сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 33
Сумма четвертого, восьмого, двенадцатого и шестнадцатого членов арифметической прогрессии равна 400. Найдите сумму первых 19 членов.
Решение: пусть 4 член а. п. = х, а разность а. п = d, тогда,
х+(х+4d)+(х+8d)+(х+12d)=400
4х+24d=400 | :4
x+6d=100
возьмем d = 2, тогда х = 88
возьмем d = 3, тогда х = 82
в любом случае самму будет одинаковой, поэтому
так как х-4 член, то первый будет равен 1) 82 и разность а. п. = 2
2) 73 и разность а. п = 3
S19=(2a1+(n-1)d)*n = (2*82+(19-1)*2)*19 =1900
2 2
Ответ: S19=1900Сумма четвертого, восьмого, двенадцатого и шестнадцатого членов арифметической прогрессии равна 400. Найдите сумму первых 19 членов.
Решение: пусть 4 член а. п. = х, а разность а. п = d, тогда,х+(х+4d)+(х+8d)+(х+12d)=400
4х+24d=400 | :4
x+6d=100
возьмем d = 2, тогда х = 88
возьмем d = 3, тогда х = 82
в любом случае самму будет одинаковой, поэтому
так как х-4 член, то первый будет равен 1) 82 и разность а. п. = 2
2) 73 и разность а. п = 3
S19=(2a1+(n-1)d)*n = (2*82+(19-1)*2)*19 =1900
2 2
Ответ: S19=1900
Сумма трех чисел, составляющих возрастающую геометрическую прогрессию, равна 70, а если из них вычесть соответственно 2, 8 и 24, то вновь полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии. а) 50940 б) 45090 в)40950 г)5940
Решение: Из условия следует следующая система:b1(1+q+q^2) = 70
(b1q - 8) - (b1-2)= (b1q^2 - 24) - (b1q - 8)
b1(1+q+q^2) = 70
b1 = 10/(q^2-2q+1) Подставим в первое:
Получим:
2q^2 - 5q + 2 = 0 Корни: 1/2 (не подходит по условию возрастания) и 2.
q = 2 b1 = 10
Тогда арифметич. прогрессия имеет вид:
8, 12, 16.
а1 = 8, d = 4.
S12 = (2a1 +d(n-1))*n/2 = (16 + 44)*6 = 360
Ответ: 360. (не понимаю приведенных вариантов ответа?)
Возможно требовалось найти сумму 12 членов геометрической прогрессии.
Тогда:
S12 = [b1(1-q^12)] / (1-q) = (10*(-4095)) / (-1) = 40950
Сумма трех чисел, составляющих возрастающую геометрическую прогрессию, равна 70, а если из них вычесть соответственно 2, 8 и 24, то вновь полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии
Решение: Из условия получим систему для нахождения b1 = b и q:b(1 + q + q^2) = 70 b(1 + q + q^2) = 70
(bq - 8) - (b - 2) = (bq^2 - 24) - (bq - 8) b(1 - 2q + q^2) = 10
Разделим первое на второе:
(1 + q + q^2)/(1 - 2q + q^2) = 7
Умножив на знаменатель и приведя подобные члены, получим:
2q^2 - 5q + 2 = 0 D = 9 q1 = 0,5 - не подходит(прогрессия должна быть возрастающей); q2 = 2 тогда b = 10.
Теперь пользуясь условием, получим арифметическую прогрессию:
8, 12, 16, а1 = 8, d = 4.
Тогда сумма первых 12 членов:
S12 = [2a1 + d(n-1)]*n/2 = [16 + 44]*6 = 360.
Ответ: 360.
из условий задачи имеем систему уравнений
x+xq +xq^2=70 (1)
(x-2)+(xq^2-24)=2(xq-8) => x-2xq+xq^2=10 (2)
из уравнения (1) вычтем (2), получим
3xq+60 =>xq=20 => x=20/q
Подставим это значение в (1)
(20/q))*(1+q+q^2)=70
20+20q+20q^2=70q
20q^2-50q+20=0
2q^2-5q+2=0
D=b^2-4ac=25-16=9
q=(-b±sqrt(D))/2a
q1=(5+3)/4=2
q2=(5-3)/4=0,5 - побочное решение, так как прогрессия возрастает
Итак q=2, тогда
x=20/q=20/2=10
то есть члены арифметическая прогрессии:
(x-2)=8
xq-8=12
xq^2-24=16
для арифметической прогрессии a1=8, d=4
S12=(2a1+d(n-1)*n/2=(2*8+4(12-1)*12/2=(16+44)*6= 360
Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогресси равна 15. Если от первых двух членов отнять по единице, а к третьему члену прибавить единицу то прогрессия станет геометрической. Найти сумму первых десяти членов Арифметической прогрессии.
Решение: A1+a1+d+a1+2d=3a1+3d=15⇒a1+d=5 ⇒ d=5-a1 (1)
По свойству геом. прогрессии b2²=b1*b3:
(a2-1)²=(a1-1)(a3+1)
(a1+d-1)²=(a1-1)(a1+2d+1)
(a1+5-a1-1)²=(a1-1)(a1+10-2a1+1)
16=(a1-1)(11-a1)=11*a1-11-a1²+a1
a1²-12*a1+27=0 По т. Виета корни а1=3 и а1=9
d=5-3=2 или d=5-9=-4 не подходит так как прогрессия возрастающая
итак, a1=3 d=2
S10=(2a1+d*9)*10/2=(6+18)*5=24*5=120
