в геометрической прогрессии первый член равен - страница 24
В геометрической прогрессии (bn) b3= -3 b6 = -192. найдите первый член прогрессии
Решение: B1=bn:q^(n-1) - расшифровываю- первый член равен частному n-го члена на q в степени (n-1)
номер члена можно вывести из формулы q^(n-1)=bn:b1 когда известны q, bn и b1
сумма первых семи членов равна Sn= (bn*q-b1) : (q-1) или Sn= b1*(1- q^n) : (1-q)
последнее можно решить СИСТЕМОЙ вида:
b4= b1*q^3
b7= b1*q^6В геометрической прогрессии (bn) b3=-3,b6=-192. Найдите первый член прогрессии
Решение: $$ b_n=b_1q^{n-1} $$
$$ b_3=b_1q^2 $$
$$ b_6=b_1q^5 $$
$$ b_6:b_3=(b_1q^5):(b_1q^2)=q^3 $$
$$ q^3=-192:(-3) $$
$$ q^3=64 $$
$$ q^3=4^3 $$
(3 -нечетная степень)
$$ q=4 $$
$$ b_1=b_3:q^2 $$
$$ b_1=-3:4^2=-\frac{3}{16}=-0.1875 $$
ответ: -0.1875
Геометрическая прогрессия n=11, q=2, Sn=1023,5; Найти первый и n-й член прогрессии.
Решение: Общая формула для вычисления суммы n-первых членов геометрической прогрессии:S(11) = b(1)(q^n-1)/q-1
Выразим отсюда b(1) поэтапно:
b(1)(q^n-1) = S(11)(q-1)
b(1) = (S(11)(q-1))/(q^n-1) = 1023.5/2^11 - 1 = 1023.5/2048-1 = 1023.5/2047 = 0.5
2) Теперь найду n-ый член(то есть 11-ый):
b(11) = b1q^10 = 0.5 * 1024 = 512 - это n-ый член. Задача решена )
3. Найдите первый член геометрической прогрессии, если Q =2/5 и S4 = 8,12.
4. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, у которой b1 = 3, S3 = 5,25 и среди членов есть отрицательные числа.
Решение: Первое задание:
х-это первый член геометрической прогрессии.
Вместо дроби 2/5 буду писать 0,4
Составляете прогрессию: х+х*0,4+х*0,4*0,4+х*0,4*0,4*0,4 и это первые 4 члена прогрессии. И их сумма равна 8,12
Отсюда простое уравнение: х+х*0,4+х*0,4*0,4+х*0,4*0,4*0,4=8,12
все складываем и получаем 1,624*х=8,12
Отсюда х=5 - это и будет первый член прогрессии. Правильность можно проверить, если подставить в прогрессию х+х*0,4+х*0,4*0,4+х*0,4*0,4*0,4 вместо х 5, получится 8,12 как в начальном условии.
Второе задание:.
буквой q обозначаем множитель.
Составляем прогрессию из трех членов: 3+3*q+3*q*q
Сумма этой прогрессии равна 5,25. Составляем квадратное уравнение и находим его корни.
3*q^2+3*q+3=5,25
3*q^2+3*q+3-5,25=0
3*q^2+3*q+2,25=0
Находим его дискриминант Д=9+4*3*2,25=36
и находим два корню уравнения:
q1=(-3-6)/(2*3)=-1,5
q2=(-3+6)/(2*3)=0,5
Выбираем первый корень -1,5. Так как в условии сказано, что в прогрессии есть отрицательные числа.
в геометрической прогрессии все члены которой положительны сумма первых двух членов 8 а сумма третьего и четвертого членов 72. сколько членов этой прогрессии начиная с первого надо сложить чтобы получить сумму 242
Решение: $$ b_n=b_1*q^{n-1} $$$$ S_n = b_1\frac{1-q^{n+1}}{1-q} $$
$$ \left \{ {{b_1+b_2=8} \atop {b_3+b_4=72}} \right. $$
$$ \left \{ {{b_1+b_1q=8} \atop {b_1q^2+b_1q^3=72}} \right. $$
$$ \left \{ {{b_1=\frac{8}{1+q}} \atop {b_1q^2(1+q)=72}} \right. $$
q = 3
b1 = 2
$$ 242 = 2*\frac{1-3^{n+1}}{-2} $$
$$ 3^{n+1}-1=242 $$
$$ 3^{n+1}=3^5 $$
n+1=5
n=4
Ответ: сумма 4х членов геометрической прогрессии, начиная с первого, дает 242
Найти пятый и первый члены геометрической прогрессии с положительными членами, если:
b4=1/27
b6=1/3
Решение: b₄=b₁*q³;b₆=b₁*q⁵;
b₁= b₄/q³;
b₁=b₆/q⁵;
b₄/q³=b₆/q⁵;
b₄=b₆/q²;
1/27=1/3/q²;
q²=1/9;
q₁=1/3;
q₂-=-1/3;
b₅=b₄*q=1/27*(1/3)=1/81; или b₅=b₄*q=1/27*(-1/3)=-1/81.
b₁=b₆/q⁵=1/3/(1/243)=81; или b₁=b₆/q⁵=1/3/(-1/243)=-81.
ОТВЕТ: -1/81; -1/81; 81; -81.
Найти сумму первых 7 членов геометрической прогрессии в которой B2 равен 6 и B4 равен 54 все ее члены положительны
Решение: B2=6
b4=54
S(7)-
b1-
q-
b2=b1*q
b4=b1*q^3
b1*q=6
b1*q^3=54
6q^2=54
q^2=9
q=3
b1=6/q
b1=2
S(n)=b1(q^(n)-1)/q-1
S(7)=2(3^7-1)/3-1=2186
Ответ:2186Вычисляем
B2 = b1*q B4= B1*q³ B4/B2= q² = 54/6 = 9 q= √9 = 3
B1= B2/q = 6/3 = 2.
Сумма первых семи членов
S7 = B1*(1+3+9+27+81+243+729) =2*1093 = 2186
ОТВЕТ: Сумма семи членов 2186.Вычислите первый член геометрической прогрессии, если ее седьмой член равен 80, а пятый 20
Решение: находим первый член геометрической прогрессиикак известно по определению n-й член прогресси равен
$$ a_{n}=a_{1}*q $$
где $$ a_{1} $$ - первый член прогресси (который нужно найти)
q- знаменатель прогрессии.
Составим следующую систему уравнений, используя данный условия задачи - значения 5-го и 7 членов$$ \left\{ \begin{array}{l l} a_{5}= a_{1}*q^{5-1} \\ a_{7}= a_{1}*q^{7-1} \ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l l} 20= a_{1}*q^{4} \\ 80= a_{1}*q^{6} \ \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l l} a_{1}=\frac{20}{q^{4}} \\ 80= \frac{20}{q^{4}}*q^{6} \ \end{array} \right.\Rightarrow \\ \left\{ \begin{array}{l l} a_{1}=\frac{20}{q^{4}} \\ q^{2}=4 \ \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l l} a_{1}=\frac{20}{16} \\ q=\pm2 \ \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l l} a_{1}=\frac{5}{4} \\ q=\pm2 \ \end{array} \right.\Rightarrow $$
ответ $$ a_{1}=\frac{5}{4} $$
Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q=2/3,S4=65
Решение: S₄ =b₁(1-q⁴)/(1-q) ⇒b₁ =S₄(1-q)/(1-q⁴) ;
b₁ =65(1-2/3)/(1-2/3)⁴) =(65/3)/(65/81)81/3=27.
№1) Найти сумму первых членов геометрической прогрессии если:
1)b1=5; g=-1; n=9
2) b1=2; g=2; n=5
3)b1=1/8; g=5; n=4
№2) Найти сумму чисел если её слогаемые являются последовательными членами геометрической прогрессии
1/4+1/8+1/16+.+1/512
Решение: №1
общая формула S(n) = b1*(q^n -1)/(q-1)
1)b1=5; g=-1; n=9
S(9) = 5*((-1)^9 -1)/((-1)-1) = 5
2) b1=2; g=2; n=5
S(5) = 2*(2^5 -1)/(2-1) = 62
3)b1=1/8; g=5; n=4
S(4) = 1/8*(5^4 -1)/(5-1) = 39/2 или 19.5
№2)
знаменатель прогрессии q =1/8 / 1/4 = 4/8 =1/2
b1 = 1/4 ; bn = 1/512
сумма -n- членов S(n)
S(n)= (bn*q -b1)/ (q-1)=((1/152)*(1/2) -1/4) / (1/2-1)= 75/152
№1) Найти сумму первых членов геометрической прогрессии если:1)b1=5; g=-1; n=92) b1=2; g=2; n=53)b1=1/8; g=5; n=4
Sn=b1(1-q^n)/(1-q) если q<>1
b1- рервый член
q- коэффициент
1. Sn=5(1-(-1)^9)/(1-(-1))=5*2/2=5
2. Sn=2(1-2^5)/(1-2)=2*(-31)/(-1)=62
3. Sn=1/8(1-5^4)/(1-5)=1/8*(-624)/(-4)=39/2
№2) Найти сумму чисел если её слогаемые являются последовательными членами геометрической прогрессии 1/4+1/8+1/16+.+1/512
b1=1/4
q=1/2
bn=1/512
Sn=(bn*q-b1)/(q-1)=(1/512*1/2-1/4)/(1/2-1)=(-255/1024)/-1/2=255/512
