прогрессия »

в геометрической прогрессии первый член равен - страница 25

  • Найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии (Yn), если Y4=40,Y7=320


    Решение: Q^3=y7/y4 (знаменатель прогрессии)
    q^3=320/40
    q^3=8
    q=2
    выражаем первый член геометрической прогрессии
    y(n)=y1 x q^(n-1)
    y4=y1 x q^3
    40=y1 x 2^3
    40=y1 x 8
    y1=40/8
    y1=5
    S(6)= y1(q^n -1) / (q-1)
    S(6)= 5 x(2^6 -1)/ 2-1
    S(6)= 5 x (64-1)/1
    S(6)= 5 x 63
    S(6)=315

    Найдем знаменатель прогрессии q.
    Для этого решим систему уравнений: 320=Y1*q^6 40=Y1*q^3 => q^3=8 => q=2.
    Найдем первый член прогрессии Y1. Из формулы Yn=Y1*q^(n-1) => Y1=40/2^3 => Y1=5.
    Зная первый член прогрессии и ее знаменатель найдем ее сумму по формуле: 
    Sn=(Y1*(q^n-1))/q-1 => S6=(5*(2^6-1))/2-1 => S6=(5*(64-1))/1 => S6=5*63=315

  • Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, для которой в₂-в₁ = - 4; в₃-в₁=8


    Решение: $$ b_2-b_1=-4 \\ b_3-b_1=8 \\ b_2=b_1*q \\ b_3=b_1*q^2 \\ b_1(q-1)=-4 \\ b_1(q^2-1)=8 \\ b_1= \frac{-4}{q-1} \\ -\frac{4}{q-1}*(q^2-1)=8 \\ -\frac{4(q-1)(q+1)}{q-1}*=8 \\ -4(q+1)=8 \\ q+1=-2 \\ q=-3 \\ b_1(q-1)=-4 \\ b_1= \frac{-4}{-3-1}=1 \\ S= \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} \\ S= \frac{1(-3^5-1)}{-3-1} = \frac{3^5+1}{3+1}= 61 $$
    Ответ: 61.

  • Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии:
    2,6,18,


    Решение: Находим знаменатель прогрессии для этого 18 делим на 6 получаем 3 проверяем 6 делим на 2 получаем 3 всё ок. Идем дальше так как первые три члены геометрической прогрессии найдены находим 4 член итд
    18 умножаем на 3 получаем 54 и так продолжаем до семи членов.
    2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458.

  • Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если b4= 9 и q= 1/3.


    Решение: B_4  =  9,  q  =  1/3.  Найти  S_5/
    S_n  =  b_1(1  -  q^n) / (1  -  q)  -  формула  n-го  члена  геометрич.  прогрессии.
    b_4  =  b_1 * q^3  ->  b_1  =  b_4 / q^3  =  9 / (1/3)  =  9*3  =  27/
    S_5  =  27(1  -  (1/3)^5 / (1  -  1/3)  =  27*(1  -  1/243) /(2/3)  =  27* (242/243) *(3/2)  =
       =  121/3  =  40 1/3
    Ответ.  40 1/3

    b4= 9, q= 1/3. найти s5
    b4=b1*1/3^3
    b1=b4/q^3
    b1=27
    S5=b1(g^n-1)/(q-1)=27*(242/243)*(3/2)= 40 1/3
    Ответ : 40 1/3

  • Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если bn=-2(0.5)^n


    Решение: bn=-2(0.5)^n

    b1= -2(0.5)¹ = -1

    b2 = -2(0.5)² = -0.5

    q= -0.5 / (-1) = 0.5

    b5=-2(0.5)⁵ = -1/16 = -0.0625

    S5 = (b5*q-b1) / (q-1) = (-0.0625*0.5+1) / (0.5-1) = (-0.03125+1) / (-0.5) = 0.96875/(-0.5) = -1.9375

    Ответ: S5 = -1.9375

    расчитаем тоже самое в обыкновенных дробях:

    S5 = (b5*q-b1) / (q-1)

    b5*q-b1 = (-1/16 * (1/2) +1) = -1/32 +1 = 31/32

    q-1 = 1/2 - 1 = -1/2

    S5= 31/32 : (-1/2) = -(31*2)/32 = -31/16

    Ответ: S5= -31/16

    $$ b_n=-2*(0,5)^n \\ b_1=-2*(0,5)^1=-1 \\ b_2=-2*(0,5)^2=-2*0,25=-0,5 \\ q=\frac{b_2}{b_1}= \frac{-0,5}{-1}=0,5 \\ \\ b_5=b_1*q^4=-1*(0,5)^4=-\frac{1}{16} \\ \\ S_5=\frac{-1((\frac{1}{2})^5-1)}{0,5-1}=2((\frac{1}{2})^5-1)=\frac{1}{16}-2=-\frac{31}{16} $$

  • найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии xn, если: а)x5=1целая1\9,q=1\3; б)x4=121.5.q=-3


    Решение: a)x₅=x₁*q₄

    $$ 1\frac{1}{9}=x_1*\frac{1}{81} x_1=1\frac{1}{9} :\frac{1}{81} x_1=\frac{10*81}{9} x_1=90 \\ S_5=\frac{90*(1-\frac{1}{243})}{1-\frac{1}{3}} S_5=\frac{90*\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} S_5=\frac{\frac{2420}{27}}{\frac{2}{3}} S_5=\frac{1210}{9} S_5=134\frac{4}{9} $$

    б) $$ x_4=x_1*q^3 121.5=x_1*(-3)^3 121.5=x_1*(-27) x_1=121.5:(-27) $$

    x_1=-4.5

    $$ S_5=\frac{-4.5*(1-(-3)^4)}{1-(-3)} S_5=\frac{-4.5*(1-81)}{4} S_5=\frac{-4.5*(-80)}{4} S_5= \frac{360}{4}=90 $$

  • Найти сумму n первых членов геометрической прогрессии, если n=5, b2=7, q=1/2


    Решение: $$ b_1= \frac{b_2}{q}= 7: \frac{1}{2} =14 \\ b_5=b_1*q^{(5-1)}=b_1*q^4=14* \frac{1}{16} =0,0625 \\ S_5= \frac{b_5*q-b_1}{q-1} = \frac{0,0625*0,5-14}{0,5-1}=\\= \frac{0,03125-14}{-0,5} = \frac{-13,96875}{-0,5}=27,9375 $$

    Найдём первый член. В1 * 1/2 = 7. В1 = 14
    теперь по формуле суммы. 14 * ( (1/2)^5 - 1 ) это в числителе
    1/2 - 1. это в знаменателе
    14 * ( 1/32 - 1 ) в числителе
    1/2 - 1. в знаменателе. получаем дробь:
    14 * 31 * 2 в числителе и 32 в знаменателе ( 14 * 31 * 2 / 32 )
    7 * 31 / 8 = 27,125 Ответ 27,125

  • найти сумму первых 6-ти членов геометрической прогрессии, если известно что b7-b1=18,q=7


    Решение: Выразим b7 через первый член, по формуле:

    bn = b1*q^n-1, тогда получим, что b7 = b1*q^6, тогда, при подстановке данного значения в разность b7 - b1, мы получим:

    b1*q^6 - b1 = 18, а есть есть нечто иное, как числитель формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии, которая записывается как Sn = b1(q^n - 1)/q-1.

    Подставим данные нам значения в формулу и получим, что S6 = 18/6 = 3.

    Ответ: 3.

  • b6 - b4 = 72
    b3 -b5 = 24
    Найти первые сумму первых четырёх членов данной геометрической прогрессии


    Решение: B6 - b4 = 72
    b3 -b5 = 24
    Найти первые сумму первых четырёх членов данной геометрической прогрессии!
    b6 -b4= b1q⁵ - b1q³ = 72
    b3 -b5 = b1q² - b1q⁴=24  ⇒ (b1q⁵ - b1q³)/(b1q² - b1q⁴)=72/24
    [b1q³(q²-1)]/[b1q²(1-q²)]=3 ⇒ -q=3 q=-3
    q=-3 подставим в b1q² - b1q⁴=24, получим  b1(q² - q⁴)=24
     b1=24 / (q² - q⁴) b1=24 / (9 - 81) b1= -1 / 3
    S₄= b1(1-q³)/(1-q)=(-1 / 3)/(1+q+q²)=(-1 / 3)/(1-3+9)=-1/21

  • найти сумму первых а) трех членов б) шести членов геометрической прогрессии: 5;5\6;.


    Решение: первый член геометричесской прогрессии равен

    b[1]=5

    знаменатель геометричесской прогрессии равен

    q=b[2]:b[1]=5/6:5=1/6

    формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

    S[n]=b[1]*(q^n-1)/(q-1)

    Сумма первых трех членов данной прогрессии равна

    S[3]=5*(1/6^3-1)/(1/6-1)=5*(1-1/216)/(1-1/6)=5*215/216*6/5=215/36

    Сумма первых шести членов данной прогрессии равна

    S[6]=5*(1/6^6-1)/(1/6-1)=5*(1-1/46656)/(1-1/6)=5*46655/46656*6/5=46655/ 7776

<< < 232425 26 27 > >>