найдите сумму первых членов геометрической прогрессии - страница 6

сумма трех чисел составляющих геометрическую прогрессию равна 35. Если первое число увеличить на 2 второе оставить без изменений, а треть уменьшить на 7, то получится арифметическая прогрессия. Найдите исходные числа.

По условию задачи x+y+z = 35. В то же время, эти числа являются членами геом. прогрессии, т. е. y/x = z/y = q (знаменатель прогрессии). Если первое число увеличить на 2, второе оставить без изменений, а третье уменьшить на 7, то получится арифметическая прогрессия. То есть y-(x+2) = (z-7)-y = d (разнать прогрессии). Получаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

$$ \\\begin{cases}x+y+z=35\\\frac{y}{x}=\frac{z}{y}\\y-(x+2)=(z-7)-y\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}z=35-x-y\\\frac{y}{x}=\frac{35-x-y}{y}\\y-x-2=35-x-y-7-y\end{cases}\Rightarrow\\\begin{cases}z=35-x-y\\\frac{10}{x}=\frac{35-x-10}{10}\\y=10\end{cases}\\\frac{10}{x}=\frac{35-x-10}{10}\\x^2-25x+100=0\\D=625-400=225=15^2\\\begin{matrix}x_1=20,&\quad&x_2=5\end{matrix}\\\begin{cases}z=5\\x=20\\y=10\end{cases};\quad\begin{cases}z=20\\x=5\\y=10\end{cases} $$.

Это либо члены геом. прогрессии 20, 10, 5 со знаменателем 0,5, либо 5, 10, 20 со знаменателем 2.

Сумма трех чисел составляющих геометрическую прогрессию, равна 93. Если из первого числа вычесть 48, а остальное оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Найдите эти числа.

S=((b1.1+b3)/2) *3, или (3) S=b1.1+b2+b3

Сумма арифметической прогрессии равна сумме геометрической прогрессии минус 48
93-48=((b1.1+b3)/2)*3

90=(b1.1+b3)*3

b1.1+b3=30,
из уравнения (3) получим, что b3=b1.1+b2=45, а b2=45-(b1.1+b3)=45-30=15

из ур-я(1) => b1=b2/q, значит сумма геом. прогр. равна:

93=(b2/q)*(1+q+q^2)

93q=b2(1+q+q^2)

15q^2-78q+15=0

q^2-5,2q+1=0

d=27,04-4=23,04

q1,2=(5,2+-4,8)/2

q1=5

q2=0.2

при q=5

b1=15/5=3

b2=15

b3=15*5=75

при q=0,2

b1=15/0,2=75

b2=15

b3=15*0.2=3

Ответ:1)3;15;75 2)75;15;3

Сумма геометрической прогрессии из 3 членов равна:

$$ S=b_{1}\frac{1-q^{3}}{1-q} = b_{1}(1+q+q^{2}) =93 $$ (1)

или 

$$ b_{1}+b_{2}+b_{3} = 93 $$

Обозначим первое число арифметической прогрессии буквой а, тогда:

$$ a = b_{1}-48 $$

Сумма арифметической прогрессии 3 членов равна:

$$ S = \frac{a+b_{3}}{2} \cdot 3 $$

Сумма арифметической прогрессии равна будет сумме геометрической минус 48, раскроем:

$$ 45 \cdot 2 =3 (a+b_{3}) \\ a+ b_{3} = 30 $$

Также сумма арифметической прогрессии равна простой сумме ее членов, т. е.:

$$ a+ b_{2}=b_{3} = 45 $$

Из последних двух уравнений найдем второй член прогрессии:

$$ b_{2} = 45-(a+b_{3}) = 45-30 = 15 $$

Нашли второй член прогрессии, он равен 15. Подставим в (1) уравнение, представив первый член через второй:

$$ \frac{b_{2}}{q}(1+q+q^{2}) = 93 /\cdot q \\ 15+15q+15q^{2}=93q\\ 15q^{2}-78q+15=0 /:15\\ q^{2}-5,2q+1=0\\ D= 27,04-4 = 23,04 \\ q_{1} = (5,2+4,8)/2=5\\ q_{2} = (5,2-4,8)/2=0,2 $$

Получили два знаменателя геометрической прогрессии, через него выразим все числа через второй известный член прогрессии:

$$ 1) b_{1} = 15/5 = 3\\ b_{2} = 15\\ b_{3} = 15\cdot 5 = 75\\ 2) b_{1} = 15/0,2 = 75\\ b_{2} = 15\\ b_{3} = 15\cdot 0,2 = 3 $$

Получили возрастающую и убывающую прогрессии:

1) 3, 15, 75

2) 75, 15, 3

Можно проверить на арифметической прогрессии (вычесть 48 из первого члена) и увидим, что арифметические прогрессии тоже выполняются.

(An)-геом прог, знаменатель прогрессии равен -2, а2=1/2 (ну или 0,5) Найдите сумму первых четырех ее членов

По формуле n члена прогрессии находим первый член:

a2=a1*q^(n-1)

1/2=a1*(-2)^(2-1)

a1=-1/4

Запишем сумму по первому члену прогрессии:

a1+a1*q+a1*q^2+a1*q^3=S

a1*(1+q+q^2+q^3)=S

-1/4*(1+(-2)+(-2)^2+(-2)^3)=S

-1/4*(-5)=S

S=5/4

Проверяем:

S=(a1*(q^n-1))/(q-1)

S=(-1/4*((-2)^4-1))/(-3)

S=5/4

Сумма трёх чисел равна 730, первое число больше второго на 40 и меньше третьего в 1,5 раза. Найдите наименьшее общее кратное этих трёх чисел.

Сумма трёх чисел ровна 730, первое число больше второго на 40 и меньше третьего в 1,5. Найдите наименьшее общее кратное этих 3 чисел.