прогрессия »
разность членов арифметической прогрессии - страница 11
Длины сторон треугольника являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии, разность которой равна 2 см. Площадь треугольника равна 6 см2. Определите длины сторон.
Решение: Проверка:
Условие существования треугольника можно представить в следующем виде: пусть a b c стороны треугольника. Тогда, что бы треугольник существовал необходимо, что бы сумма двух любых его сторон была больше третьей стороны a+b>c или a+c>b или b+c>a
Пусть в ∆ АВС имеем
АВ =хсм, ( средняя сторона)
ВС=(х+2) см ( самая большая сторона)
АС =(х-2) см ( самая маленькая сторона
тогда Р (периметр) = х+х+2+х -2 =3х см
р ( полупериметр) = (3х) /2 =1,5х
По формуле Герона
S² = p(p-a)(p-b)(p-c) = (1,5х) ( 0,5х) (0,5х -2)(0,5х+2) = 36
0,75х² ( 0,25х² -4) -36 =0
умножим на4
3х² ( 0,25х² -4) - 144 =0
разделим на3
х²(0,25х² -4) - 48 =0
0,25х⁴ -4х² -48 =0
умножим на 4
х⁴ -16х² -192 =0
получили биквадратное уравнение
х² =24 или х=√24 = 2 √6
Стороны тр-ка
( 2 √6 -2); 2 √6; (2 √6+2)
Длины сторон треугольника являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии, разность которой равна 2 см. Площадь треугольника равна 6 см(в квадрате). Определить длины сторон
Решение: X-2, x, x+2, x>0 - длины сторон треугольника
$$ p=\frac{(x-2)+x+(x+2)}{2}=\frac{3x}{2}, \\ S=\sqrt{\frac{3x}{2}(\frac{3x}{2}-(x-2))(\frac{3x}{2}-x)(\frac{3x}{2}-(x+2))}=6, \\ \frac{3x}{2}(\frac{3x}{2}-x+2)(\frac{3x}{2}-x)(\frac{3x}{2}-x-2)=36, \\ 3x(x+4)x(x-4)=36\cdot8, \\ 3x^2(x^2-16)=288, \\ 3x^4-48x^2-288=0, \\ x^4-16x^2-96=0, \\ D_{/4}=(-8)^2-(-96)=160, \\ x^2_{1,2}=8\pm\sqrt{160}=8\pm4\sqrt{10}, \\ 8-4\sqrt{10}\ < \ 0, \\ x^2=8+4\sqrt{10}, \\ x_{1,2}=\pm\sqrt{8+4\sqrt{10}}, \\ -\sqrt{8+4\sqrt{10}}\ < \ 0\ < \ 2, \\ x=\sqrt{8+4\sqrt{10}}, $$
$$ x-2=\sqrt{8+4\sqrt{10}}-2, \\ x+2=\sqrt{8+4\sqrt{10}}+2. $$
Разность арифметической прогрессии равна -0,2 первый член=2,1 Найдите а) ВТОРОЙ ЧЛЕН б) ПЕРВЫЙ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ЧЛЕН в) КОЛ_ВО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧЛЕНОВ.
Решение: А) 1,9 // 2,1-0.2
б) -0,1
в) 11Для нахождения членов прогрессии используем формулу n-ого члена.
a(n)=a(1)+(n-1)d.
Следовательно для:
а(2)=2.1+(2-1)×(-0,2)=1,9
а(3)=2.1+(3-1)×(-0.2)=1.7
а(4)=2.1+(4-1)×(-0.2)=1,5 и так далее.
первым отрицательным будет 12 член прогрессии.
а(12)=2.1+(12-1)×(-0.2)=-0,1 это ясно из формулы.
Отсюда кол-во положительных членов от 1 до 12.
Арифметическая прогрессия содержит 12 членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 78, а на нечетных местах равна 90. Найдите 1 член и разность прогрессии.
Решение: 1) а1+а3+а5+а7+а9+а11 = а1+(а1+2d) +(а1+4d) +(а1+6d) +(а1+8d) +(а1+10d) = 6а1+30d =90
или а1+5d = 15
2) а2+а4+а6+а8+а10+а12 = (а1+d)+(а1+3d) +(а1+5d) +(а1+7d) +(а1+9d) +(а1+11d) = 6а1+36d = 78
или а1+6d = 13
3) решаем систему из двух уравнений
а) а1+5d = 15
б) а1+6d = 13 откуда
d = -2 и а1 = 25разность прогрессии = -2
первый член прогрессии = 25Несколько чисел образуют арифметическую прогрессию,
причем их сумма равна 63, а первый член
в полтора раза больше разности прогрессии.
Если все члены прогрессии уменьшить на
одну и ту же величину так, чтобы первый
член прогрессии был равен разности
прогрессии, то сумма всех чисел уменьшится
не более, чем на 8, но не менее, чем на 7.
Определите, какой может быть разность
этой прогрессии. Здесь может быть
несколько ответов.
Решение: Пусть наша последовательность из чисел $$ a_{1};a_{2};a_{3};a_{4}.a_{n} $$
$$ S=63\\ S=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n=63\\ a_{1}=1.5d\\ S=\frac{3d+d(n-1)}{2}*n=63\\ \\ $$
Пусть мы уменьшим разность на $$ x $$, тогда
$$ a_{1}-x=d\\ a_{2}-x\\ a_{3}-x\\.\\ a_{n}-x\\\\ S_{1}=\frac{2(a_{1}-x)+(a_{1}-x)(n-1)}{2}*n =\frac{n(n+1)(a_{1}-x)}{2}\\ $$
по первой сумме получаем
$$ dn(2+n)=126\\ 2dn+dn^2=126\\ dn^2+2dn-126=0\\ D=\sqrt{4d^2+4d*126} $$
так как $$ n $$ принадлежит только целым числам то
$$ D $$ должен быть так же целым
$$ \sqrt{4d(d+126)}=k\\ $$ где $$ k $$ целое число
$$ 4d=d+126\\ 3d=126\\ d=42 $$
этот вариант не подходит так как выходит то что в последовательности только единственный член.
Для того что бы из под корня был целое число, необходимо что бы сами сомножители были квадратами каких то чисел, очевидно подходит $$ d=2 $$, заметим так же что чем больше $$ d $$ тем меньше членов в последовательности. То есть $$ 2 \leq d<42 $$
Тогда $$ n=7 $$
Посмотрим по второй сумме
$$ n=\frac{-2+\sqrt{4+\frac{504}{d}}}{2}\\ $$
подставляя в сумму получаем
$$ 220<\sqrt{1+\frac{126}{d}}*\sqrt{d+\frac{126}{d}}-1)(3d-2x) \leq 224 $$
подставляя $$ d=2 $$ окончательно убеждаемся что
$$ d \leq 2 $$
Арифметические прогрессии (Xn),(Yn),(Zn) заданы формулами n-го члена: Xn=4n+10, Yn=2n, Zn=4n+3. Укажите те из них, у которых разность d равна 4 (с решением)
Решение: 1. с Xnподставляем в формулу значения, если мы берём а1, то получается
а1=4*1+10=14
мы взяли n равное 1, потому что 1 - порядковый номер члена прогрессии
делаем тоже самое с а2
а2=4*2+10=8+10=18
d=18-14=4 (по формуле)
следовательно подходит.
2. с Yn
а1=2*1=2
а2=2*2=4
d=4-2=2
следовательно не подходит
3. c Zn
а1=4*1+3=7
а2=4*2+3=11
d=11-7=4
следовательно подходит
Xn=4n+10,
x1=4*1+10=14
x2=4*2+10=18
d=18-14=4
Yn=2n
y1=2*1=2
y2=2*2=4
d=4-2=2
Zn=4n+3
z1=4*1+3=7
z2=4*2+3=11
d=11-7=4
Ответ: Xn=4n+10, Zn=4n+3
Известны два члена арифметической прогрессии {a(n)} :a(10)=1,9 и а(16)=6,1:
a) найдите 1-й член и разность этой прогрессии;
б) укажите число положительных членов прогрессии
Решение: Решим как уравнение$$ \begin{cases} a(1)+9d=1,9\\ a(1)+15d=6,1\end{cases} $$]
a(1)=1,9-9d
1,9+6d=6,1
6d=4,2
d=0,7
Подставляем в первое уравнение
a(1)=1,9-6,3
a(1)=-4,4
Количество положительных членов найдем
a(8)=a(1)+7d
a(8)=-4,4+4,9
a(8)=0,5 значит число положительных членов прогрессии равно От 8 до + бесконечности первая скобка квадратная вторая круглая
Задание Вариант 3 К-3
1. Найдите 56-й член арифметической прогрессии (Yn), если y1=-15,3 и d=1.8
2. Найдите сумму сорока восьми первых членов арифметической прогрессии (Cn), если c1=84 и d=-3.
3. Является ли число 132 членов арифметической прогрессии 7;12;. В случае утвердительного ответа укажите номер члена.
4. Известны два члена арифметической прогрессии (Yn) : y8 = 11,2
и y15= 19,6
а) Найдите 1-й член и разность прогрессии.
б) Укажите число членов этой прогрессии, меньших 30.
Решение: 1
y56=y1+55d=-15,3+55*1,8=-15,3+99=83,7
2
S48=(2c1+47d)*48/2=(168-141)*24=27*24=648
3
a1=7 a2=12
d=a2-a1=12-7=5
an=a1+(n-1)d
7+5(n-1)=132
5(n-1)=132-7
5(n-1)=125
n-1=125:5
n-1=25
n=25+1
n=26
a26=132
4
d=(y15-y8)/(15-8)=(19,6-11,2)/7=8,4:7=1,2
y1=y8-7d
y1=11,2-7*1,2=11,2-8,4=2,8
an=a1+(n-1)d
2,8+1,2(n-1)<30
1,2(n-1)<30-2,8
1,2(n-1)<27,8
n-1<27,8:1,2
n-1<23 1/6
n=23 1/6+1
n<24 1/6
n=24Дана арифметическая прогрессия с разностью d>1. Произведение 2-го и 5-го членов прогрессии равно 232, а сумма первых пяти членов равна 75. Число 106 является членом данной прогрессии. Найдите его номер.
Решение: S5 = (2 a1 + d (5-1)) * 5 : 2 = (2a1 + 4d) * 5 : 2 = (a1 + 2d) * 5 = 75 > (a1 + 2d) = 15
a1 = 15-2d (1)
a2 * a5 = (a1 + d) * (a1 + 4d) = 232 (2)
Подставим (1) в (2):
(15 - 2d + d) * (15 - 2d + 4d) = 232
(15 - d) * (15+2d) = 232
225 - 15d - 2d2 + 30d = 232
2d2 - 15d + 7 = 0
D = 169; x1=7; x2=0,5
Т. к. d может быть только целым числом, то d=7.
Тогда a1 = 15 - 2*7 = 1
аn = a1 + d · (n - 1)
106 = 1 + 7 · (n - 1)
106 = 1 + 7n - 7
7n = 112n = 16a16 = 106Как выяснить является ли число членом арифметической прогрессии.
Какую именно формулу нужно подставлять. Допустим пример:
Содержит ли арифметическая прогрессия 2; 9;. число 156 и 295.
И как решить когда даже разность арифметиеской прогрессии не дана?
Решение: Х₁=2
Х₂=9
Разность арифметической прогрессии d:
d=X₂-X₁=9-2=7
Xn=X₁+d(n-1)=2+7(n-1)=2+7n-7=-5+7n
1) определяем, принадлежит ли число 156 арифм. прогрессии:
Хn=156
156=-5+7n
156+5=7n
161=7n
n=161 : 7
n=23
Так n=23 - целое число, то число 156 является членом арифм. прогрессии
Х₂₃=156
2) определяем, принадлежит ли число 295 арифм. прогрессии:
Хn=295
295=-5+7n
295+5=7n
300=7n
n=300: 7
n=42 ⁶/₇
Так n = 42 ⁶/₇ - не целое число, то число 295 не является членом ариф. прогрессии.
