прогрессия »

разность членов арифметической прогрессии - страница 10

  • В арифметической прогрессии сумма шестого и десятого членов равна 5,9 а разность двенадцатого и четвёртого членов равна 2.Найдите двадцать пятый член этой прогрессии.


    Решение: Распишем шестой, десятый, двенадцатый, четвертый члены арифметической прогрессии:

    $$ a_{6}=a_{1}+5d $$

    $$ a_{10}=a_{1}+9d $$

    $$ a_{12}=a_{1}+11d $$

    $$ a_{4}=a_{1}+3d $$

    Составим систему и подставим данные:

    $$ \left \{ a_{6}+a_{10}=5,9 \atop a_{12}-a_{4}=2 \right.\\ \left \{ a_{1}+5d+a_{1}+9d=5,9 \atop a_{1}+11d-a_{1}-3d=2 \right. $$

    Из второго уравнения найдём d:

    11d-3d=2

    8d=2

    d=2/8=1/4

    Подставим значение d в первое уравнение и найдём a1:

    $$ 2a_{1}+14*1/4=5,9 $$

    $$ 2a_{1}+3,5=5,9 $$

    $$ 2a_{1}=2,4 $$

    $$ a_{1}=2,4/2=1,2 $$

    Запишем формулу 25-ого члена арифметической прогрессии:

    $$ a_{25}=a_{1}+24d $$

    Подставим данные:

    $$ a_{25}=1,2+24*1/4=1,2+6=7,2 $$

    Ответ:7,2

  • Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 295, а сумма следующих ее десяти равна 95. Определите разность этой прогрессии?


    Решение: S₁₋₁₀ = 5(2a₁ + 9d) 5(2a₁+9d) = 295 2a₁+9d=59

    S₁-₂₀ = 10(2a₁ + 19d) 10(2a₁+19d) = 390 2a₁+19d=39

      10d=-20

        d=-2

    {a1+a2+a3+a4.a10=295

    {a11+a12+a13+a14.a20=95

    { 10a1+45d=295

    { 10a1+145d=95 

    {295-45d=95-145d

    {200=45d-145d

    {200=-100d

    {d=-2

    {a1 =77/2

    Проверим 

    S10=(2*77/2-2*9)*5=295

  • В арифметической прогрессии 26членов, и разность это прогрессии равна 15. Сумма всех членов прогрессии в 5 раз больше, чем сумма членов, стоящих на нечётных местах. Найдите первый член этой прогрессии.


    Решение: Первая арифметическая прогрессия:
    $$ (a_{n} ) : $$
    $$ a_{1}- $$? d=15
    $$ S _{26} = \frac{2a _{1}+15*25 }{2} *26 $$
    Вторая арифметическая прогрессия:
    $$ b_{1} = a_{1} $$
    d=30
    $$ S’_{13} = \frac{2 a_{1} +30*12}{2} *13 $$
    $$ S_{26}=5* S’_{13} $$
    $$ \frac{2 a_{1}+15*25 }{2} *26=5* \frac{2 a_{1}+30*12 }{2}*13 $$
    $$ 2*(2 a_{1} +25*15)=5*(2 a_{1} +30*12) $$
    4a + 750 = 10a +1800
    6a = 750 - 1800
    6a = - 1050
    a = - 175  Ответ: $$ a_{1}= - 175 $$

  • Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма их первых членов равна –3, сумма третьих членов равна 1, а сумма пятых членов равна 5. Найдите разность арифметической прогрессии.


    Решение: $$ a_{1}+b_{1}=-3\\ a_{3}+b_{3}=1\\ a_{5}+b_{5}=5\\ \\ a_{1}+b_{1}=-3\\ a_{1}+2d+b_{1}q^2=1\\ a_{1}+4d+b_{1}q^4=5\\ \\ -3-b_{1}+2d+b_{1}q^2=1\\ -3-b_{1}+4d+b_{1}q^4=5\\ \\ 2d+b_{1}q^2-b_{1}=4\\ 4d+b_{1}q^4-b_{1}=8\\ $$
    $$ 2d+b_{1}q^2-b_{1}=4\\ 4d+b_{1}q^4-b_{1}=8\\ \\ 4d=2(4-b_{1}q^2+b_{1})\\ 4d=8-b_{1}q^4+b_{1}\\ \\ 8-2b_{1}q^2+2b_{1}=8-b_{1}q^4+b_{1}\\ -2b_{1}q^2+2b_{1}=b_{1}-b_{1}q^4\\ -2q^2+2=1-q^4\\ q^4-2q^2+1=0\\ q=1\\ $$
    тогда очевидно что 
    $$ a_{1}+2d+b_{1}q^2=1\\ a_{1}+2d+b_{1}=1\\ a_{1}+4d+b_{1}=5\\ \\ \\ 1-a_{1}-2d=5-a_{1}-4d\\ 1-2d=5-4d\\ -4=-2d\\ d=2 $$
    Ответ разность именно арифметической равна 2 

  • Сумма первых 8 членов арифметической прогрессии равна 52, а разность между 4-м и 6-м членами равна 6. Найдите первый член этой прогрессии


    Решение: Sn=((a1+an)/2)*n

    an=a1+(n-1)*d ⇒

    S8=((a1+a8)/2)*8=((a1+a1+(8-1)*d)/2)*8=(2a1+7*d)*4;

    a4=a1+(4-1)*d;

    a6=a1+(6-1)*d;

    a6-a4=(a1+3d)-(a1+5d)=a1+3d-a1-5d=-2d ⇒

    -2d=6 ⇒d=-3

    Пдставим в формулу суммы 8 членов  прогрессии S8=(2a1+7*d)*4=52

    значение d:

    (2a1+7*(-3))*4=52

    (2a1-21)*4=52

    8a1-84=52

    8a1=52+84

    8a1=136

    a1=17

    Ответ: а1=17

<< < 8910 11 12 > >>