прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 29

  • Сумма первого и четвертого членов арифметической прогрессий равна 2, а ее 5 член больше третьего на 4. Найдите сумму 10 ее первых


    Решение: первый член  А, четвёртый А+3Х, пятый А+4х, третий А+2х
    получаем  уравнения :
    А+А+3х=2
    А+4х=А+2х+4
    из  второго  получаем, что 2х=4, х=2
    первый член  А=-2
    подставляем в формулу суммы прогрессии
    (А1+А10)*10/2=(-2+-2+9*2)*10/2=70

    Первый член прогрессии=А

    Третий=А+2х 

    Четвертый=А+3х

    Пятый=А+4х

    А+А+3х=2

    А+4х=А+2х+4

    2х=4

    х=2

    А=2

    (А1+А10)*10/2=70 

  • Сумма восьмого и шестого членов арифметической прогрессии равна 16, а проиведение второго и двенадцатого равно -36. Найдите раность и первый член прогрессии


    Решение: {a₈+a₆=16
    {a₂ * a₁₂= -36
    a₈=a₁+7d
    a₆=a₁+5d
    a₂=a₁+d
    a₁₂=a₁+11d
    {a₁+7d+a₁+5d=16
    {(a₁+d)*(a₁+11d)= -36
    {2a₁+12d=16
    {a₁² + a₁d+11a₁d+11d²= -36
    {a₁+6d=8
    {a₁² + 12a₁d + 11d² = -36
    a₁=8-6d
    (8-6d)² + 12d(8-6d)+11d²= -36
    64-96d+36d²+96d-72d²+11d²= -36
    -25d²= -36-64
    -25d²= -100
    d² = 4
    d₁=2 
    d₂= -2
    При d=2
    a₁=8-6*2= 8-12= -4
    При d= -2
    a₁=8-6*(-2)=8+12=20
    Ответ: a₁=20 d= -2;
      a₁= -4 d=2

  • Сумма 5 и 13 членов арифметической прогрессии равна 10. найдите сумму первых 17 ее членов.


    Решение: А5+а13=10
    а5=а1+4d
    a13=a1+12d
    a5+a13=2*a1+16*d
    S17=(2*a1+16*d)*17/2=(a5+a13)*17/2=10*17/2=85

    А а а а da a da a a dS a d a a...

  • Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 4, а произведение этих же чисел равно -32. Найдите третий член прогрессии.


    Решение: A₅ = a₁ + d(5 - 1) =  a₁ + 4d.
    По первому условию:
     a₁ + a₁ + 4d = 4, 
    2a₁ + 4d = 4.
    a₁ + 2d = 2. Отсюда a₁ = 2 - 2d.
    По второму условию:
    a₁ * (a₁ + 4d) = -32.
    Заменим a₁ на 2 - 2d:
    (2 - 2d)(2 - 2d + 4d) = -32,
    (2 - 2d)(2 + 2d) = -32,
    4 - 4d² = -32 сократим на 4,
    1 - d² = -8,
    d² = 1 + 8 = 9,
    d = √9 = +-3. Примем первое значение d = 3. 
    a₁ = 2 - 2*3 = 2 - 6 = -4,
    a₅ = a₁ + 4d = -4 + 4*3 = -4 + 12 = 8.
    Проверяем условие: а₁ + а₅ = -4 + 8 = 4,
    а₁*а₅ = (-4)*8 = -32.
    Примем второе значение d = -3. 
    a₁ = 2 - 2*(-3) = 2 + 6 = 8,
    a₅ = a₁ + 4d = 8 + 4*(-3) = 8 - 12 = -4.
    Проверяем условие: а₁ + а₅ = 8 - 4 = 4,
    а₁*а₅ = 8*(-4) = -32.
    Оба варианта верны, значит задача имеет два варианта ответа.
    Третий член прогрессии равен:
    по первому варианту:
    a₃ = a₁ + d(3 - 1) =  a₁ + 2d
    а₃ = -4 + 2*3 = -4 + 6 = 2.
    По второму варианту:
    а₃ = 8 +2*(-3) = 8 - 6 = 2.
    В обоих вариантах значения третьего члена прогрессии совпадают.

  • Сумма ста тридцати первых членов арифметической прогрессии равна сумме ее первых восьмидесяти членов. найдите сумму первых двухсот десяти членов этой прогрессии.


    Решение: Рассмотрим общий случай

    Sn=(2a1+d(n-1))*n/2

    Sk=(2a1+d(k-1))*k/2

    (2a1+(n-1)d)*n/2=(2a1+(k-1)d)*k/2

    2a1(n-k)=k(k-1)d-n(n-1)d

    a1=d(k^2-k-n^2+n)/2(n-k)

    a1=d(-(n^2-k^2)+n-k)/2(n-k)

    a1=d(-n-k+1)/2

    a1=-d(n+k-1)/2

    S_(n+k)=(2a1+d(n+k-1))(n+k)/2

    d(n+k-1)=-2a1

    S_(n+k)=(2a1-2a1))(n+k)/2=0

    Т. е. мы доказали, что для любых n и k, если сумма n первых членов прогрессии равна сумме k первых членов прогрессии, сумма n+k первых членов прогрессии всегда равна 0.

    Значит S210=0.

    100a1=d(6400-80-16900+130)

    100a1=-10450d

    a1=-104,5d

    S210=(2a1+d(210-1))*210/2=420a1+21945d=-(43890+21945)d=-21945d

    S130=(-209d+129d)130/2=-80d*65=-5200d

    S80=(-209d+79d)*40=-130d*40=

<< < 272829 30 31 > >>