прогрессия »

разность членов арифметической прогрессии - страница 13

  • Докажите что если d- разность арифметической прогрессии, а Xm и Xn-ее члены(m не равно n, m и n порядковый номер), то Xm- Xn=(m-n)d


    Решение: Разность арифметической прогрессииd = an+1 - an
    Число d называют разностью арифметической прогрессии
    Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией.
    an+1 = an + d, n є N

  • Определите, является ли последовательность, заданная формулой n-го члена, арифметической прогрессией ( если является, то найдите её разность):

    а) аn=2n+5

    б)an=10-3n

    в)an=n^2

    г)an=-4n


    Решение: Используя определение арифметической прогрессии

    а) аn=2n+5

    $$ d=a_{n+1}-a_n=2(n+1)+5-(2n+5)=2n+2+5-2n-5=2 $$

    даная последовательность - арифметическая прогрессия с разностью 2

    б)an=10-3n

    $$ d=a_{n+1}-a_n=10-3(n+1)-(10-3n)=10-3n-3-10+3n=-3 $$

    даная последовательность - арифметическая прогрессия с разностью -3

    в)an=n^2

    $$ d=a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1 $$

    не является

    г)an=-4n

    $$ d=a_{n+1}-a_n=-4(n+1)-(-4n)=-4n-4+4n=-4 $$

    даная последовательность - арифметическая прогрессия с разностью -4

  • В арифметической прогрессии с разностью d девятый член = 1. Чему равно d чтобы произведение четвёртого, седьмого и восьмого членов была наибольшей?


    Решение: $$ a_{9}=1\\ a_{1}+8d=1\\\\ a_{4}a_{7}a_{8}=(a_{1}+3d)(a_{1}+6d)(a_{1}+7d) =\\ (1-8d+3d)(1-8d+6d)(1-8d+7d)=(1-5d)(1-2d)(1-d)\\ f(d)=(1-5d)(1-2d)(1-d) $$
    Рассмотрим функцию 
     $$ f(d)=(1-5d)(1-2d)(1-d)\\ f(d)=-10d^3+17d^2-8d+1\\ f’(d)=-30d^2+34d-8\\ -30d^2+34d-8=0\\ D=34^2-120*8=14^2\\ d=\frac{-34+14}{-60}=\frac{1}{3}\\ d=\frac{-34-14}{-60}=\frac{4}{5}\\ $$ 
     функция принимает наибольшее значение в точке
     $$ d=\frac{4}{5}\\ $$ 
    Ответ $$ d=\frac{4}{5} $$

  • В арифметической прогрессии {An} имеем a1= -85, а19 - её первый положительный член. Какие целые значения может принимать разность прогрессии?


    Решение: Если d=4, то:
    а19= -85+4(19-1)= -13 ; а19 отрицательный, значит разность прогрессии не 4.
    если d=5, то:
    а19= -85+5(19-1)= 5 ; а19 положительный, значит разность прогрессии 5.
    если d=6, то:
    а19= -85+6(19-1)= 23 ; а19 положительный, но не "первый положительный" как сказано в условии. (а18=17, а17=11, а16=5)
    Ответ: d=5

  • В арифметической прогрессии сумма 50 первых ее членов равна 2650, а разность равна 2. Найдите первый член этой прогрессии.


    Решение: S50=(2a1+49*2)*50/2=(2a1+98)*25=50
    2a1+98=50/25=2
    2a1=2-98=-96
    a1=-96/2=-48

    По 2 формуле 2650=(2а+2(49))*50/2, 
    2650=(2а+98)/25
    2а+98=2650/25
    2а+98=106
    2а=8
    а=4

    S a a a a - - a - - По формуле а   а а а а а...

  • Арифметические прогрессии (an) ; (bn) и (cn) заданы формулами n-ного члена: an=5n bn=5n-1 cn=n+5 Укажите те из них, которые имеют разность, равную 5. 1) (cn) 2) (bn) и (cn) 3) (an) и (bn) 4) (an), (bn) и (cn)


    Решение: Формула разности:

    $$ d = a_{n+1}-a_{n} $$

    Найдём первые и вторые члены каждой прогрессии, а также их разности:

    ДЛЯ "an":

    $$ a_{n}=5n\\ a_{1}=5\cdot 1\\ a_{2}=5\cdot 2\\\\ d=a_{n+1}-a_{n} \, \ a_{n}=a_{1}=5\\ d=10-5=5 $$

    ДЛЯ "bn":

    $$ b_{n}=5n-1\\ b_{1}=5\cdot 1 - 1 = 4\\ b_{2}=5\cdot 2 - 1=9\\\\ d=b_{n+1}-b_{n} \, \ b_{n}=b_{1}=4\\ d=9-4=5 $$

    ДЛЯ "cn":

    $$ c_{n}=n+5\\ c_{1}=1+5 = 6\\ c_{2}=2+5=7\\\\ d=c_{n+1}-c_{n} \, \ c_{n}=c_{1}=6\\ d=7-6=1 $$

    Очевидно, что разность "5" имеют прогрессии "an" и "bn".) 

    Ответ: 3)

  • Числовая последовательность 1; 8; 22; 43; … обладает таким свойством, что разности двух соседних членов составляют арифметическую прогрессию 7; 14; 21; …. Какой член данной последовательности равен 35351?


    Решение: Пусть 1,8,22,43 это последовательность а
    а1=1, а2=8.
    пусть 7,14,21 последовательность в
    в1=7, в2=14
    $$ b_n=b_1+(n-1)7=7+7n-7=7n $$
    тогда
    $$ a_{n+1}=a_1+ \sum_{n_1}^{b_n} \\ \sum^{n_1}_{b_n} = \frac{2b_1+7(n-1)}{2}n= \frac{2*7+7n-7}{2}n=\\= \frac{7(n+1)n}{2}=7/2(n^2+n) $$
    сумму для прогрессии в нашли как сумму n членов арифметической прогрессии
    $$ a_{n+1}=a_1+ 7/2(n^2+n) $$
    отсюда найдем n для члена 35351
    35351=1+7/2(n²+n)
    3.5n²+3.5n-35350=0
    n²-n-10100=0
    D=1+40400=40401
    √D=201
    n=(1+201)/2=101
    другой корень посторонний, меньше 0
    Ответ номер члена последовательности 101

  • Найдите разность арифметической прогрессии (Xn) и её первый член, если x10=1,S16=4


    Решение: по формулам нахождения суммы арифметической прогрессии. может быть d=- 0,1

    S16=16*(2a1+15d)/2          8(2a1+15d)=4           2a1+15d=0.5

    a10=a1+9d                         a1+9d=1                  a1=1-9d

    a1=1-9d                         a1=1-9d                       3d=3/2                  d=0.5                

    2(1-9d)+15d=0.5             2-18d+15d=0.5              a1=1-9d                 a1=1-4.5

    d=0.5

    a1=5.5

  • Найдите 1-й член и разность арифметической прогрессии, если а2+а6=18; а7-а5=4


    Решение: n-й член арифметической прогрессии an = a1 +d(n-1)

    поэтому а4 = а1 + 3d; а6 = а1 + 5d; а7 = а1 + 6d; а2 = а1 + d; а5 = а1 + 4d;

    а4 + а6 - а7 = а1 + 3d + а1 + 5d - а1 - 6d = 11

    а1 + 2d= 11  (1)

    а2 + а5 = а1 + d + а1 + 4d = 2а1 + 5d

     2а1 + 5d = 25 (2)

            Из уравнения (1) получим а1 = 11 - 2d  (4)

              и подставим (4) в уравнение (2)

    2 (11 - 2d) +5d = 25

    22 - 4d +5d = 25

    d = 3

    Из уравнения (4) а1 = 11 - 3 = 8

    Ответ: а1 = 8; d = 3

  • 2. Найдите 1-й член и разность арифметической прогрессии, если
    b7 - b1 = 30 ;
    b2 + b10 = 54.;
    b1- d-


    Решение: 1) т. к. b7 = b1 + 6d, то 2) т. к. b2 = b1 + d и b10 = b1 + 9d, то
      b1 + 6d + b1 = 30 b1 + d + b1 + 9d = 54
      6d = 30 2b1 + 10d = 54
      d = 5 2b1 = 54 - 10d
      b1 = (54 -10d)/ 2
      b1 = (54 - 10×5) /2
      b1 = 2

<< < 111213 14 > >>