разность членов арифметической прогрессии - страница 8
1) Является ли число 242 членом арифметической прогрессии аn=7n+4
2) Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 16, а шестой ее член на 12 больше второго. Найдите разность и первый член данной прогрессии
Решение: 1) an=7n+4242=7n+4
n=34 => является
2) a3+a5=16
a6-a2=12
a1+2d+a1+4d=16
a1+5d-a1-d=12
2a1+6d=16
4d=12
2a1+18=16
d=3
a1=-1
d=3
7n+4=242
7n=238
n=34
an=a1+d(n-1)
a6-a2=a1+d(6-1)-(a1+d(2-1))=a1+5d-a1-d=4d
4d=12
d=3
a3+a5=a1+d(3-1)+a1+d(5-1)=2a1+6d
2a1+6d=16
2a1+6*3=16
2a1+18=16
2a1=16-18
2a1=-2
a1=-1
Сумма утроенного второго и четвертого членов арифметической прогрессии равна 12. При каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшим?
Решение: 3а2+а4=123(a1+d)+a1+3d=3a1+3d+a1+3d=4a1+6d=12
2a1+3d=6
a1=(6-3d)/2
a3*a5=(a1+2d)(a1+4d)= a1²+6a1d+8d² = (6-3d)²/4+6*d*( (6-3d)/2 )+8d²
(6-3d)²/4+6*d*( (6-3d)/2 )+8d²=0
(6-3d)²+12d(6-3d)+32d²=0
36-36d+9d²+72d-36d²+32d²=0
5d²+36d+36=0
Хвершины= -b/2a=-36/2*5=-3,6
То есть минимальное значение выражения а3*а5 достигается при d=-3,6
смотри вложения.
Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 16. Определи, при каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшем.
Ответ:
Разность прогрессии: d=
Решение: 3 * a₂ + a₄ = 16
3 * (a₁ + d) + a₁ + 3d = 16
4a₁ + 6d = 16
2a₁ + 3d = 8 -> 2a₁ = 8 - 3d
-
a₃ * a₅ = (a₁ + 2d)(a₁ + 4d) = a₁² + 6*a₁d + 8d²
((8 - 3d)² / 4) + (8 - 3d) * 3d + 8d² =
16 - 12d + (9d² / 4) + 24d - d² = (5d² / 4) + 12d + 16
парабола, ветви вверх,
наименьшее значение функции достигается в вершине параболы))
d₀ = -12 : (2*5/4) = -12*4/10 = -4.8
Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 40. Вычисли, при каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшем.
Решение: По условию задачи 3b<2> + b<4> =40, где b<2> и b<4> это соответственно, второй и четвертый члены прогрессии, отсюда, учитывая, что b<2> = b<1> + d
и b<4> = b<1> + 3d, получим b<1> = 10-1,5d
Рассмотрим функцию
f(d)= b<3> * b<5>= 8d +6b<1>d + (b<1>)^2=
=1,25d^2 +30d +100 Найдем производную функции f(d) и критические точки f’(d)=2,5d +30, f’(d)=0, d=-12
При переходе через критическую точку d=-12 производная меняет знак с - на +, т. о. при d=-12 произведение третьего и пятого членов прогрессии будет минимальнымРазность арифметической прогрессии является отрицательным числом. Найдите сумму девяти первых членов прогрессии, если сумма седьмого и девятого членов равна 20, а их произведение равно 91
Решение: Решение Вашего задания во вложенииS9 =?
{a7+a9=20
{a7*a9=91
{a7=20-a9
{(20-a9)a9 = 91
20a9-a9^2 = 91
-a9^2 +20a9 - 91= 0
D= 400-4*1*91 = 6^2
a9= -20+6/-2 = 7
a9 2 = -20-6/-2 = 13
a7=13
a7= 7
{a7=13
{a9=7
{a7=a1+6d =13
{a9=a1+8d = 7
{a1=13-6d
{13-6d+8d=7
{2d=-6
{d=-3
{a1=31
то есть разность отрицательно подходит!
S9 = (2a1+8d)/2* 9 = (62-24)/2 * 9 = 171
Сумма второго, четвертого и шестого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 33, а их произведение равно 935. Найдите произведение первого члена на разность прогрессии.
Решение: Четные члены сами образуют ар. пр. с разностью, в 2 раза большей основной ар. пр.
Пусть a4 = x; a2 = x - 2d; a6 = x + 2d. По условию:
x + (x - 2d) + (x + 2d) = 3x = 33 (отсюда x = 11)
x * (x - 2d) * (x + 2d) = x(x^2 - 4d^2) = 11(121 - 4d^2) = 935 (d^2 = 9; d = 3)
Если четвертый член ар. пр. равен 11, а разность равна 3, то первый член 11 - 3 * 3 = 2
Ответ. 2 * 11 = 22Сумма второго, четвертого и шестого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 33, а их произведение равно 935. Найдите произведение первого члена на из разность.
Решение: а2 + а4 + а6 = 33а2*а4*а6 = 935
распишем 1 уравнение:
а1 + d +a1 +3d +a1 +5d = 33
3a1 + 9d = 33
a1 + 3d = 11
выразим а1
a1 = 11 - 3d
распишем 2 уравнение:
(а1 + d)(a1 +3d)(a1 + 5d) = 935
заменим а1:
(11 - 3d +d)(11 - 3d +3d)(11 - 3d +5d) = 935
11(11 - 2d)(11 + 2d) =935
(11 - 2d)(11 +2d) = 85
в скобках формула разности квадратов:
121 - 4d^2 = 85
4d^2 = 36
d^2 = 9
т. к. прогрессия возрастающая, то d = 3
находим первый член:
а1 = 11- 3*3=11-9=2
находим разность:
a6 - a4 - a2=a1 +5d - a1 - 3d -a1 - d=d - a1 = 3 - 2 = 1
произведение:
a1*(a6 - a4 - a2)= 2*1=2
Сумма второго, четвёрного и шестого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 33, а их произведение равно 935. Найдите произведение первого члена на разность прогрессии.
Решение: $$ \left \{ {{a_2+a_4+a_6=33} \atop {a_2\cdot a_4\cdot a_6=935}} \right. \\ \\ \left \{ {{a_1+d+a_1+3d+a_1+5d=33} \atop {(a_1+d)\cdot( a_1+3d)\cdot( a_1+5d)=935}} \right. \\ \\ \left \{ {{3a_1+9d=33} \atop {(a_1+d)\cdot( a_1+3d)\cdot( a_1+5d)=935}} \right. \\ \\ \left \{ {{a_1=11-3d} \atop {(11-3d+d)\cdot( 11-3d+3d)\cdot( 11-3d+5d)=935}} \right. $$
Решаем второе уравнение
$$ (11-2d)\cdot 11\cdot( 11+2d)=935\\ (11-2d)\cdot( 11+2d)=85 \\ \\ 121-4d ^{2}=85 \\ \\ 4d ^{2} =196 \\ \\ d ^{2}=49 \\ \\ d=7 $$
по условию прогрессия возрастает, значит d>0
$$ a_1=11-3d=11-21=-10 $$
$$ a_1\cdot d=(-10)\cdot 7=-70 $$
1. Сумма трёх чисел составляющих арифметическую прогрессию равна 27, а произведение первого и второго 108 найди эти числа.
2. Разность между седьмым и вторым членами арифметической прогрессии равна 15, а произведение второго и седьмого членов равно 250. Сколько членов этой прогрессии надо взять, чтобы получить в сумме 87?
Решение: 1. Пусть а, в, с-данные числа. Тогда а+в+с=27
ав=108
в=а+д, с=а+2д, тогда 3а+3д=27 3(а+д)= 27 или а+д=27:3, в=9,
а=108:9=12, тогда с=9-3=6.
Ответ:12;9;6
2. а-в=15, ав=250, тогда а(а-15)=250, а^2-15a-250=0, отсюда а[1[=25 а[2]=-10
a[7]=25, тогда a[2[=10
a[7] = a[1[+6d =25
a[2[= a[1]+ d=10 тогда 5d=15 d=3 a[1]=10 -3=7, поэтому
7+10+13+16+19+22=87
т. е. надо взять 6 членов а. п.
В арифметической прогресси сумма первого и девятого членов равна 64. Найдите разность между суммой ее девяти первых членов и пятым членом прогрессии
Решение: Сумма девяти членов прогрессии, начиная с a1 выражается формулой S=((a1+a9)9)/2 S=(64*9)/2=288 Сумма 9 подряд стоящих членов прогрессии, выражается еще одной формулой S=(((2*a1+d*(n-1))n)/2 S=(((2*a1)+d*(9-1))*9)/2=(a1+(4*d))*9 Пятый член последовательности выражается формулой a5=a1+d*(5-1)=a1+4*d a1+4*d=288/9=32 S9-a5=288-32=256 Ответ: искомая разность равна 256
