прогрессия »
сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 34
Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15. Если от первых двух членов отнять по единице, а к третьему члену прибавить единицу то прогрессия станет геометрической. Найти сумму первых десяти членов Арифметической прогрессии.
Решение: Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 15, значит:
$$ a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=15 \\\ 3a_1+3d=15 \\\ a_1+d=5 \\\ \Rightarrow d=5-a_1 $$
По свойству геометрической прогрессии $$ b_n^2=b_{n-1}b_{n+1} $$:
$$ (a_1+d-1)^2=(a_1-1)(a_1+2d+1) \\\ (a_1+5-a_1-1)^2=(a_1-1)(a_1+2(5-a_1)+1) \\\ 4^2=(a_1-1)(a_1+10-2a_1+1) \\\ 16=(a_1-1)(11-a_1) \\\ 16=11a_1-11-a_1^2+a_1 \\\ a_1^2-12a_1+27=0 \\\ D_1=6^2-27=9 \\\ (a_1)_1=6+3=9 \Rightarrow d_1 eq 5-9=-4\ < 0 \\\ (a_1)_2=6-3=3 \Rightarrow d_2=5-3=2 $$
Так как прогрессия возрастающая, то вариант с d=-4 не подходит.
Находим сумму первых 10 членов арифметической прогрессии:
$$ S_{n}= \frac{2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n \\\ S_{10}= \frac{2a_1+9d}{2} \cdot 10=\frac{2\cdot 3+9\cdot2}{2} \cdot 10=120 $$
Ответ: 120
Сумма первых трех членов конечной арифметической прогрес- сии равна 3, а последних трех членов равна 111. Сумма всех членов данной прогрессии равна 285. Найдите число членов прогрессии.
Решение: Сумма первых трех членов конечной арифметической прогрессии равна 3, т. е. а₁+(a₁+d)+(a₁+2d)=3, где a₁ - первый член прогрессии, d - разность арифметической прогрессии, 3a₁+3d=3, a₁+d=1, a₁=1-d
Сумма последних трех членов равна 111, т. е. $$ a_{n}+ a_{n-1}+ a_{n-2} $$=a₁+d(n-1)+a₁+d(n-2)+a₁+d(n-3)=3(a₁+dn-2d)
по условию 3(a₁+dn-2d)=111, т. е.a₁+dn-2d=37, при a₁=1-d имеем, что 1-d+dn-2d=37, dn-3d=36
Сумма всех членов данной прогрессии равна 285, 1/2(2a₁+d(n-1))n=285 (2a₁+d(n-1))n=570, подставим выражение вместо a₁, a₁=1-d
получим (2-2d+dn-d)n=570, (dn-3d+2)n=570, но ранее получили, что dn-3d=36, тогда (36+2)n=570, n=570/38, n=15
ответ: 15
В арифметической прогрессии сумма первого и шестого члена равна 11, а сумма второго и четвёртого члена равна 10. найдите сумму первых шести членов этой прогрессии
Решение: S6=2a1+5d/2*n1) распишем ф-лы каждого члена для удобства:
a1=a1
a6=a1+5d
a2=a1+d
a4=a1+3d
2) составим систему:
a1+a1+5d=11 => 2a1+5d=11
a1+d+a1+3d=10 => 2a1+4d=10
3) возьмем одно из уравнений для выведения ф-лы a1:
2a1+4d=10 все разделим на 2
a1+2d=5
a1=5-2d
4) подставим во вторую ф-лю a1:
2a1+5d=11
2(5-2d)+5d=11
10-4d+5d=11
d=1
5) a1=5-2*1=5-2=3
6) S6=2*3+5*1 =33
2 и все умножить на 6 (по ф-ле S6)
Ответ: 331) Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии, для которой :A1=6,A10=33.
A)420
B)315
C)405
D)345
E)435
2) Найдите площадь правильного треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 5см
3) Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 10 см
4) Найдите значение выражения :
sin200* +sin20*
5) сторона квадрата равна 4. Найдите радиус описанной окружности
Решение: 1) d = (a10 - a1)/9 = 3
S15 = ((2×6 + 14×3)/2)×15 = 27×15 = 405
Ответ: С
2) S = pr = 3(2√3r)r = 6√3r² = 6√3×25 = 150√3 см²
Ответ: 150√3 см²
3) R = c/2 = 5
Ответ: 5
4) sin200° + sin20° = sin(180° + 20°) + sin20° = -sin20° + sin20° = 0
Ответ: 0
5) R = d/2 (d - диагональ)
d = a√2 (a - сторона квадрата)
R = (a√2)/2 = 2√2
Ответ: 2√21) С
2)150v3 cm^2
3) 5
4) 0
5) 2v21. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии 5; 2; -1;.
2. Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отплыл,
если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
Решение: $$ 5;2;-1;.\\\\d=2-5=-3\\\\S_{10}= \frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n = \frac{10-27}{2} \cdot 10=-85 $$
2) Пусть расстояние = х. Тогда время, затраченное на то, чтобы добраться к месту рыбалки, равно t=S/V=S/(V(лодки)-V(течения))=x/(6-2)=x/4.
Время на обратный путь равно S/(Vл+Vт)= x/(6+2)=x/8.
Всего времени затрачен 10-5=5 часов.
$$ \frac{x}{4}+\frac{x}{8}+2=5\\\\\frac{3x}{8}=3\\\\x=8 $$
