прогрессия »

разность членов арифметической прогрессии - страница 16

  • Сумма второго, четвертого и шестого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 33, а их произведение равно 935. Найдите произведение первого члена на разность прогрессии.


    Решение: Четные члены сами образуют ар. пр. с разностью, в 2 раза большей основной ар. пр.
    Пусть a4 = x; a2 = x - 2d; a6 = x + 2d. По условию:
    x + (x - 2d) + (x + 2d) = 3x = 33 (отсюда x = 11)
    x * (x - 2d) * (x + 2d) = x(x^2 - 4d^2) = 11(121 - 4d^2) = 935 (d^2 = 9; d = 3)
    Если четвертый член ар. пр. равен 11, а разность равна 3, то первый член 11 - 3 * 3 = 2
    Ответ. 2 * 11 = 22

  • Сумма второго, четвертого и шестого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 33, а их произведение равно 935. Найдите произведение первого члена на из разность.


    Решение: а2 + а4 + а6 = 33

    а2*а4*а6 = 935

    распишем 1 уравнение:

    а1 + d +a1 +3d +a1 +5d = 33

    3a1 + 9d = 33

    a1 + 3d = 11

    выразим а1

    a1 = 11 - 3d

    распишем 2 уравнение:

    (а1 + d)(a1 +3d)(a1 + 5d) = 935

    заменим а1:

    (11 - 3d +d)(11 - 3d +3d)(11 - 3d +5d) = 935

    11(11 - 2d)(11 + 2d) =935

    (11 - 2d)(11 +2d) = 85

    в скобках формула разности квадратов:

    121 - 4d^2 = 85

    4d^2 = 36

    d^2 = 9

    т. к. прогрессия возрастающая, то d = 3

    находим первый член:

    а1 = 11- 3*3=11-9=2

    находим разность:

    a6 - a4 - a2=a1 +5d - a1 - 3d -a1 - d=d - a1 = 3 - 2 = 1

    произведение:

    a1*(a6 - a4 - a2)= 2*1=2

  • Сумма второго, четвёрного и шестого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 33, а их произведение равно 935. Найдите произведение первого члена на разность прогрессии.


    Решение: $$ \left \{ {{a_2+a_4+a_6=33} \atop {a_2\cdot a_4\cdot a_6=935}} \right. \\ \\ \left \{ {{a_1+d+a_1+3d+a_1+5d=33} \atop {(a_1+d)\cdot( a_1+3d)\cdot( a_1+5d)=935}} \right. \\ \\ \left \{ {{3a_1+9d=33} \atop {(a_1+d)\cdot( a_1+3d)\cdot( a_1+5d)=935}} \right. \\ \\ \left \{ {{a_1=11-3d} \atop {(11-3d+d)\cdot( 11-3d+3d)\cdot( 11-3d+5d)=935}} \right. $$
    Решаем второе уравнение
    $$ (11-2d)\cdot 11\cdot( 11+2d)=935\\ (11-2d)\cdot( 11+2d)=85 \\ \\ 121-4d ^{2}=85 \\ \\ 4d ^{2} =196 \\ \\ d ^{2}=49 \\ \\ d=7 $$
     по условию прогрессия возрастает, значит d>0
    $$ a_1=11-3d=11-21=-10 $$
    $$ a_1\cdot d=(-10)\cdot 7=-70 $$

  • 1. Сумма трёх чисел составляющих арифметическую прогрессию равна 27, а произведение первого и второго 108 найди эти числа.
    2. Разность между седьмым и вторым членами арифметической прогрессии равна 15, а произведение второго и седьмого членов равно 250. Сколько членов этой прогрессии надо взять, чтобы получить в сумме 87?


    Решение: 1. Пусть а, в, с-данные числа. Тогда а+в+с=27
      ав=108
    в=а+д, с=а+2д, тогда 3а+3д=27 3(а+д)= 27 или а+д=27:3, в=9,
    а=108:9=12, тогда с=9-3=6.
      Ответ:12;9;6
    2. а-в=15, ав=250, тогда а(а-15)=250, а^2-15a-250=0, отсюда а[1[=25 а[2]=-10
      a[7]=25, тогда  a[2[=10
    a[7] = a[1[+6d =25
    a[2[= a[1]+ d=10 тогда  5d=15  d=3 a[1]=10 -3=7, поэтому 
      7+10+13+16+19+22=87  
    т. е. надо взять 6 членов а. п.
     
     

  • В арифметической прогресси сумма первого и девятого членов равна 64. Найдите разность между суммой ее девяти первых членов и пятым членом прогрессии


    Решение: Сумма девяти членов прогрессии, начиная с a1 выражается формулой S=((a1+a9)9)/2 S=(64*9)/2=288 Сумма 9 подряд стоящих членов прогрессии, выражается еще одной формулой S=(((2*a1+d*(n-1))n)/2 S=(((2*a1)+d*(9-1))*9)/2=(a1+(4*d))*9 Пятый член последовательности выражается формулой a5=a1+d*(5-1)=a1+4*d a1+4*d=288/9=32 S9-a5=288-32=256 Ответ: искомая разность равна 256

<< < 141516 17 18 > >>