прогрессия »

в геометрической прогрессии первый член равен - страница 23

  • Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 91. если к этим членам соответственно прибавить 25,27,1, то получим три числа составляющие геометрическую прогрессию. найдите эти три числа.


    Решение: Пусть имеем геометрическую прогрессию, тогда
    b1+b2+b3= $$ b_{1}+b_{1}*q+b_{1}* q^{2}=91 $$

    Пусть получим новую арифметическую прогрессию а1, а2, а3, где
    $$ a_{1}=b_{1}+25, a_{2}= b_{2}+27=b_{1}*q+27, a_{3}=b_{3}+1=b_{1}*q^2+1 $$

    Тогда имеем
    $$ a_{1}+a_{2}+a_{3}=b_{1}+25+b_{1}*q+27+b_{1}*q^2+1=\\=b_{1}+b_{1}*q+b_{1}*q^2+ 53=91+53= 144 $$
    =144
    Или, $$ a_{1}+a_{1}+d+a_{1}+2d=144 $$
    $$ 3a_{1}+3d=144 $$
    $$ a_{1}+d=48 $$
    Т. е. $$ a_{2}=48 $$
    Тогда,$$ b_{2}=48-27=21 $$, $$ b_{1}*q=21, b_{1}= \frac{21}{q} $$
    $$ b_{1}+b_{3}=91-21=70 \\ b_{1}+b_{1}*q^2=70 \\ b_{1}(1+q^2)=70 \\ \frac{21}{q}(1+q^2)=70 $$
    Решая полученное уравнение, имеем:
    $$ q_{1}=3, q_{2}= \frac{1}{3} $$ Тогда, \(b_{1}=7, b_{3}=63.\)
    Итак, искомая прогрессия: \( b_{1}=7, b_{2}=21, b_{3}=63.\)

  • Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 5, сумма следующих ее четырех членов равна 80. Найдите первый член этой прогрессии.


    Решение: $$ \left \{ {{b_1+b_2+b_3+b_4=5} \atop {b_5+b_6+b_7+b_8=80}} \right.\\ \\ \left \{ {{b_1+b_1*q+b_1*q^2+b_1*q^3=5} \atop {b_1*q^4+b_1*q^5+b_1*q^6+b_1*q^7=80}} \right.\\ \\ \left \{ {{b_1(1+q+q^2+q^3)=5} \atop {b_1(q^4+q^5+q^6+q^7)=80}} \right.\\ \\ \left \{ {{b_1=\frac{5}{1+q+q^2+q^3}} \atop {b_1(q^4+q^5+q^6+q^7)=80}} \right.\\ \\ \frac{5}{1+q+q^2+q^3}*(q^4+q^5+q^6+q^7)=80\\ \\ \frac{5}{1+q+q^2+q^3}*\frac{q^4(1+q+q^2+q^3)}{1}=80\\ \\ 5*q^4=80\\ q^4=16\\ q=2\\ \\ $$

    $$ S_4=5\\5=b_1*\frac{1-2^4}{1-2}\\5=b_1*\frac{-15}{-1}\\ 5=15b_1\\ b_1=\frac{5}{15}\\ \\b_1=\frac{1}{3} $$

  • сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 5, сумма следующих ее четырех членов равна 80. найдите первый член этой прогрессии


    Решение: S4 = (b1(q^4-1)) / (q-1) = 5

    S8 = ((b1(q^8-1)) / (q-1 = 80+5=85

    S8/S4= (q^8-1)/(q^4-) = q^4+1 = 85/5=17

    q^4 = 16

    q=±2

    1. q=2

    s4=5=(b1(16-1))/1

    b1=1/3

    2.q=-2

    s4=5= ((b1(16-1)) / (-2-1)

    -15=b1*15

    b1=-1

  • сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 3, сумма следующих 6 членов равна 192. найдите первый член этой прогрессии


    Решение: Исходя из условия задачи, имеем два равенства S6=3, S12=3+192=195. Получим систему уравнений: 

    $$ \left \{ {{\frac{b_1(q^{12}-1)}{q-1}=195} \atop {\frac{b_1(q^{6}-1)}{q-1}=3}} \right. $$

    Разделим первое уравнение на второе: 

    $$ \frac{q^{12}-1}{q^6-1}=65 $$ 

    $$ \frac{(q^{6}-1)(q^6+1)}{q^6-1}=65 $$ 

    $$ q^6+1=65 $$ 

    $$ q^6=64 $$

    q=-2 или q=2

    1) при  q=-2 $$ b_1=\frac{3(-2-1)}{(-2)^6-1}=-\frac{1}{7} $$ 

    2) при q=2 $$ b_1=\frac{3(2-1)}{2^6-1}=\frac{1}{21} $$

    Ответ: -1/7 или 1/21.

  • Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 5, сумма следующих её четырех членов равна 80. Найдите первый член этой прогрессии.


    Решение: По условию составим систему уравненй

    $$ \left \{ {{b_1+b_2+b_3+b_4=5} \atop {b_5+b_6+b_7+b_8=80}} \right. $$ $$ \left \{ {{b_1+b_1q+b_1q^2+b_1q^3=5} \atop {b_1q^4+b_1q^5+b_1q^6+b_1q^7=80}} \right. $$ 

    $$ \left \{ {{b_1(1+q+q^2+q^3)=5} \atop {b_1q^4(1+q+q^2+q^3)=80}} \right. $$

    Разделим второе уравнение на первое

    $$ \left \{ {q^4=16} \atop {b_1(1+q+q^2+q^3)=5} \right. $$

    q=-2 или q=2.

    1) при q=-2 b1=5/(1+2+4+8)=1/3

    2) при q=2 b1=5/(1-2+4-8)=-1.

    Ответ:  при q=-2 b1=1/3;  при q=2 b1=-1. 

<< < 212223 24 25 > >>