найдите наибольшее значение функции на отрезке - страница 7
найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке у=х4-8х2-9 на [-1,1].
Решение: Найдем производную и решим ее, приравняв к нулю:$$ 4x^{3}-16x=0 $$
$$ 4x(x^{2}-4)=0 $$
$$ x_1,_2,_3=0;2;-2 $$
Только один корень "0" подходит для заданного интервала, след-но, просто подставляем концы отрезка и этот корень:
$$ y(0)=0-0-9=-9 $$
$$ y(-1)=1-8-9=-16 $$
$$ y(1)=1-8-9=-16 $$
Отсюда, наибольшее значение -(-9), наименьшее-(-16)
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке y=x+(4/x) [1;4]
Решение: $$ y=x+ \frac{4}{x} $$
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
на отрезке $$ [1,4] $$
Вычислим значение функции в критических точках:
$$ f’=(x+ \frac{4}{x})’=\\=x’+ \frac{4’\cdot x-4\cdot x’}{x^2}=\\=1- \frac{4}{x^2}\\ 1- \frac{4}{x^2}=0\\ \frac{x^2-4}{x^2}=0\\ xeq0\\ x^2-4=0\\ x^2=4\\ x=\pm2\\ f(2)=2+ \frac{4}{2}=4\\ f(1)=1+4=5\\ f(4)=4+1=5 $$
Ответ: $$ \max [-1;4] \\ f(x)=f(1)=f(4)=5\\ \min [-1;4] \\ f(x)=f(2)=4 $$Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке 0 1 y=x^2(1-x)^2
Решение: Сначала найдём производную:
y*=(x^2(1-x)^2)*=(x^2)*(1-x)^2+x^2((1-x)^2)*=2x(1-x)^2+x^2*2(1-x)*(1-x)*=2x(1-2x+x^2)+x^2(2-2x)*(-1)=2x-4x^2+2x^3-2x^2+2x^3=4x^3-6x^2+2x
Теперь то, что получилось (жирный шрифт) приравниваем к нулю и решаем:
4x^3-6x^2+2x=0
x(4x^2-6x+2)=0
x=0; 4x^2-6x+2=0
2x^2-3x+1=0
D=(-3)^2-4*2*1=1
x1=1
x2=0.5
Дальше строим ось X и отмечаем точки в порядке возрастания.
Надеюсь вам знаком метод интервалов.
в результате получается, что Xмин = 0 и 1, а Xмах=0,5
Теперь подставляем в исходное уравнение (y=x^2(1-x)^2)
Yнаим=Y(0)=0^2(1-0)^2=0
Yнаиб=Y(0.5)=0.5^2(1-0.5)^2=0.25*0.25=0.0625
Ответ: Yнаим=0; Yнаиб=0,0625Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезкеy=(x^3)/(x^2-x+1)
xє [-1;1]
Решение:Поскольку переменная находится в знаменателе функции, производим проверку по ОДЗ.
Квадратный трёхчлен в знаменателе приравниваем нулю:
Решаем уравнение x^2-x+1=0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-1)^2-4*1*1=1-4=-3;
Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней.
Значит функция не имеет ограничений и является непрерывной.
Экстремумы функции.
Для того, чтобы найти экстремумы,нужно решить уравнение:
d/dx (x^3)/(x^2-x+1) = 0 (производная равна нулю).
Находим производную:
$$ \frac{d}{dx} (\frac{x^3}{x^2-x+1} )= \frac{x^2(x^2-2x+3)}{(x^2-x+1)^2} $$=0 и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
Решаем это уравнение.
Один корень очевиден: х² = 0, x₁ = 0.
Проверяем на 0 второй множитель числителя:
Решаем уравнение x^2-2*x+3=0:
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-2)^2-4*1*3=4-4*3=4-12=-8;
Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней.
Значит, экстремум в точке:(0, 0).
Но в этой точке функция равна нулю, поэтому найденная точка (0; 0) не является ни минимумом, ни максимумом.
Производная на всей числовой оси положительна, поэтому функция только возрастающая.
Значит,в заданном промежутке минимум будет в точке х = -1:
у = -1 / (1+1+1) = -1 / 3.
Максимум - в точке х = 1,
у = 1 / (1 - 1 + 1) = 1 / 1 = 1.Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке x [-1;1] y=x в квадрате
Решение: $$ y = x^{2} $$
парабола, ветви вверх
координаты вершины (0;0)
x=-1 y=1
x=1 y=1
Ответ: наибольшее значение на данной отрезке у=1 достигается в точках х=-1 и х=1
наименьшее значение у=0 -- в точке х=0
У=х² график этой функции - парабола с вершиной в точке (0;0)
наименьшее значение на отрезке [-1;1] у=0 при х=0
наибольшее значение у=1²=1
ответ: у наим.=0; у наиб.=1
