разность членов арифметической прогрессии - страница 9
Перший член арифметичної прогресії -4, а їх різниця дорівнює 2. Скільки требя взяти перших членів прогресії, щоб їх сума дорівнювала 84
________________________________
первый член арифметической прогрессии 4, а их разность равна 2. Сколько нужно взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма равнялась 84
Решение: *перший член арифметичної прогресії -4, а їх різниця дорівнює 2. Скільки требя взяти перших членів прогресії, щоб їх сума дорівнювала 84Відповідь: треба взяти 12 перших членів даної арифметичної прогресії
а₁=4
d=2
S=84
4+6+8+10+12+14+16+18=88
cо второго по 8 член
Произведение первого и четвёртого членов арифметической прогрессии равно -20, а разность прогрессии равна 4. Найдите сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии.
Решение: Формула 4 члена = a1+ 3d. Тогда a1 * (a1+3d) = -20 и d=4
Найдем а1, а1² + 3da1=-20, подставим d a1² + 12a1=-20, получили квадратное уравнение. a1² + 12a1² +20=0,
по Т. Виета a1 + a2 = -12
a1*a2=20
-10 И -2.
Получается два решения. Для первого
Сумма = (-10 + 4*15)*16\2 =400
Для второго = (-2 + 4*15)*16\2 = 464
1) разность третьего и четвёртого членов геометрической прогрессии равна -24, а разность третьего и второго членов равна 12. найдите произведение первого члена и знаменателя прогрессии
2) сумма первых трёх членов арифметической прогрессии равна 24. найдите второй член прогрессии
Решение: $$ 1.\;\begin{cases}b_3-b_4=-24\\b_3-b_2=12\end{cases}\\b_2=b_1\cdot q\\b_3=b_1\cdot q^2\\b_4=b_1\cdot q^3\\\begin{cases}b_1\cdot q^2-b_1\cdot q^3=-24\;\;\;\;\times-1\\b_1\cdot q^2-b_1\cdot q=12\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}q\cdot\left(b_1\cdot q^2-b_2\cdot q\right)=24\\b_1\cdot q^2-b_1\cdot q=12\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}12q=24\\b_1\cdot\left(q^2-q\right)=12\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}q=2\\b_1\cdot(4-2)=12\end{cases}\\2b_1=12\Rightarrow b_1=6 $$
$$ \begin{cases}q=2\\b_1=6\end{cases}\\b_1\cdot q=b_2=2\cdot6=12 $$
$$ 2.\;a_1+a_2+a_3=24\\a_1+\left(a_1+d\right)+\left(a_1+2d\right)=24\\3a_1+3d=24\\3(a_1+d)=24\\a_1+d=a_2=8 $$
.
1) в арифметической прогресси (An): A17=7.27, A21= -4.73, Найдите разность арифметической прогресси
2) в арифметической прогресси (Cn) C1= -4, а сумма первых девяти её членов равна 72. найдите разность ар. прогрес.
Решение: 1) разность находим по формуле d=Am-Ak/m-kтогда получимd=21-17/-4/73-7.27
d=4/-12
d=-1/3
2) из формулы сумма арифметической прогресси получаем:S=A1+An*n/2
72=-4+9*n/2
n=28,8
разность находим по формуле d=Am-Ak/m-k
тогда получимd=9-1/28,8-(-4)
d=8/32,8
d=0,24, если округлить примерно получим 0,25
1) найдите разность арифметической прогрессий, если: a1=-5, n=23, Sn=1909
2) найдите десятый член и значения суммы десяти первых членов арифметической прогрессий -3,87; -2,77.;
3) найдите разность арифметической прогрессий, если: a2=2, a9=6,9
4) арифметическая прогрессия (Хn) задана формулой: 1) Xn=3n+2. Найдите значение суммы двадцати первых ее членов; 2) Xn=4n-9. найдите значение суммы тридцати первых ее членов;
5) найдите a1 и n, если: 1) d=2, an=49, Sn=702 2) an=18-2n иSn=n*(17-n).
Решение: Формулы n-го члена и суммы n членов известны
an = a1 + d*(n - 1)
S(n) = (a1 + an)*n/2 = (2a1 + d*(n-1))*n/2
1) a1 = -5, n = 23, S(n) = 1909
1909 = (-2*5 + d*22)*23/2 = (-5 + 11d)*23
-5 + 11d = 1909/23 = 83
11d = 88, d= 8
2) a1 = -3,87, d= -2,77 + 3,87 = 1,1, n = 10
a10 = a1 + 9d = -3,87 + 9*1,1 = 9,9 - 3,87 = 6,03
S(10) = (-3,87 + 6,03)*10/2 = 2,16*5 = 10,8
3) a2 = a1 + d= 2, a9 = a1 + 8d = 6,9
a9 - a2 = 7d = 6,9 - 2 = 4,9
d= 0,7
4) 1) x1 = 3 + 2 = 5, x2 = 6 + 2 = 8, d= 3
S(20) = (2*5 + 3*19)*20/2 = (10 + 57)*10 = 670
2) x1 = 4 - 9 = -5, x2 = 8 - 9 = -1, d= 4
S(30) = (-2*5 + 4*29)*30/2 = (-10 + 116)*15 = 1590
5) 1) d= 2, an = 49, S(n) = 702
Система
{ an = a1 + d(n-1) = a1 + 2(n-1) = 49
{ S(n) = (a1 + an)*n/2 = (a1 + 49)*n/2 = 702
{ a1 + 2n = 49 + 2 = 51
{ a1*n + 49n = 702*2 = 1404
{ a1 = 51 - 2n
{ (51 - 2n)*n + 49n - 1404 = 0
-2n^2 + 100n - 1404 = 0
n^2 - 50n + 702 = 0
(n - 27)(n - 13) = 0
n = 13, a1 = 51 - 26 = 25
n = 27, a1 = 51 - 54 = -3
2) an = 18 - 2n, S(n) = n*(17 - n)
an = a1 + d(n-1) = a1-d + dn = 18 - 2n
S(n) = (2a1 + d(n-1))*n/2 = n*(17 - n)
Система
{ (a1-d) + dn = 18 - 2n
{ (2a1-d) + dn = 2(17 - n) = 34 - 2n
Из 2 уравнения вычитаем 1 уравнение
a1 = 34 - 18 = 16
Подставляем обратно в 1 уравнение
16 + dn - d = 18 - 2n
dn - d = 2 - 2n
d(n - 1) = -2(n - 1)
d= -2Первый член арифметической прогрессии равен 7, а разность 1,5. Найдите сумму членов прогрессии с 10 до 20 члена включительно.
Решение: a[1]=7d=1.5
a[n]=a[1]+(n-1)*d
a[9]=7+8*1.5=19
a[20]=7+19*1.5=35.5
S[n]=(a[1]+a[n])/2 *n
S[9]=(7+19)/2*9=117
S[20]=(7+35.5)/2*20=425
сумму членов прогрессии с 10 до 20 члена включительно равна
S[20]-S[9]=425-117=308
ответ: 308
дано a1=7, d=1.5
чтобы найти сумму с 10 по 20
надо найти сумму первых 20 и отнять от нее сумму первых 9.
$$ Sn=\frac{2a1+d(n-1)}{2}*n $$
подставляем, получаем S20=425, S9=117
Искомая сумма = 425-117 = 308
Ответ: сумма с 10 по 20 равно 308
1) В арифметической прогрессии известно что а1= -0,8 и d=4. Найдите а3, а7, а24 и S24?
2) Найдите разность арифметической прогрессии и S18, если а1=4, а18=-11.
3) В арифметической прогрессии известны а1=14 и d=0,5. Найдите номер члена прогрессии, равного 34.
4) Выписали двадцать членов арифметической прогрессии: 18;4;. Встретится ли среди них число -38?
Решение: 1)a3= -0,8+2*4=7,2
a7= -0,8+6*4= 23,2
a24= -0,8+23*4=91,2
S24=(-0,8+91,2)*24/2=1094,4
2)-11=4+17*d
d=-15/17
S18= (4-11)*18/2=-63
3)3) В арифметической прогрессии известны а1=14 и d=0,5. Найдите номер члена прогрессии, равного 34.
34=15+(n-1)*0,5
19=0,5n-0,5
0,5n=19,5
n=39
4) Выписали двадцать членов арифметической прогрессии: 18;4;. Встретится ли среди них число -38?
-38=18+(n-1)*(-14)
-56=-14n+14
n=-70/14
не встретится
1. Найдите 18-ый член арифметической прогрессии (Сn), если: а)c1=-7.2; d=0.6; б)c1=5.6; с2=4,8
2. Найдите разность арифметической прогрессии (kn), если: k1=6.2; k10-2k3=-11.85
3. Между числами 18 и -3,6 вставьте 4 числа, которые вместе с данными образуют арифметическую прогрессию.
Решение: 1)a)Cn=C1+(n-1)d. n=18, c1= -7,2, d=0,6
C18=-7,2 + (18-1) * 0,6
c18=-7,2 + 17*0,6
c18=-7,2+10,2
c18=3
б) Cn=C1+(n-1)d. n=18, c1=5,6, c2=4,8
d=c2-c1
d=4,8-5,6
d=-0,8
c18=5,6+(18-1)*(-0,8)
c18=5,6+17*(-0,8)
c18=5,6-13,6
c18=-8
2)k10+2k3=-11,85
k10=k1+9d k3=k1+2d
k1+9d-2(k1+2d)=-11,85
k1+9d-2k1-4d=-11,85
-k1+5d=-11,85 (подставляем известное значение k1)
-6,2+5d=-11,85
5d=-11,85+6,2
5d=-5,65
d=-1,13
d-разность
3)18.3,6
18-(-3,6)=21,6 - это (4+1)d
d=21,6/5=4,32
-3,6+d=-3,6+4,32=0,72 -1 число
0,72+d=0,72+4,32=5,04 - 2 число
5,04+d=5,04+4,32=9,36 - 3 число
9,36+d=9,36+4,32=13,68 -4 числоНайдите первый член арифметической прогрессии и разность, а6-а4=-5 а10+а2=-46
Решение: а6-а4=-5а10+а2=-46
an=a1+d(n-1)
a1+5d-(a1+3d)=-5
a1+9d+a1+d=-46
a1+5d-a1-3d=-5
a1+9d+a1+d=-46
2d=-5
2a1+10d=-46
d=-5/2
2a1+10*(-5/2)=-46
2a1-25=-46
2a1=-21
a1=-10,5
а6-а4=5
а10+а2=-46 выражаем первое уравнение, а1+5d-a1-3d=-5
отсюда находим d, 2d=-5, d=-2.5
выражаем второе уравнение, a1+9d+a1+d=-46. 2a1+10d=-46. 2a1-25=-46. 2a1=-21. a1=-10.5, разность это d=-2.5, а первый член a1=-10.5
Известны два члена арифметической прогрессии(x_n):
х_4=32,5 и х_12= 29,3
а) найдите 1-й член и разность прогрессии
б) каково число членов прогрессии, больших 10?
Решение: $$ x_4=32,5 \\ x_{12}=29,3 $$
Узнаем какая разница между этими числами
$$ 32,5-29,3=3,2 $$
Между \( x_{4}\) и \( x_{12}\) еще 8 членов арифметической прогрессии.
Узнаем шаг. \(3,2 : 8 = 0.4\)
Но т. к у нас \(x_4\) больше чем \( x_{12} \), то получаем шаг равный \(-0,4\).
Найдем первый член прогрессии
$$ 32,5+0,4+0,4+0,4= 33,7 $$
Узнаем количество членов прогрессии больше 10. (явно \( x_1\) больше десяти )
Считаем :
$$ 33,7-10=23,7 $$
Получившееся число делим на 0,4
$$ 23,7:0,4=59,25 $$
Смотрим, у нас 59 целых. И это значит что 59 членов арифметической прогрессии больше 10.
