прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 32

  • Известно, что сумма первого, второго и шестого членов арифметической прогрессии равна 36. Найдите сумму второго и четвертого членов этой прогрессии.


    Решение: С=, где n! = 1 2 3 ::. (n-2)(n-1)n (читается n-факториал). Отметим некоторые свойства числа сочетаний: С= С; С= С= 1; С= С + С, где n, r >1 (рис. № 3) Рассмотрим пример: Сколько различных двузначных чисел можно составить из данных 5 цифр:1,2,3,4,5. Решение: Данные цифры - это множество, состоящее из 5 элементов. Составить двузначные числа - это значит найти все подмножества из двух элементов, то есть сочетания из 5 по 2. Их число посчитаем по формуле С= = =10

  • Сумма первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 14, а произведение второго и четвертого ее членов равно 45. Найдите шестой член этой прогрессии.
    Как я понимаю нужно составить такую систему, но как её решить?
    \( \left \{ {{a1+a5=14} \atop {a2*a4=45}} \right. \)


    Решение: Пусть d - знаменатель прогрессии, тогда a5=a1+4d, a2=a1+d, a4=a1+3d. Тогда a1+a5=2a1+4d=14, (a1+d)(a1+3d)=45. Из первого уравнения находим a1=7-2d. Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем квадратное уравнение 49-d^2=45, откуда d=2 либо d=-2. Так как по условию прогрессия возрастает, то d=2 и a1=3. Тогда a6=a1+5d=3+5*2=13 

  • Найдите сумму первых семи членов арифметической прогрессии, произведение третьего и пятого членов которой равны второму члену, а сумма первого и восьмого членов равна 2.


    Решение: $$ S_7-\\\\ \left \{ {{a_3*a_5=a_2} \atop {a_1+a_8=2}} \right.\\\\ \left \{ {{(a_1+2d)(a_1+4d)=a_1+d} \atop {a_1+a_1+7d=2}} \right.\\\\ a_1+a_1+7d=2\\2a_1+7d=2\\2a_1=2-7d\\a_1=1-3,5d\\\\(1-3,5d+2d)(1-3,5d+4d)=1-3,5d+d\\(1-1,5d)(1=0,5d)=1-2,5d\\1-1,5d+0,5d-0,75d^2=1-2,5d\\-d-0,75d^2=-2,5d\\0,75d^2-1,5d=0\\d(0,75d-1,5)=0\\d eq 0\\0,75d-1,5=0\\0,75d=1,5\\d=1,5:0,75\\d=2\\\\a_1=1-3,5*2=1-7=-6 $$
    $$ a_7=a_1+6d=-6+6*2=-6+12=6\\\\S_7= \frac{a_1+a_7}{2}*7= \frac{-6+6}{2}*7=0*7=0 $$

  • 1. Найти сумму первых семи членов арифметической прогрессии, произведение третьего и пятого членов которой равно второму члену, а сумма первого и восьмого членов равна 2.
    2. В геометрической прогрессии b5+b2-b4=66; b6+b3-b5=-132. Найти b15
    3. Число членов геометрической прогрессии чётное. Сумма всех её членов в три раза больше суммы членов, которые находятся на нечётных местах. Найти знаменатель прогрессии.


    Решение: 1) а3·а5 = а2
      а1 + а8 = 2
    S7-
    (а1+ 2d)(a1 +4d) = a1 +d a1² + 6a1d + 8d² = a1 +d
    a1 + a1 +7d = 2 2a1 +7d = 2⇒
    Делаем подстановку: а1 = (1 - 3,5d)
    (1 - 3,5d)² + 7·(1 - 3,5d)·d + 8d² = 1 -3,5d +d
    1 - 7d + 12,25d² +7d - 24,5d = 1 -3,5d + d
    1 - 7d + 12,25d² +7d - 24,5d - 1 + 3,5d - d=0
    12,25 d² -21d = 0|: d≠0
    12,25d = 21
    d = 21/12,25
    d = 1 5/7
    а1 = 1-3,5·1 5/7 = 1 - 6 = -5
    S7 = (2a1 +6d)·7/2= (a1 +3d)·7 = (-5 + 36/7)·7= -35 +36 = 1
    2) b1q^4 + b1q - b1q^3 = 66
      b1q^5 + b1q^2 - b1q^4 = -132 

  • Сумма первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 14, а произведение второго и четвёртого её членов равно 45. Найдите шестой член этой прогрессии.


    Решение: А1+а5=14 а1+а1+4d=14
    а2*а4=45 2а1+4d=14 (:2)
    а6 - а1+2d=7
      а1=7-2d
     
    (а1+d)(а1+3d)=45
      (7-2d+d)(7-2d+3d)=45
      (7-d)(7+d)=45
      49-d²=45 d²=4 d=+/-2 d1=2 d2=-2 не имеет смысла, так как арифметическая прогрессия возрастающая
      d=2 а1=7-2d а1=7-2*2=3
      а6=а1+5d=3+5*2=13
      Ответ: а6=13

<< < 303132 33 34 > >>