 19, то полученные числа составят первые три члена геометрической прогрессии. Найдите данные три числа.
    Докажите, что для арифметической прогрессии {an} верно равенство\( \frac{Sn-Sk}{Sn+k} = \frac{n-k}{n+k} \) при d=2a1


    Решение: 1. Если эти числа бы являлись членами арифметической прогрессии то выполнялось бы равенство 
    $$ \sqrt{3}-\sqrt{2} eq \sqrt{5}-\sqrt{3} $$ следовательно нет 
    $$ 1-(\sqrt{5}-\sqrt{2})=\frac{1+4\sqrt{2}}{\sqrt{5+\sqrt{2}}+2}-1\\ 1-\sqrt{5}+\sqrt{2} eq \frac{1+4\sqrt{2}}{\sqrt{5+\sqrt{2}}+2}-1 $$ не является 
    2. пусть эти числа x;y;z
     $$ x+y+z=15\\ \frac{y+4}{x+1}=\frac{z+19}{y+4}\\ y-x=z-y \\\\ 2y=z+x\\ 3y=15\\ y=5\\ \\ \frac{9}{x+1}=\frac{z+19}{9}\\ x+z=10\\ \\ \frac{9}{11-z}=\frac{z+19}{9}\\ (z+19)(11-z)=81\\ 11z-z^2+19*11-19z=81 \\ -z^2-8z+128=0\\ z=8\\ x=2\\ $$
    числа 2;5;8
    3. Возможно вы имели там ввиду $$ S_{n}+S_{k} $$ так как не имеет смысла
    $$ S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)d}{2}*n\\ S_{n}=\frac{d*n^2}{2}\\ \\ S_{k}=\frac{2a_{1}+(k-1)d}{2}*k\\ S_{k}=\frac{d+kd-d}{2}*k=\frac{dk^2}{2}\\ \\ S_{n}-S_{k}=\frac{dn^2-dk^2}{2}\\ S_{n}+S_{k}=\frac{dn^2+dk^2}{2}\\ \\ \frac{n^2-k^2}{n^2+k^2} $$ справедливо только такое соотношение  

  • Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение а(второе)*а(девятое) равно 147. Найти прогрессию, если она является возрастающей.


    Решение: S10 = (a1 + a10) / 2 * 10 = 140

    a1 + a10 = 28

    a2 * a9 = 147

    Решаем:

    a10 = a1 + 9k; a2 = a1 + k; a9 = a1 + 8k

    a1 + a1 + 9k = 28; a1 = 14 - 4,5k

    (a1 + k) * (a1 + 8k) = 147

    (14 - 4,5k + k) * (14 - 4,5k + 8k) = 147

    (14 - 3,5k) * (14 + 3,5k) = 147

    196 - 12,25k^2 = 147

    k = 2 или k = -2 (второй корень отбрасываем, так как прогрессия возрастает)

    a1 = 14 - 4,5k = 14 - 4,5 * 2 = 5

  • Сумма первых 13 членов арифметической прогрессии равна 130. Известно, что четвёртый, десятый и седьмой члены этой прогрессии, взятые в указанном порядке, представляют собой три последовательных члена геометрической прогрессии. Найти первый член арифметической прогрессии, если известно, что он меньше 50.


    Решение: Члены арифметической прогрессии обозначим An, геометрической Bn. 
    Тогда имеем:
    13A1+78d=130(из формулы суммы первых членов арифметической прогрессии Sn=((2A1+d(n-1))/2)*n), что равносильно
    A1+6d=10
    A4=A1+3d=B1 
    A10=A1+9d=B1*q
    A7=A1+6d=B1*q^2
    B1*q^2=10
    B1+3d=10
    B1+6d=B1*q
    B1=10/q^2(Выражаем B1 из первого уравнения)
    B1=10-3d(Выражаем B1 из второго уравнения)
    3d=10-B1(теперь 3d из второго)
    3d=10-10/q^2(подставляем сюда значение B1 из первого)
    10+3d=10/q(подставляем вместо B1 соответственно 10-3d и 10/q^2)
    10+10-10/q^2=10/q
    20-10/q^2-10/q=0
    20q^2-10q-10=0
    2q^2-q-1=0
    D=1+8=9
    q1=(1-3)/4=-1/2
    q2=(1+3)/4=1
    Зная q, можно найти все остальное:
    B1*q^2=10
    B1=10/q^2
    3d=10-B1
    Для q=-1/2 B1=40, 3d=10-40=-30, d=-10
    Для q=1 B1=10, 3d=10-B1=0, d=0.
    Так как нам известно что первый член арифметической прогрессии не равен второму, то корень q=1 не подходит (так как d=0). Значит, d=-10.
    Найдем A1.
    A1+3d=B1
    A1-30=40
    A1=70.
    Ответ: A1=70.

<< < 212223 24 25 > >>