прогрессия »

в геометрической прогрессии первый член равен - страница 23

  • Сумма трех членов геометрической прогрессии составляет 63. Если с первого члена вычесть 27, а остальные члены не трогать, выйдет арифм. прогрессия. Найти эти цифры.


    Решение: Запишем сумму трех членов геометрической прогрессии
    и остальные условия
    b+bq+bq^2=63
    b-27+d=bq
    bq+d=bq^2
    d=b (q^2-q)
    b-27+b (q^2-q)=bq
    b-27+bq^2-bq=bq
    b-2bq+bq^2=27
    3bq=63-27
    bq=12
    b+bq^2=27+24
    b+bq^2=51
    b=12/q
    b=51/(q^2+1)
    ОДЗ q <>0 q+1 <>0
    перейдем к уравнению
    12/q=51/(q^2+1)
    12q^2+12-51q=0
    D=2601-4×144
    D=2601-576
    D=2025
    D=45^2
    q=(51-45)/24=0.25
    q=(51+45)/24=4
    найдем члены прогрессии для q=0.25
    b+1/4b+1/16b=63
    21/16b=63
    b=48 первый член геометрической прогрессии
    bq=12 второй член геометрической прогрессии
    bq^2=3 третий член геометрической прогрессии
    d=-9 разность арифметической прогрессии
    найдем члены прогрессии для q=4
    b+4b+16b=63
    21b=63
    b=3 первый член геометрической прогрессии
    bq=12 второй член геометрической прогрессии
    bq^2=48 третий член геометрической прогрессии
    d=36 разность арифметической прогрессии

  • Сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна 30, а сумма следующих четырёх членов 480. Найти сумму первых 12 членов


    Решение: $$ \begin{cases}b_1+b_2+b_3+b_4=30\\b_5+b_6+b_7+b_8=480\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1+b_1q+b_1q^2+b_1q^3=30\\b_1q^4+b_1q^5+b_1q^6+b_1q^7=480\end{cases}\Rightarrow $$
    $$ \Rightarrow\begin{cases}b_1(1+q+q^2+q^3)=30\\b_1q^4(1+q+q^2+q^3)=480\end{cases} $$
    Разделим второе уравнение на первое
    $$ \begin{cases}b_{1}(1+q+q^2+q^3)=30\\ q^4=16\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_{1}(1+q+q^2+q^3)=30\\q^4=\pm 2\end{cases}\\\\S_4=\frac{b_{1}(1-q^4)}{(1-q)} \;q=-2:\\\frac{b_1(1-16)}{1+2}=30\\-15b_1=90\\b_1=-6\\S_{12}=\frac{-6\cdot(1-4096)}{3}=8190\\ \;q=2:\\\frac{b_1(1-16)}{1-2}=30\\-15b_1=-30\\b_1=2\\S_{12}=\frac{2\cdot(1-4096)}{1-2}=8190 $$
    Ответ: 8190.

  • 7 положительных чисел образуют геометрическую прогрессию. Произведение первых двух членов прогрессии равно 2048, а последних равно 2. Найти сумму семи членов прогрессии.


    Решение: 1,2,4,8,16,32,64 Вот сама прогрессия Ответ:127

    Пусть b1, b2, b6, b7 - положительные члены этой прогрессии. Тогда

    $$ \left \{ {{b_1b_2=2048} \atop {b_6b_7=2}} \right. $$

    $$ \left \{ {{(b_1)^2q=2048} \atop {(b_1)^2q^{11}=2}} \right. $$

    Разделим почленно второе уравнение на первое:

    $$ \left \{ q^{10}=\frac{1}{1024} \atop {(b_1)^2q=2048}\right. $$

    $$ \left \{ q=\frac{1}{2} \atop {b_1=\sqrt{4096}}=64\right. $$

    $$ S_7=\frac{b_1(q^7-1)}{q-1}=\frac{2^6(1-2^{-7})}{2^{-1}} $$ = 128-1 = 127

  • Объясните, как делать геометрическую прогрессию. Для примера можно взять: -648; -162; -54;. Найти сумму первых семи её членов.


    Решение: Сначала смотрите на строчку и выписываете из неё члены геом. прогрессии: b1=-648; b2=-162; b3=-54. Чтобы найти сумму геом. прогрессии, нужно: 1) знать её формулу и другие формулы геом. прогрессии; 2) научиться решать.
    Формула суммы членов геом. прогрессии: Sn=b1(1-q^n)/(1-q).
    q - частное (знаменатель) геом. прогрессии; формула: q=b след./b предыд.
    ⇒q=b2/b1=-162/(-648)=1/4=0,25.
    Дальше подставляем данные в формулу суммы членов геом. прогрессии и находим её: S7=-648(1-(1/4)^7)/(1-1/4)=-648(1-1/16384)/(3/4)=(-648*16383/16384)/(3/4)=(-10616184/16384)*(4/3)=-3538728/4096=-863,94727.

  • Доказать, что последовательность 1,⅓,1/9, является геометрической прогрессией, и найти сумму первых пяти её членов


    Решение: .

    Свойство геометрической прогрессии:

    $$ b_{n+1}^2=b_n\cdot b_{n+2}, \\ b_2^2=b_1\cdot b_3, \\ (\frac{1}{3})^2=1\cdot \frac{1}{9}, \\ \frac{1}{9} = \frac{1}{9}. $$

    $$ S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}, \\ S_5=\frac{b_1(1-q^5)}{1-q}, \\ q=\frac{b_n}{b_{n+1}}, \\ q=\frac{b_2}{b_1}, \\ q=\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}, \\ S_5=\frac{1(1-(\frac{1}{3})^5)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{(3^5-1)\cdot3}{3^5\cdot2}=\frac{242}{81\cdot2}=\frac{121}{81}=1\frac{40}{81}. $$

    .Свойство геометрической прогрессии b n b n cdot b n b b cdot b frac cdot frac frac frac . S n frac b -q n -q S frac b -q -q q frac b n b n q frac b b q frac frac frac S frac...

  • Доказать, что последовательность 1, 1/3, 1/9, является геометрической прогрессией, и найти сумму первых пяти ее членов.


    Решение: 1/3 / 1 = 1/3
    1/9 / 1/3 = 1/3
    таким образом, это бесконечно убывающая геом. прогрессия со знаменателем Q = 1/3
    (вычисляется отношением последующего и предыдущ. членов. должна быть постоянной)
    Сумма: 1 + 1/3  +1/9 + 1/27 + 1/81
    если по формуле, то S =  $$ \frac{ A_{1} - A_{5} Q}{1-Q} =\\= (1-\frac{1}{81} \cdot \frac{1}{3})/(1-\frac{1}{3}) = \frac{(243-1)}{81} \cdot 2$$

  • Найти первый член геометрической прогрессии, если b5=1/162, q = 1/2.


    Решение: $$ b_5= \frac{1}{162} $$
    $$ q= \frac{1}{2} $$
    $$ b_1- $$ ?
    $$ b_n=b_1* q^{n-1} $$
    $$ b_5=b_1*q^4 $$
    $$ \frac{1}{162}=b_1*( \frac{1}{2})^4 $$
    $$ \frac{1}{162}=b_1*\frac{1}{16} $$
    $$ b_1= \frac{1}{16}: \frac{1}{162} $$
    $$ b_1= \frac{1}{16}* 162 $$
    \( b_1=10 \frac{1}{8} \)
    Ответ: \( 10 \frac{1}{8} \)

  • Найти первый член геометрической прогрессии, состоящей из 6 членов, если суммы первых и последних трёх членов соответственно равны 112 и 14.


    Решение: b1+b2+b3=112
    b4+b5+b6=14
    bn=b1*q^(n-1) - формула n-го члена геометрической прогрессии
    => b2 = b1*q; b3=b1*q^2; b4=b1*q^3; b5=b1*q^4; b6=b1*q^5
    b1+b1q+b1q^2=112
    b1q^3+b1q^4+b1q^5=14
    Вынесем за скобку из первого уравнения b1: b1(1+q+q^2)=112
    Вынесем за скобку из второго уравнения b1q^3: b1q^3(1+q+q^2)=14
    Выразим из первого уравнения (1+q+q^2): 1+q+q^2=112/b1
    Подставим во второе уравнение: b1q^3*(112/b1)=14
    q^3*112=14
    q^3=1/8
    q=1/2
    Из первого уравнения: b1=112/(1+q+q^2)=112/(1+1/2+1/4)=112/(7/4)=16*4=64
    Ответ: 64 

  • Требуется формула n - го члена и суммы n первых членов геометрической прогрессии, если b3-b2=12, 2bЗ+b4=96


    Решение: Будем решать систему уравнений:
    b₁q² - b₁q=12 b₁q(q -1) = 12 b₁q = 12/(q-1)
    2b₁q² +b₁q³=96⇒ b₁q(2q + q²) = 96,⇒ 12/(q-1) * (2q + q²) = 96
    Решаем последнее уравнение:
    12/(q-1) * (2q + q²) = 96| *(q-1) ≠0
    12(2q +q²) = 96(q-1)
    24q +12q² = 96q -96
    12q²-72q +96 =0
    q² - 6q +8  = 0
    По т. Виета q = 2 или q= 4
    1) q=2, b1 = 6
    bn= b1q^(n-1) = 6*2^(n-1)
    Sn = 6*(2^n -1)/(2-1) = 6*(2^n-1)
    2)q = 4, b1 =1
    Sn = 1*(4^n -1)/(4-1) = (4^n -1)/3

  • Дана геометрическая прогрессия -9, 3,1, Найдите произведение первых пяти её членов лёгким способом без формул


    Решение: В уме высчитаем знаменатель,q=-1\3.
    Произведение равно -1, если в уме высчитать члены.
    Четвёртый 1\3, пятый -1\9
    Все члены перемножим, получим -1.
    Ответ:-1.

    Знаменатель: $$ q= \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{-9}=- \frac{1}{3} $$
    По формуле находим члены
    $$ b_n=b_1\cdot q^{n-1} $$
    $$ b_1=-9 \\ b_2=3\\b_3=-1\\b_4= \frac{1}{3} \\ b_5=- \frac{1}{9} $$
    Произведегие первых пяти её членов
    $$ -9\cdot 3\cdot (-1)\cdot \frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{9} )=-1 $$
    Ответ: -1.

<< < 212223 24 25 > >>