прогрессия »
сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 30
Сумма второго и двадцатого членов арифметической прогрессии равна 10, а произведение этих членов равно 1519/64. Найти сумму первых 16 членов этой прогрессии.
Решение: $$ a_2+a_{20}=10, a_2\cdot a_{20}=1519/64 $$$$ a_2^2-10a_2+1519/64=0 $$
$$ 64a_2^2-640a_2+1519=0 $$
$$ (8a_2)^2-80(8a_2)+1519=0 $$
$$ D/4=40^2-1519=1600-1519=81 $$
$$ 8a_2=40\pm 9 $$
$$ a_2=49/8;31/8 $$
$$ (a_2,a_{20})=(49/8,31/8)\text{ or }(31/8,49/8) $$
1) $$ (a_2,a_{20})=(49/8,31/8) $$
\(d=(31/8-49/8)/18=-1/8 \\ a_1=a_2-d=50/8=25/4 \\ S_{16}=\dfrac{(2a_1+15d)\cdot16}{2}=(100/8-15/8)\cdot8=85\)
2) \( (a_2,a_{20})=(31/8,49/8) \\ d=1/8 \\ a_1=30/8=15/4 \\ S_{16}=(60/8+15/8)\cdot8=75\)
Ответ. 75 или 85.
Сумма пятого и девятого членов арифметической прогрессии равна 12.
Найдите сумму тринадцати первых членов этой прогрессии.
Решение: $$ a_5+a_9=12 $$
$$ a_n=a_1+(n-1)*d $$
$$ a_5=a_1+(5-1)d=a_1+4d $$
$$ a_9=a_1+(9-1)d=a_1+8d $$
$$ (a_1+4d)+(a_1+8d)=12 $$
$$ a_1+4d+a_1+8d=12 $$
$$ 2a_1+12d=12 $$
$$ a_1+6d=6 $$
-
$$ S_n=\frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n $$
$$ S_{13}=\frac{2a_1+(13-1)*d}{2}*13=(a_1+6d)*13=6*13=78 $$
ответ: 78
В арифметической прогрессии седьмой член в три раза больше второго, а
сумма первых шести членов равна 48. Найти сумму членов с пятого по
восемнадцатый включительно.
Знаю, что ответ 336
Решение: A₇=3a₂
a₁+6d=3(a₁+d)
a₁+6d=3a₁+3d
6d-3d=3a₁-a₁
3d=2a₁
d=²/₃ a₁
S₆=((a₁+a₆)/2)*6=3(a₁+a₆)=3(a₁+a₁+5d)=3(2a₁+5d)
48=3(2a₁+5d)
2a₁+5d=48:3
2a₁+5d=16
2a₁+5 * ²/₃ a₁=16
⁶/₃ a₁ + ¹⁰/₃ a₁=16
¹⁶/₃ a₁=16
a₁= 16 : ¹⁶/₃
a₁= 16 * ³/₁₆
a₁=3
d= ²/₃ a₁= ²/₃ * 3=2
a₅=a₁+4d=3+4*2=3+8=11
a₁₈=a₁+17d=3+17*2=3+34=37
В арифметической прогрессии с а₅ по а₁₈ включительно всего 14 членов.
S₅₋₁₈=((a₅+a₁₈)/2) * 14=7(11+37)=7*48=336
Ответ: 336.Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 18, а произведение второго и третьего ее членов равно 21. Запишите первые пять членов этой
прогрессии, если известно, что третий ее член-положительное число.
Решение: а- первый член прогрессии, d - разность прогрессии а2+а5=а+d+а+4d=2a+5da2*a3=(a+d)(a+2d)=a^2+da+2da+2d^2 Получаем систему уравнений:2a+5d=18a^2+3ad+2d^2=21 Выразим из первого уравнения а:a=(18-5d)/2=9-2,5d Подставим во второе уравнение:(9-2,5d)(9-2,5d)+3(9-2,5d)d+2d^2-21=0 Когда раскроем все скобки и сведем все члены, получим квадр. уравнение вида:0,75d^2-18d+60=0 Решив это уравнение, получим 2 корня d=20 и d=4d=20 - не подходит, т. к. получается, что второй член не является натуральным числом (-21), что противоречит условию. Подставим d=4 в первое уравнение:2а+20=182а=-2а=-1 Ответ: а1=-1, d=4.Арифметическая прогрессия
Сумма первых 12-ти членов арифметической прогрессии {an} равна 372. Найдите a9, если a4=21.
Решение: Решение:
Дано:
S12=372
a4=21
Найти: а9
Для решения воспользуемся двумя формулами арифметической прогрессии:
Sn=(a1+an)*n/2 (1)
an=a1+d*(n-1) (2)
372=(a1+a12)*12/2
а12=а1+d*(12-1)
а12=a1+11d
372=(a1+a1+11d)*6
372=(2а1+11d)*6 (1)
21=a1+d*(4-1)
21=a1+3d (2)
Решим получившуюся систему уравнений:
372=(2a1+11d)*6
21=a1+3d
Найдём из второго уравнения (а1) и подставим его значение в первое уравнение:
а1=21-3d
372=[2*(21-3d)+11d]*6
372=(42-6d+11d)*6
372=(42+5d)*6 Сократим левую и правую части уравнения на 6
62=42+5d
5d=62-42
5d=20
d=20 : 5
d=4
Найдём значение (а1), подставив значение d=4 в 21=a1+3d
21=a1+3*4
21=a1+12
a1=21-12
a1=9
Найдём значение а9
а9=a1+d*(9-1)
a9=9+4*8
a9=9+32
a9=41
Ответ: а9=41
$$ S_{12}=\frac{2a_1+11d}2\cdot 12=372\\a_4=a_1+3d\Rightarrow a_1=a_4-3d=21-3d\\\frac{42-6d+11d}2\cdot12=372\\42+5d=62\\5d=20\\d=4\\a_1=21-3\cdot4=21-12=9\\a_9=a_1+8d=9+8\cdot4=9+32=41 $$
