прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 51

  • Произведение первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии с положительными членами равно 64, а их же среднее арифметическое – 14/3. Найти сумму первых пяти членов прогрессии


    Решение: A) b₁*b₂*b₃ = 64, ⇒b₁*b₁q * b₁q² = 64, ⇒(b₁q)³= 64, ⇒ b₁q = 4
    б) (b₁ + b₂ + b₃)/3 = 14/3, ⇒b₁ + b₂ + b₃ = 14, ⇒b₁ + b₁q + b₁q² = 14,⇒
    ⇒b₁ + b₁q² = 10
    Получили систему двух уравнений с 2-мя переменными:
     b₁q = 4
    b₁ + b₁q² = 10
    решаем:
    b₁ + b₁q*q = 10, ⇒ b₁ + 4q =  10, ⇒b₁ = 10 - 4q
    Это наша подстановка.
    подставим в 1-е уравнение.
     b₁q = 4, ⇒ (10 - 4q)*q = 4, ⇒ 10q -4q² = 4, ⇒ 4q² -10q +4 = 0,⇒
    ⇒ 2q² -5q +2 = 0. Решаем D = 25 -16 = 9
     q = (5 +-3)/4
    q₁= 2, q₁= 1/2
    а) q₁= 2, ⇒b₁ = 10 - 4q = 10 - 8 = 2, S₅ = b₁(q⁵-1)/(q -1) = 2*31+1 = 62
    б) q₂ = 1/2, ⇒b₁ = 10 -4q = 10 - 4*1/2 = 8, S₅ = 8(1/32 - 1)/(-1/2) = 15,5

  • Найти сумму 19 первых членов арифметической прогрессии a1, a2, a3, если известно, что a4 + a8 + a12 + a16 = 224.


    Решение: Согласно формуле общего члена арифметической прогрессии an = a1 + d(n - 1). Тогда имеем:
    a1 + d(4 - 1) + a1 + d(8 - 1) + a1 + d(12 - 1) + a1 + d(16 - 1) = 224
    4a1 + 36d = 224
    a1 + 9d = 56
    a1 = 56 - 9d
    По формуле суммы арифметической прогрессии
    S19 = (a1 + a19) / 2 * 19 = (2a1 + 18d) / 2 * 19 = (a1 + 9d) * 19 = (56 - 9d + 9d) * 19 = 1064.

    Исходя из формулы an = a1 + d(n - 1 ). мы получим:
    a1 + d(4 - 1) + a1 + d(8 - 1) + a1 + d(12 - 1) + a1 + d(16 - 1) = 224
    4a1 + 36d = 224
    a1 + 9d = 56
    a1 = 56 - 9d
     Исходя из формулы арифметической прогрессии следует что:
    S19 = (a1 + a19) / 2 * 19 = (2a1 + 18d) / 2 * 19 = (a1 + 9d) * 19 = (56 - 9d + 9d) * 19 = 1064.
    Ответ:1064

  • Найти сумму первых шести членов арифметической прогрессии, если выполняется

    a5=10-a4 и a6=8


    Решение: a_5 = 10 - a_4,    a_6 = 8    -   арифметическая   прогрессия.

    {a_6 = a_5 + d     {8 = 10 - a_4 + d         {  d = a_4 - 2     ->  d = 4 - 2       ->  d = 2

    {a_5 = a_4 + d     {10 - a_4 = a_4 + d     {10 - a_4 = a_4 + a_4 - 2        {3a_4 = 12   -> a_4 = 4

    a_4 = a_1 + 3d    ->  a_1  = a_4 - 3d     ->   a_1 = 4 - 3*2        ->   a_1  =  -2

    S_6  =  (a_1  +  a_6) * 6 / 2  =  (-2  +  8) * 3  =  6 * 3  =  18

    Ответ.         18

  • . Найти сумму первых 20 членов арифметической прогрессии если
    а5=14, а10 = 29.


    Решение: Распишем a₅ и а₁₀:
    a₅=a₁+4·d;

    a₁₀=a₁+9·d;

    Составим систему уравнений:

    a₁+4·d=14

    a₁+9·d=29

    _________

    Вычтем из одного другое:
    -5d=-15

    d=3

    Тогда a₁=14-4·d=14-4·3=14-12=2

    a₂₀=a₁+19·d=2+19·3=57+2=59

    Значит S₂₀=(a₁+a₂₀)/2 * 20 = (2+59)/2 * 20=610

    Ответ: 610.

  • Найти сумму первых 12 членов арифметической прогрессии, если a1=-3, a3*a7=24


    Решение: a_3=a_1+2b

    a_7=a_1+6b

    (a_1+2b)(a_1+6b)=24

    9-6b-18b+12b^{2}=24

    12b^{2}-24b-15=0

    4b^{2}-8b-5=0

    D=64+80=144

    b_1=2.5

    b_2=-0.5

    Для b_1

    -3+5=2

    -3+15=12

    2*12=24

    Для b_2

    -3-1=-4

    -3-3=-6

    -4*(-6)=24

    Имеем 2 разных прогрессии (обе разницы удовлетворяют условию)

    Для b_1

    S_n1 = 12* \frac{2*(-3)+2.5*(12-1)} {2}

    S_n1 = 147

    Для b_2

    S_n2 = 12* \frac{2*(-3)+(-0.5)*(12-1)} {2}

    S_n2 = 27

    Ответа 2: 147; 27

<< < 495051 52 53 > >>